Periodieke functies > TotaalbeeldToepassen
Het aantal volwassen stekelbaarsjes in het Uddelermeer is te benaderen door het model:
`A = 5 + 2 sin(1/6 pi (t - 7 1/2))`
Hierin is:
-
`A` het aantal stekelbaarsjes in duizendtallen
-
`t` de tijd in maanden met `t=0` op 1 januari en `t=6` op 1 juli
Bepaal de periode van deze functie.
Bereken het aantal stekelbaarsjes op 15 september.
Hoeveel volwassen stekelbaarsjes komen er in de maand september bij? Rond af op tientallen.
Bereken het maximale aantal stekelbaarsjes in het Uddelermeer volgens dit model. Bepaal ook de dag waarop dit aantal wordt bereikt.
De staatsuitgeverij publiceert elk jaar de Getijdentabellen voor Nederland. Daarin worden voor een aantal kustplaatsen zowel de dagelijkse tijdstippen voor hoogwater en laagwater als de verwachte hoogten (in centimeters) ten opzicht van Normaal Amsterdams Peil (NAP) vermeld. De volgende tabel is ontleend aan zo'n Getijdentabel. Hierin kan bijvoorbeeld worden afgelezen dat hoogwater te Harlingen op 1 juli 1989 verwacht werd op zowel het tijdstip 7 uur en 24 minuten ('s ochtends) als het tijdstip 20 uur en 4 minuten ('s avonds).
Door de gegevens over zeer lange tijd te middelen, krijgt men voor Harlingen de gemiddelde getijkromme die is weergegeven in de figuur.
Uit de tabel kan voor zes gevallen de tijdsduur worden berekend die verstrijkt van laagwater tot het eerstvolgende hoogwater.
Onderzoek met een berekening of het gemiddelde van die tijdsduren meer dan twee minuten afwijkt van de in de grafiek vermelde gemiddelde duur van 4 uur en 55 minuten.
De vorm van de grafiek laat duidelijk zien dat een model voor de gemiddelde getijdenbeweging dat uitgaat van één enkele sinusoïde niet erg realistisch is. Beter is het om het stijgende deel `AB` en het dalende deel `BC` elk met een afzonderlijke sinusoïde te beschrijven. Omdat de tijdsduur van 4 uur en 55 minuten ongeveer overeen komt met `4,92` uur, geldt voor de waterhoogte ( `h` ) voor waarden van `t` tussen `0` en `4,92` bij benadering:
`h=100,5 *sin(0,64 (t-2,46 ))+2,5`
Bereken uitgaande van dit model op welk tijdstip het water het snelst stijgt.
Waarom gaat dit model niet op voor het stijgende deel van de grafiek na `t=12,42` ?
Voor het dalende deel `BC` geldt bij benadering `h=100,5 *sin(a(t-b))+2,5` .
Bereken `a` en `b` in twee decimalen nauwkeurig.
In de praktijk gebruikt men in combinatie met de Getijdetafels voor het benaderen van de waterstand soms de twaalfdelenregel. Bij opkomend getij let men op de stijging ( `S` ) van de waterhoogte gerekend vanaf de laagwaterstand tot de eerstvolgende hoogwaterstand. De periode van opkomend getij wordt verdeeld in zes even grote tijdvakken en men veronderstelt:
-
in het eerste en het zesde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met `1/12` deel van `S` toe;
-
in het tweede en het vijfde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met `2/12` deel van `S` toe;
-
in het derde en het vierde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met `3/12` deel van `S` toe.
Benader met de twaalfdenregel en de gegevens van de tabel de waterhoogte te Harlingen op `3` juli 1989 omstreeks 8:00 uur 's ochtends.
In de natuur blijkt een wisselwerking te bestaan tussen het aantal roofdieren en hun
prooi.
We noemen dat de prooi-roofdier-cyclus. Deze cyclus kan met een wiskundig model vrij
aardig beschreven worden. Een toename van het aantal roofdieren zorgt ervoor dat het
aantal prooi-dieren dat wordt gevangen toeneemt. Dit gaat door, totdat het aantal
prooidieren te klein wordt en er voor de roofdieren te weinig voedsel is. Hierdoor
neemt het aantal roofdieren af. Enzovoort.
In een gebied wordt het aantal prooidieren gegeven door de formule:
`N(t) = 8000 + 3000*sin((pi)/18 t)`
Hierin is:
-
`N` het aantal prooidieren
-
`t` het aantal maanden, gerekend vanaf 1 januari 2000
Hoe groot is de periode van dit periodieke verschijnsel?
Bereken het minimale en maximale aantal prooidieren volgens dit rekenmodel
Bereken na hoeveel maanden `N` voor de eerste keer minimaal is.
Het aantal roofdieren
`R`
is ook een periodiek verschijnsel met dezelfde periode.
Het aantal roofdieren is maximaal
`2`
maanden nadat het aantal prooidieren maximaal is.
Verder geldt: het minimum aantal roofdieren is
`1000`
, het maximum is
`1500`
.
Geef de formule van `R` als functie van `t` .
Bereken het aantal maanden waarop het aantal roofdieren `1700` of meer bedraagt