Periodieke functies > TotaalbeeldToepassen
Een condensator bestaat uit twee geleidende platen of folies, waarvan de ene positief
en de andere negatief geladen is. Als je stroom naar een condensator laat stromen,
duurt het even voordat deze opgeladen is. Als de stroom maximaal is, is de spanning
gelijk aan nul en omgekeerd (zie figuur; let op: hoewel ze andere eenheden hebben,
zijn zowel de spanning
`U`
als de stroom
`I`
langs de verticale as uitgezet). Door het feit dat er eerst lading op de platen van
een condensator moet staan alvorens er spanning over kan staan, moet er dus eerst
een stroom met ladingsdragers vloeien voordat het elektrisch veld tussen de platen
opgebouwd kan worden en er een spanning kan ontstaan. Men zegt ook wel dat de spanning
`U`
na-ijlt op de stroom
`I`
, of dat de stroom voor-ijlt op de spanning.
Condensatoren worden gebruikt bij het omzetten van wissel-stroom (AC) in gelijkstroom
(DC) en worden ook veel gebruikt als sensor, omdat de spanning afhangt van de tussenstof
en de afstand van de platen.
Stel de `U,t` -functie op voor de spanning en de `I,t` -functie voor de stroom. Zorg er daarbij voor dat het sinusfuncties zijn.
Het na-ijlen wordt ook wel aangeduid met de term faseverschil of faseverschuiving. Deze geeft aan hoeveel de grafieken van spanning en stroom ten opzichte van elkaar verschoven zijn (uitgedrukt in graden, radialen of hoeveelste deel van een periode).
Hoe groot is het faseverschil tussen `U` en `I` ? Druk dit uit in graden, in radialen en als deel van de periode.
Vergelijk je antwoord bij b met de vergelijkingen bij a. Conclusie?
Stel nu `U(t)` en `I(t)` op als cosinusfuncties.
Controleer nu, uitgaande van de cosinusvergelijkingen, of het faseverschil nog klopt.
In 1610 werden de vier helderste Jupitermanen ontdekt door Galileï. De manen beschrijven bij benadering cirkelvormige banen om Jupiter, alle vier in dezelfde omlooprichting. Deze banen liggen (vrijwel) in één vlak met Jupiter en de Aarde. Daarom zie je Jupiter en de vier manen in een kijker altijd op één horizontale lijn liggen. De onderlinge posities van de manen in het kijkerbeeld veranderen voortdurend. Voor amateurastronomen worden maandelijks grafieken gepubliceerd waaruit ze op ieder moment de posities van de manen kunnen aflezen. Zie hemel.waarnemen.com: Galileïsche manen van Jupiter, slingerdiagram september 2008 Het diagram op de website geeft informatie over de maand september in 2008. Deze slingerdiagrammen zijn vrijwel zuivere sinusoïden.
Voor Ganymedes bijvoorbeeld wordt deze harmonische beweging goed beschreven door `u(t)=15 sin( (2 pi) /29.5(t-17 ))` waarin `t` de tijd in dagen is met `t=1` op 1 sep 2008 om 0:00 uur en `u` de uitwijking t.o.v. Jupiter gemeten in Jupiterstralen.
Zo kun je ook van de beweging van de drie andere Galileïsche manen een formule opstellen. En verder kun je op elk moment tekenen hoe je deze manen t.o.v. Jupiter vanaf Aarde ziet. Nog een leuke puzzel...
Op `1` september 2008 om 0:00 uur waren dus van links (west) naar rechts (oost) in de kijker te zien: Io (I, voor Jupiter), Europa (II), Ganymedes (III) en Callisto (IV). Hier zie je van de vier manen de posities op hum cirkelbanen op `1` januari 1990 om 0:00 uur getekend.
Teken in de figuur voor deze vier manen het deel van de baan dat ze doorlopen van 1 september 0:00 uur tot 5 september 0:00 uur.
In de kijker zie je de beweging van elk van die manen als een in de tijd veranderende uitwijking `u(t)` t.o.v. Jupiter op een horizontale as. Die uitwijking kan goed worden beschreven met een sinusoïde. `u` wordt uitgedrukt in veelvouden van de straal van Jupiter en `t` is in dagen. Voor Callisto geldt bij goede benadering `u(t)=26 sin(0,365 (t-24 ))` . (Hierbij is er van uit gegaan dat "West" een positieve waarde van `u` betekent en "Oost" een negatieve.)
Laat zien dat deze formule redelijk overeenkomt met de gegeven grafiek. Bereken met de formule de omlooptijd van Callisto.
Stel zelf zo'n formule op voor Ganymedes.
De manen zijn in de figuur naar verhouding veel te groot getekend. In werkelijkheid zijn het stipjes. Dus als `text(-)1 ≤u(t)≤1` dan kunnen de manen achter Jupiter zitten.
Bereken met behulp van de formule voor Ganymedes hoe lang deze maan achter Jupiter zit.