Periodieke functies > Periodieke modellen
12345Periodieke modellen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De amplitude is `90` cm, de evenwichtsstand `h = text(-)10` en de periode ongeveer `12,25` uur.

b

`h(t) = 90*cos((2pi)/(12,25)(t - 6)) - 10` met `t=0` om 0:00 uur diezelfde dag.

c

`h(30) ~~ 77` cm boven NAP.

Opgave 1
a

De periode is de tijd tussen twee opeenvolgende toppen, dit geeft `6,125 +6,125 =12,25` uur.

De amplitude is het hoogteverschil tussen hoogwater en de gemiddelde waterhoogte, dit is 90 cm.

De evenwichtslijn is het gemiddelde waterpeil, dit is het gemiddelde van hoogwater (+80 cm boven NAP) en laagwater (-100 cm boven NAP).

b

`h(t)~~0,9 cos( (2 pi) /(12,25)(t-6 ))-0,1`

c

Voer in: `y_1=0,9 sin(0,52 (t-2,94 ))-0,1` en `y_2=0,9 cos( (2 pi) /(12,25)(t-6 ))-0,1`

Venster bijvoorbeeld: `[0, 24]xx[text(-)1, 1]`

Opgave 2
a

`y=4 sin(x)`

b

`y=20 +10 sin(x)`

c

`y=4 sin(1/2x)`

d

`y=10 +5 sin(pi/5(x-2 ))`

Opgave 3
a

`y=10 +7 1/2sin(1/5pi(x-5 ))`
of `y=10 -7 1/2sin(1/5pix)`

b

`y=10 +7 1/2cos(1/5pi(x-7 1/2))`
of  `y=10 +7 1/2cos(1/5pi(x+2 1/2))`

Opgave 4

Het maximum van de functie is `3` en het minimum `text(-)7` . Dit betekent dat:

  • de amplitude is `a= (3 +7) /2=5`

  • de evenwichtslijn is `y=3 -5 =text(-)2`

Twee opvolgende maxima zitten bij `x=2,5` en `x=8,5` . De periode is `p=6` . Ga uit van de standaardsinus, dan is de horizontale verschuiving de `x` -waarde van een punt op de grafiek op de evenwichtslijn op het moment dat de grafiek daar stijgt. Hier is dat `x=1` . Het functievoorschrift wordt: `f(x)=5 sin( (2 pi) /6(x-1 ))-2=text(-)2 +5 sin(1/3pi(x-1 ))`

Opgave 5

`y=text(-)2 +5 cos(1/3π (x-2,5 ))`

Opgave 6
a

De periode is `4pi` , de amplitude is `(4-0)/2=2` en de evenwichtslijn is `y=4-2=2` .
Het beginpunt van de sinus op de evenwichtslijn is bij `x= pi` (op een vierde van de periode).

`y=2 sin(0,5 (x-pi ))+2`

b

De omtrek is `2 pi*2=4pi` .

Opgave 7
`2 cos(0,5 (x-2pi))+2` `=` `3`
`cos(0,5 (x-2pi))` `=` `0,5`
`0,5(x-2pi)` `=` `1/3pi +k*2pi vv 0,5(x-2pi)=text(-)1/3pi +k *2pi`
`x` `=` `2 2/3pi +k*4pi vv x=1 1/3pi+k*4pi`
`x` `=` `2 2/3pi vv x=1 1/3pi`

De lengte van lijnstuk `CD` is `2 2/3pi- 1 1/3pi= 1 1/3pi` .

Opgave 8

De punten `A` en `B` liggen symmetrisch ten opzichte van `x=2pi` en op de grafiek.

`x_A=2pi-2~~4,283` geeft: `y_A~~3,081`

`x_B=2pi+2~~8,283` geeft: `y_B~~3,081`

Opgave 9

Het is ongeveer twee keer per dag eb en vloed. De periode is `15,3833... - 3,0833... = 12,3` uur: `b=(2pi)/(12,3)` .
De horizontale verschuiving is `3,08 + 12,3 // 4 ~~ 6,16` uur.
De evenwichtsstand is `h = (130 + text(-)50) // 2 = 40` cm.
De amplitude is `130 - 40 = 90` cm.

De formule wordt `h(t) = 90 sin((2pi)/(12,3)(t - 6,16)) + 40` .

Opgave 10
a

`y=3sin(2(x-pi/4))-1`

b

`y=5sin(pi(x-1))+2`

c

`y=2sin(pi/3(x-3/2))`

Opgave 11

`y_1 =text(-)1 +4 sin( (2 pi) /4(x-2 ))`

`y_2 =4 sin( (2 pi) /20x)`

`y_3 =4 +2 sin( (2 pi) /10x)`

`y_4 =5 +2 sin( (2 pi) /8(x+4 ))`

Opgave 12
a

`f(x)=1 +2 sin(2 (x-1/6pi))`

b

`f(0 )=1 -sqrt(3 )`

c

`3/4pi+k*pi≤x≤1/12pi+k*pi`

Opgave 13
a

De frequentie is `12` keer per minuut.

b

De amplitude is `0,25` .

De evenwichtslijn is `V=4,95` .

De periode is `5` seconden.

c

`V=4,95 +0,25 cos(2/5pi* t)`

Opgave A1Roteren
Roteren
a

Zie figuur.

b

Schijf I: M is in `A` op `t=0` , `2` , `4` , `6` , `8` , `10` , `12`
Schijf II: M is in `C` op `t=0` , `3` , `6` , `9` , `12`
Dit gebeurt op `t=0` , `6` , `12` , ...

c

Schijf I: M is in `B` op `t=0` , `1` , `3` , `5` , ...
Schijf II: M is in `D` op `t=1(1)/2` , `4(1)/2` , `7(1)/2` , ...
Deze reeksen hebben geen gemeenschappelijke tijdstippen.

d

Schijf I: `H(t)=1*sin ((2pi)/2*t)` .
Schijf II: `H(t)=1*sin ((2pi)/3*t)` .

e
`sin(pi t)` `=` `sin(2/3 pi t)`
`pi t` `=` `2/3 pi t+k*2pi` of `pi t=pi-2/3 pi t+k*2pi`
`t` `=` `k*6` of `t=3/5+k*(6)/5`

Voor het eerst op dezelfde hoogte na `3/5 = 0,6` s.

f

Zie grafiek bij b. Dit geldt voor `t` op interval `langle 0; 0,6 rangle` en `t` op interval `langle 1,8; 3 rangle` .

Opgave A2Schildwacht
Schildwacht
a

Nee, de verandering van de plaats van de schaduw is niet constant. Zie de figuur: `sin60°` is ongelijk aan `2*sin30°` .

b

`5` meter. Het verschil tussen minimum en maximum is tweemaal de straal.

c

Zie figuur.

d

Nee, mits hij start vanuit de maximale of minimale afstand tot Jan.

e

`S(t)=20+5*cos((2pi)/60*t)`

f

`S(9)=20+5*cos((2pi)/60*9)=20+2,94=22,94` m.

g
`S(t)` `=` `23` m
`23` `=` `20+5*cos((2pi)/60*t)`
`cos((2pi)/60*t)` `=` `0,6`
`1/30pi*t` `=` `0,295pi+k*2pi` of `1/30pi*t=-0,295pi+k*2pi`
`t` `=` `8,86+k*60` of `t=-8,86+k*60=51,14+k*60`
h

Zie de figuur. Jan is na `30` s (op tijdstip `t=52,5` ) `30*1(1)/3=40` m van het bankje verwijderd. Uit de grafiek blijkt dat Jan de schaduw maar één keer tegenkomt.

i

Na ± `34` s (zie grafiek). Je kunt het controleren door `S(34)` te vergelijken met de afstand die Jan op dat tijdstip heeft afgelegd.

Opgave T1
a

Doen.

b

`f(x)=350 +50 sin( (2 pi) /24(x-26 ))`

c

`f(50 )=350 ,f(51 )~~351,29` en `f(52 )=352,5` .

d

`f(x)=325` geeft `sin( (2 pi) /24(x-26 ))=text(-)1/2` en dus `x=k*24 vv x=text(-)8 +k*24` .

Opgave T2

`y=10 +7 1/2sin( (2 pi) /10(x+5 ))` `y=10 +7 1/2cos( (2 pi) /10(x+2 1/2))`

verder | terug