Periodieke functies > Vergelijkingen met sin en cos
12345Vergelijkingen met sin en cos

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Antwoord 1.

b

Antwoord 2.

Opgave 1
a

`x=arcsin (0,2 )+k*2pi vv x=pi - arcsin (0,2 )+k*2pi`
`x~~0,201 +k*2pi vv x~~2,940 +k*2pi`

b

`x=arcsin(text(-)0,2 )+k*2 pi vv x=pi -arcsin(text(-)0,2 )+k*2 pi`
`x~~text(-)0,201 +k*2 pi vv x~~3,343 +k*2 pi`

Opgave 2
a

`x=1/6pi+k*2pi vv x=pi - 1/6pi+k*2pi=5/6pi+k*2pi`

b

`x=text(-)1/4pi+k*2pi vv x=pi - text(-)1/4pi+k*2pi=1 1/4pi+k*2pi`

Opgave 3

Omdat `text(-)1 ≤sin(x)≤1` .

Opgave 4
a

`x=arccos(0,2 )+k*2 pi vv x=text(-)arccos(0,2 )+k*2 pi`
`x~~1,369 +k*2 pi vv x~~text(-)1,369 +k*2 pi`

b

`x=arccos(text(-)0,2 )+k*2 pi vv x=text(-)arccos(text(-)0,2)+k*2 pi`
`x~~1,772 +k*2 pi vv x~~text(-)1,772 +k*2 pi`

Opgave 5
a

`x=pi+k*2 pi vv x=text(-)pi+k*2 pi`
Korter: `x=pi+k*2pi`

b

`x=1/6pi+k*2pi vv x=text(-)1/6pi+k*2pi=1 5/6pi+k*2pi`

Opgave 6
a

`x= arcsin (text(-)0,5 )+k*2 pi vv x=pi - arcsin (text(-)0,5 )+k*2 pi`
`x~~text(-)0,524 +k*2 pi vv x~~text(-)2,618 +k*2 pi`

b

Bekend is `arcsin(1/2)=1/6 pi` .
De grafiek geeft `x = 1 1/6 pi+k*2pi vv x= 1 5/6pi +k*2 pi`
of `x = text(-)1/6 pi+k*2pi vv x= text(-)5/6pi +k*2 pi`

c

`1 1/6pi, 1 5/6pi, 3 1/6pi` en `3 5/6pi`

Opgave 7
a

`x= text(-)arccos(1/2sqrt(2))+k*2pi vv x=arccos(1/2sqrt(2))+k*2pi`

`x=text(-)1/4pi+k*2pi vv x=1/4pi+k*2pi`

Op `[0, 2pi]` geeft dat `x=1/4pi vv x=1 3/4pi` .

b

Uit a volgt: `x=+-1/4pi+k*2pi`

Op `[text(-)2pi,4pi]` geeft dat:

`x=text(-)1 3/4pi vv x=text(-)1/4pi vv x=1/4pi vv x=1 3/4pi x=2 1/4pi vv x=3 3/4pi`

c

`x~~text(-)5,498 vv x~~text(-)0,785 vv x~~0,785 vv x~~5,598 vv x~~7,069 vv x~~11,781`

Opgave 8
a

Op het interval `[0, 2pi]` zie je de grafiek twee keer heen en weer gaan.

b

Omdat je tijdens het oplossen niet uitkomt op `sin(2x) = 0, 1/2, 1/2sqrt(2), 1/2sqrt(3), 1` .

c

Nu gaat de oplossing zo:

`4 sin(2x) + 3` `=` `1`

beide zijden `-3`

`4 sin(2x)` `=` `text(-)2`

beide zijden `// 4`

`sin(2x)` `=` `text(-)0,5`

`arcsin` gebruiken

`2x = text(-)1/6pi + k*2pi` `vv` `2x = pi - text(-)1/6pi + k*2pi`

beide zijden `// 2`

`x = text(-)1/12pi + k*pi` `vv` `x = 7/12pi + k*pi`
Opgave 9
a

`sin(3x)=1/2sqrt(3)`

`3x=pi/3+k*2pi vv 3x =pi-pi/3+k*2pi`

`x=pi/9+2/3k*pi vv x=(2pi)/9+2/3k*pi`

b

`sin(0,5x)=1/2sqrt(3)`

`0,5x=pi/3+k*2pi vv 0,5x =pi-pi/3+k*2pi`

`x=(2pi)/3+4k*pi vv x=(4pi)/3+4k*pi`

a

`3 cos(x)+1 =2,5` geeft `cos(x)=0,5`
`x=1/3pi +k*2 pi vv x=text(-) 1/3pi +k*2 pi`

Opgave 10
a

`arcsin(0,35)~~0,358`
`x~~0,358+k*2pi vv x~~pi-0,358+k*2pi~~2,784+k*2pi`

b

`arcsin(text(-)0,35)~~text(-)0,358`
`x~~text(-)0,358+k*2pi vv x~~pi-text(-)0,358+k*2pi~~3,500+k*2pi`

c

`arcsin(1/3 pi)=1/2 sqrt(3)`
`x=1/3pi+k*2pi vv x=pi-1/3pi+k*2pi=2/3pi+k*2pi`

d

`arcsin(text(-)1/4 pi)=text(-)1/2 sqrt(2)`
`x=text(-)1/4pi+k*2pi vv x=pi-text(-)1/4pi+k*2pi=1 1/4pi+k*2pi`

Opgave 11
a

`arccos(0,35) ~~ 1,213`

`x~~1,213 +k*2 pi vv x~~text(-)1,213 +k*2pi`

b

`arccos(text(-)0,35)~~1,928`

`x~~1,928 +k*2 pi vv x~~text(-)1,928 +k*2 pi`

c

`arccos(1/2sqrt(3))=1/6pi`

`x=1/6pi +k*2pi vv x=text(-) 1/6pi +k*2pi`

d

`arccos(text(-)1/2sqrt(2))=3/4pi`

`x=3/4pi +k*2pi vv x=text(-)3/4pi +k*2pi`

Opgave 12
a

Bekend is `arcsin(0,5)=1/6pi` , dit geeft `x=1/6pi+k*2 pi vv x=5/6pi+k*2 pi` .

b

`x=0,5 +k*2 pi vv x=pi-0,5 +k*2 pi`

c

`x~~0,479`

d

`sin(x) = cos(0,5) ~~ 0,878` en `arcsin(0,878) ~~ 1,071` .
Dus `x ~~ 1,071 + k*2pi vv x ~~ pi - 1,071 + k*2pi` .
Oplossing: `x ~~ 1,071 + k*2pi vv x ~~ 2,071 + k*2pi` .

Opgave 13
a

`3cos(x)+1=2,5`

`cos(x)=0,5`
`x=1/3pi +k*2 pi vv x=text(-) 1/3pi +k*2 pi`

b

`sin(3 x)=1/2` geeft `3 x=1/6pi +k*2 pi vv 3 x=5/6pi +k*2 pi`
`x=1/18pi +k*2/3pi vv x=5/18pi +k*2/3pi`

c

`1/2x=5/6pi +k*2 pi vv 1/2x=text(-)5/6pi+k*2 pi`

`x=10/6pi+k*4pi vv x=text(-)10/6pi+k*4pi`

`x=1 2/3pi+k*4pi vv x=text(-)1 2/3pi+k*4pi`

Opgave 14
a

`3 cos(2x)=0`

`cos(2x)=0`

`2x=0,5pi+k*pi`

`x=0,25pi*0,5k*pi`

`x=0,25pi` `vv` `x=0,75pi` `vv` `x=1,25pi` `vv` `x=1,75pi` `vv` `x=2,25pi` `vv` `x=2,75pi` `vv` `x=3,25pi` `vv` `x=3,75pi`

b
`3 cos(2 x)` `=` `1 1/2`
`cos(2 x)` `=` `1/2`
`2 x` `=` `1/3pi +k*2 pi vv 2 x=text(-) 1/3pi +k*2 pi`
`x` `=` `1/6pi +k*pi vv x=text(-) 1/6pi +k*pi`

Op `[0, 4pi]` : `x=1/6pi vv x=5/6pi vv x=1 1/6pi vv x=1 5/6pi vv x=2 1/6pi vv x=2 5/6pi vv x=3 1/6pi vv x=3 5/6pi`

Opgave A1
a

`5 * 9,8 = 2,4 * u` geeft `u ~~ 20` mm.

b

`F = 2,4*u` geeft `m*9,8 = 2,4*u` en dus `u = (9,8)/(2,4)*m ~~ 4,1*m` .

c

Een rechte lijn door `(0, 0)` met hellingsgetal `4,1` .

d

`m ~~ 30/(4,1) ~~ 7,3` kg.

Opgave A2
a

Antwoord 1.

b

Antwoord 2.

Opgave T1
a

`x~~0,318 +k*2 pi vv x~~-0,318 +k*2 pi`

b

`x~~2,824 +k*2 pi vv x~~-2,824 +k*2 pi`

c

`x=2/3pi +k*2 pi vv x=text(-) 2/3pi +k*2 pi`

Opgave T2
a

De gevraagde nulpunten zijn `(text(-)4,97 ; 0 ), (text(-)1,32 ; 0 ), (1,32 ; 0 )` en `(4,97 ; 0 )` .

b

`text(-)4,97 < x≤-1,32 vv 1,32 ≤x < 4,97` .

verder | terug