`2`
Als de éne waarde
`x`
is, is de andere
`pi - x`
.
`2`
Als de éne waarde
`x`
is, is de andere
`2pi - x`
, of gewoon
`text(-)x`
.
`x=arcsin (0,2 )+k*2pi vv x=pi - arcsin (0,2 )+k*2pi`
`x~~0,201 +k*2pi vv x~~2,940 +k*2pi`
`x=arcsin(text(-)0,2 )+k*2 pi vv x=pi -arcsin(text(-)0,2 )+k*2 pi`
`x~~text(-)0,201 +k*2 pi vv x~~3,343 +k*2 pi`
`x=1/6pi+k*2pi vv x=pi - 1/6pi+k*2pi=5/6pi+k*2pi`
`x=text(-)1/4pi+k*2pi vv x=pi - text(-)1/4pi+k*2pi=1 1/4pi+k*2pi`
Omdat `text(-)1 ≤sin(x)≤1` .
`x=arccos(0,2 )+k*2 pi vv x=text(-)arccos(0,2 )+k*2 pi`
`x~~1,369 +k*2 pi vv x~~text(-)1,369 +k*2 pi`
`x=arccos(text(-)0,2 )+k*2 pi vv x=text(-)arccos(text(-)0,2)+k*2 pi`
`x~~1,772 +k*2 pi vv x~~text(-)1,772 +k*2 pi`
`x=pi+k*2 pi vv x=text(-)pi+k*2 pi`
Korter:
`x=pi+k*2pi`
`x=1/6pi+k*2pi vv x=text(-)1/6pi+k*2pi=1 5/6pi+k*2pi`
`x= arcsin (text(-)0,5 )+k*2 pi vv x=pi - arcsin (text(-)0,5 )+k*2 pi`
`x~~text(-)0,524 +k*2 pi vv x~~text(-)2,618 +k*2 pi`
Bekend is
`arcsin(1/2)=1/6 pi`
.
De grafiek geeft
`x = 1 1/6 pi+k*2pi vv x= 1 5/6pi +k*2 pi`
of
`x = text(-)1/6 pi+k*2pi vv x= text(-)5/6pi +k*2 pi`
`1 1/6pi, 1 5/6pi, 3 1/6pi` en `3 5/6pi`
`x= text(-)arccos(1/2sqrt(2))+k*2pi vv x=arccos(1/2sqrt(2))+k*2pi`
`x=text(-)1/4pi+k*2pi vv x=1/4pi+k*2pi`
Op `[0, 2pi]` geeft dat `x=1/4pi vv x=1 3/4pi` .
Uit a volgt: `x=+-1/4pi+k*2pi`
Op `[text(-)2pi,4pi]` geeft dat:
`x=text(-)1 3/4pi vv x=text(-)1/4pi vv x=1/4pi vv x=1 3/4pi x=2 1/4pi vv x=3 3/4pi`
`x~~text(-)5,498 vv x~~text(-)0,785 vv x~~0,785 vv x~~5,598 vv x~~7,069 vv x~~11,781`
Op het interval `[0, 2pi]` zie je de grafiek twee keer heen en weer gaan.
Omdat je tijdens het oplossen niet uitkomt op `sin(2x) = 0, 1/2, 1/2sqrt(2), 1/2sqrt(3), 1` .
Nu gaat de oplossing zo:
`4 sin(2x) + 3` | `=` | `1` |
beide zijden `-3` |
`4 sin(2x)` | `=` | `text(-)2` |
beide zijden `// 4` |
`sin(2x)` | `=` | `text(-)0,5` |
`arcsin` gebruiken |
`2x = text(-)1/6pi + k*2pi` | `vv` | `2x = pi - text(-)1/6pi + k*2pi` |
beide zijden `// 2` |
`x = text(-)1/12pi + k*pi` | `vv` | `x = 7/12pi + k*pi` |
`sin(3x)=1/2sqrt(3)`
`3x=pi/3+k*2pi vv 3x =pi-pi/3+k*2pi`
`x=pi/9+2/3k*pi vv x=(2pi)/9+2/3k*pi`
`sin(0,5x)=1/2sqrt(3)`
`0,5x=pi/3+k*2pi vv 0,5x =pi-pi/3+k*2pi`
`x=(2pi)/3+4k*pi vv x=(4pi)/3+4k*pi`
`3 cos(x)+1 =2,5`
geeft
`cos(x)=0,5`
`x=1/3pi +k*2 pi vv x=text(-) 1/3pi +k*2 pi`
`arcsin(0,35)~~0,358`
`x~~0,358+k*2pi vv x~~pi-0,358+k*2pi~~2,784+k*2pi`
`arcsin(text(-)0,35)~~text(-)0,358`
`x~~text(-)0,358+k*2pi vv x~~pi-text(-)0,358+k*2pi~~3,500+k*2pi`
`arcsin(1/3 pi)=1/2 sqrt(3)`
`x=1/3pi+k*2pi vv x=pi-1/3pi+k*2pi=2/3pi+k*2pi`
`arcsin(text(-)1/4 pi)=text(-)1/2 sqrt(2)`
`x=text(-)1/4pi+k*2pi vv x=pi-text(-)1/4pi+k*2pi=1 1/4pi+k*2pi`
`arccos(0,35) ~~ 1,213`
`x~~1,213 +k*2 pi vv x~~text(-)1,213 +k*2pi`
`arccos(text(-)0,35)~~1,928`
`x~~1,928 +k*2 pi vv x~~text(-)1,928 +k*2 pi`
`arccos(1/2sqrt(3))=1/6pi`
`x=1/6pi +k*2pi vv x=text(-) 1/6pi +k*2pi`
`arccos(text(-)1/2sqrt(2))=3/4pi`
`x=3/4pi +k*2pi vv x=text(-)3/4pi +k*2pi`
Bekend is `arcsin(0,5)=1/6pi` , dit geeft `x=1/6pi+k*2 pi vv x=5/6pi+k*2 pi` .
`x=0,5 +k*2 pi vv x=pi-0,5 +k*2 pi`
`x~~0,479`
`sin(x) = cos(0,5) ~~ 0,878`
en
`arcsin(0,878) ~~ 1,071`
.
Dus
`x ~~ 1,071 + k*2pi vv x ~~ pi - 1,071 + k*2pi`
.
Oplossing:
`x ~~ 1,071 + k*2pi vv x ~~ 2,071 + k*2pi`
.
`3cos(x)+1=2,5`
`cos(x)=0,5`
`x=1/3pi +k*2 pi vv x=text(-) 1/3pi +k*2 pi`
`sin(3 x)=1/2`
geeft
`3 x=1/6pi +k*2 pi vv 3 x=5/6pi +k*2 pi`
`x=1/18pi +k*2/3pi vv x=5/18pi +k*2/3pi`
`1/2x=5/6pi +k*2 pi vv 1/2x=text(-)5/6pi+k*2 pi`
`x=10/6pi+k*4pi vv x=text(-)10/6pi+k*4pi`
`x=1 2/3pi+k*4pi vv x=text(-)1 2/3pi+k*4pi`
`3 cos(2x)=0`
`cos(2x)=0`
`2x=0,5pi+k*pi`
`x=0,25pi*0,5k*pi`
`x=0,25pi` `vv` `x=0,75pi` `vv` `x=1,25pi` `vv` `x=1,75pi` `vv` `x=2,25pi` `vv` `x=2,75pi` `vv` `x=3,25pi` `vv` `x=3,75pi`
`3 cos(2 x)` | `=` | `1 1/2` | |
`cos(2 x)` | `=` | `1/2` | |
`2 x` | `=` | `1/3pi +k*2 pi vv 2 x=text(-) 1/3pi +k*2 pi` | |
`x` | `=` | `1/6pi +k*pi vv x=text(-) 1/6pi +k*pi` |
Op `[0, 4pi]` : `x=1/6pi vv x=5/6pi vv x=1 1/6pi vv x=1 5/6pi vv x=2 1/6pi vv x=2 5/6pi vv x=3 1/6pi vv x=3 5/6pi`
De golfplaat beslaat precies
`5`
periodes.
`y=3 +3 sin(0,469 x)=3`
geeft
`sin(0,469 x) = 0`
en dus
`0,469x = 0 + k*pi`
.
Tussen de punten die horen bij
`0,469x = 0 + k*2pi`
zit steeds een volledige periode.
Voor het vijfde van die punten is
`0,469x = 10pi`
en dus
`x ~~ 67,0`
.
De breedte van de golfplaat is inderdaad ongeveer
`67`
cm.
`y=3 +3 sin(0,469 x)=3,8`
geeft
`x~~0,58 vv x~~6,12`
.
De breedte van het blokje is ongeveer
`6,12 -0,58 =0,55`
cm (of
`55`
mm).
`x~~0,318 +k*2 pi vv x~~-0,318 +k*2 pi`
`x~~2,824 +k*2 pi vv x~~-2,824 +k*2 pi`
`x=2/3pi +k*2 pi vv x=text(-) 2/3pi +k*2 pi`
De gevraagde nulpunten zijn `(text(-)4,97 ; 0 ), (text(-)1,32 ; 0 ), (1,32 ; 0 )` en `(4,97 ; 0 )` .
`text(-)4,97 < x≤-1,32 vv 1,32 ≤x < 4,97` .