Periodieke functies > Sinusoïden
12345Sinusoïden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`10` is de lengte van een wiek in m;
`28` is de hoogte van de as van de molenwieken boven de grond.

b

`8` is het aantal seconden dat de wiek over één omwenteling doet, het is de periode van draaien;
`(2pi)/8` betekent dat punt `P` een draaihoek van `2pi` radialen doorloopt in `8` seconden.

b

`h=28` is de evenwichtsstand;
`10` is de amplitude.

Opgave 1
a

Je kunt dan van te voren zien welke instellingen op de assen je nodig hebt.

c

Met `1` verschuiven in de `x` -richting geeft `x=1` . De grafiek begint hier op de evenwichtslijn: `y=0,5` .
Het punt `(0, 0)` wordt `(1; 0,5)` .

d

De maxima vind je uit `g(x) = 2` en dat betekent `sin(2 (x-1 ))=1` oplossen.
Dit geeft `x=1/4pi +1 +k*pi` . Er zijn maxima van `text(-)1` bij `x=1/4pi +1` en `x=1 1/4pi +1` .

De minima vind je uit `g(x) = text(-)1` en dat betekent `sin(2 (x-1 ))=text(-)1` oplossen.
Dit geeft `x=3/4pi +1 +k*pi` . Er zijn minima van `2` bij `x=3/4pi +1` en `x=1 3/4pi +1` .

De toppen zijn `(1/4pi+1, text(-)1)` , `(1 1/4pi+1, text(-)1)` , `(3/4pi+1, 2)` en `(1 3/4pi+1, 2)` .

Opgave 2
a

periode = `2` , amplitude = `10` (grafiek gespiegeld in evenwichtslijn), evenwichtsstand `y=6` , horizontale verschuiving `3` .

Neem voor de grafiek op de assen de instelling `[0, 4]xx[text(-)4, 16]` .

b

Je moet `text(-)10 sin(pi (x-3)) + 6 = 11` oplossen.

`text(-)10 sin(pi (x-3)) + 6` `=` `11`

`sin(pi (x-3))` `=` `text(-)0,5`

`pi (x-3) = 1 1/6 pi + k*2pi` `vv` `pi (x-3) = 1 5/6 pi + k*2pi`

`x-3 = 1 1/6 + k*2` `vv` `x-3 = 1 5/6 + k*2`

`x = 4 1/6 + k*2` `vv` `x = 4 5/6 + k*2`

Je kunt er nog twee periodes afhalen: `x = 1/6 + k*2 vv x = 5/6 + k*2` .

Opgave 3
a

periode = `(2pi)/(0,5) = 4pi` , amplitude = `2` , evenwichtsstand `y=text(-)1` , horizontale verschuiving `2` .

Neem voor de grafiek op de assen bijvoorbeeld de instelling `[0, 8pi]xx[text(-)3, 1]` .

b

Je moet `2 *cos(0,5 (x-2))-1 = 0` oplossen.

`2 *cos(0,5 (x-2))-1` `=` `0`

`cos(0,5 (x-2))` `=` `0,5`

`0,5 (x-2) = 1/3 pi + k*2pi` `vv` `0,5 (x-2) = text(-)1/3 pi + k*2pi`

`x-2 = 2/3 pi + k*4pi` `vv` `x-2 = text(-)2/3 pi + k*4pi`

`x = 2/3pi + 2 + k*4pi` `vv` `x = text(-)2/3 pi + 2 + k*4pi`

Op `[0, 8pi]` en in decimalen: `x ~~ 4,09 vv x ~~ 12,47 vv x ~~ 16,66 vv x ~~ 25,04` .

Opgave 4
a

De periode is `(2 pi) /pi=2` , de amplitude is `3` en de evenwichtsstand is `y=10` .

Voor de grafiek stel je de assen bijvoorbeeld zo in: `[0, 4]xx[0, 13]` .

c

Voor de toppen los je op `sin(pi(x-1))=+-1` .

Dit geeft `pi(x-1)=1/2pi+k*2pi vv pi(x-1)=text(-)1/2pi+k*2pi` , ofwel `x=1 1/2+k*2 vv x=1/2+k*2` .

Bij deze `x` -coördinaten horen achtereenvolgens `y=3*1+10=13` en `y=3*text(-)1+10=7` .

De toppen zijn `(1 1/2+k*2; 13)` en `(1/2+k*2; 7)` .

c

`f(x)=11,5` geeft `sin(pi (x-1 ))=0,5`
`pi (x-1 )=1/6pi +k*2 pi vv pi (x-1 )=5/6pi +k*2 pi`
`x=1 1/6+k*2 vv x=1 5/6+k*2`

Opgave 5
a

De periode is `(2pi)/(1/2)=4pi` , de amplitude is `4` en de evenwichtsstand is `y=8` .

Voor de grafiek stel je de assen bijvoorbeeld zo in: `[0, 8pi]xx[0, 12]` .

b

Voor de toppen los je op `cos(1/2(x+2 ))=+-1` .

Dit geeft `1/2(x+2 )=0+k*2pi vv 1/2(x+2 )=pi+k*2pi` , ofwel `x=text(-)2+k*4pi vv x=2pi - 4 +k*4pi` .

Bij deze `x` -coördinaten horen achtereenvolgens `y=4*1+8=12` en `y=4*text(-)1+10=4` .

De toppen zijn `(text(-)2+k*4pi; 12)` en `(2pi - 4 +k*4pi; 4)` .

c
`4cos(1/2(x+2))+8` `=` `11`
`4cos(1/2(x+2))` `=` `3`
`cos(1/2 (x+2 ))` `=` `3/4`
`1/2(x+2)` `=` `±arccos(3/4)+k*2 pi`
`1/2(x+2 )` `~~` `±0,723 +k*2 pi`
`x+2` `~~` `±1,445 +k*4pi`
`x` `~~` `text(-)0,555 +k*4pi vv x~~text(-)3,445 +k*4pi`
Opgave 6
a

Lees periode, amplitude en evenwichtsstand uit de grafiek af en vergelijk die met wat je uit de formule afleest.

b

Je moet hetzelfde vinden als in het voorbeeld.

Opgave 7
a

De periode is `(2pi)/(4/3pi)=1,5` , amplitude is `10` , evenwichtslijn `h=40` , horizontale translatie `t=0` .
Assen bijvoorbeeld: `[0, 3]xx[30, 50]`

b

`h=45` geeft `cos(4/3pi *t)=1/2`
`4/3pi *t=1/3pi +k*2 pi vv 4/3pi *t=1 2/3pi +k*2 pi`
`t=1/4+k*1,5 vv t=1 1/4+k*1,5`

Opgave 8
a

De periode is `(2pi)/1=2pi` , de amplitude is `12` .
Assen bijvoorbeeld: `[0 ,4pi]xx[text(-)15, 15]`

b

De periode is `(2pi)/(2pi)=1` , de amplitude is `50` .
Assen bijvoorbeeld: `[0 ,2]xx[text(-)45, 65]`

c

De periode is `(2pi)/(pi/5)=10` , de amplitude is `120` .
Assen bijvoorbeeld: `[0 ,20]xx[text(-)130, 130]`

d

De periode is `(2pi)/2=pi` , de amplitude is `20` .
Assen bijvoorbeeld: `[0, 2pi]xx[text(-)25, 25]`

Opgave 9
a

`cos(1/2x+4 )=1/5` geeft:

`1/2 x+4` `=` `arccos(1/5) +k*2 pi vv 1/2 x+4=text(-)arccos(1/5) +k*2 pi`
`1/2 x` `=` `text(-)2,631 +k*2 pi vv 1/2 x=text(-)5,369+k*2 pi`
`x` `=` `text(-)5,261 +k*4 pi vv x=text(-)10,739 +k*4 pi`
b
`sin(pi/5(x-2 ))` `=` `1/2`
`pi/5(x-2)` `=` `pi/6+k*2 pi vv pi/5(x-2)=pi-pi/6+k*2 pi`
`x` `=` `2 5/6+k*10 vv x=6 1/6+k*10`
c
`cos(4 x)` `=` `1/2sqrt(3)`
`4x` `=` `pi/6 +k*2 pi vv 4x=text(-) pi/6 +k*2 pi`
`x` `=` `1/24pi +k*1/2pi vv x=text(-) 1/24pi +k*1/2pi`
d
`sin( (2 pi) /15x)` `=` `1/6`
`(2 pi) /15x=arcsin(1/6)+k*2 pi vv ((2pi)) / ((15)) x` `=` `pi -arcsin(1/6)+k*2 pi`
`x` `~~` `0,400 +k*15 vv x~~7,100 +k*15`
Opgave 10
a

De amplitude is `20` , de evenwichtslijn `y=10` . Het laagste punt is `y=text(-)10` , het hoogste punt is `y=30` .

`text(B)_f=[text(-)10, 30]`

b

De periode is `8` .

`f(x)=0` geeft `cos(pi/4x)=text(-)1/2` . Dit geeft door symmetrie:
`pi/4x=arccos(text(-)1/2)+k*2pi vv pi/4x=text(-)arccos(text(-)1/2)+k*2pi`

`x=8/3+k*8 vv x=text(-)8/3+k*8`

De nulpunten zijn `x=2 2/3, x=5 1/3, x=10 2/3, x=13 1/3` .

Opgave 11
a

Voer in: `y_1=11+10*sin(pi/12x)`

Venster bijvoorbeeld: `[0, 24]xx[0, 22]`

b

`11` is de hoogte van de as van het reuzenrad en `10` is de straal van het reuzenrad.

c

De periode is `(2pi)/(pi/12)=24` seconden.

d

De periode is `24` seconden.

`h(t)=18` geeft `sin( (2 pi) /24t)=0 ,7` en `arcsin(0,7)~~0,775` , daaruit volgt:
`pi/12 t ~~0,775 vv pi/12 t ~~ pi- 0,775`

`t~~2,962 +k*24 vv t~~9,038 +k*24`

Het bakje bevindt zich `6,1` seconden hoger dan `18` m.

Opgave A1
a

Omdat de hoogte wordt gemeten t.o.v. een horizontale lijn door het draaipunt van de krukstang.

b

`h(t) = 10*sin(2pi*t) = 5` levert op `sin(2pi*t) = 0,5` en dus `2pi*t = 1/6pi + k*2pi vv 2pi*t = 5/6pi + k*2pi` .
Dit geeft `t = 1/12 + k*1 vv t = 5/12 + k*1` .

Elke periode is dat `5/12 - 1/12 = 1/3` s.

Opgave A2
a

De formule wordt `h = 10*sin(2pi*t) - 50` .

b

Zie figuur.

De periode is nu `1` , de amplitude `10` en de evenwichtsstand `h = text(-)50` .

c

Je kunt dit met GeoGebra of een grafische rekenmachine vinden. Je bepaalt dan de snijpunten van `y_1 = 10 * sin(2pi*x) - 50` en `y_2 = text(-)42` binnen één periode.

Je kunt ook algebraïsch oplossen `10*sin(2pi*t) - 50 = text(-)42` .

Je vindt dan `t ~~ 0,15 + k*1 vv t ~~ 0,35 + k*1` .

Opgave T1
a

De periode is `1/2` , de amplitude is `4` en de evenwichtsstand is `y=0` .

Er is geen horizontale verschuiving.

b

De periode is `2 pi` de amplitude is `2` en de evenwichtsstand is `y=6` . De grafiek is `8` eenheden naar links verschoven.

Opgave T2
a

De gevraagde nulpunten zijn `(1, 0), (3, 0 ), (5, 0), (7, 0)` en `(9, 0)` .

b

`text(-)4,97 < x≤-1,32 vv 1,32 ≤x < 4,97` .

verder | terug