Modelleren > Een model opstellen
1234Een model opstellen

Toepassen

In een straat komen lantaarnpalen, waarbij de kosten zo laag mogelijk moeten zijn. Ontwerp een model voor de straatverlichting. Ga daarbij van de volgende gegevens uit:

  • De lichtsterkte (watt per m2) is recht evenredig met het vermogen (watt) van de lichtbron en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand (m) tot de lichtbron. Kun je verklaren waarom dit zo is?

  • Je verlicht de weg met straatlantaarns met een bepaald vermogen, een bepaalde hoogte en een bepaalde onderlinge afstand. Neem aan dat die niet variëren.

  • Wettelijk is vastgelegd dat de lichtsterkte op elk punt van een weg moet liggen tussen en  watt/m2.

Daarnaast moet je rekening houden met afschrijving en onderhoud van de palen. Die kosten hangen onder andere af van de hoogte en de onderlinge afstand . Hogere palen zijn namelijk duurder en een kleinere onderlinge afstand betekent meer palen. Verder zijn er kosten voor de elektriciteit: bijvoorbeeld € 0,15 per kWh. Dit betekent dat een lamp van kW die een uur brandt € 0,15 kost. Neem nu per jaar:

  • € 200,00 per lantaarnpaal voor schoonhouden, reparaties, schilderwerk en dergelijke;

  • € 50,00 per meter lantaarnpaal voor vervanging, afschrijving, onderhoud;

  • elektriciteit kost € 0,15 per kWh.

Opgave A1

Om je op weg te helpen even een paar ideeën. De volgende variabelen kunnen een rol spelen:

  • is de lichtsterkte in watt van de lamp in elke straatlantaarn.

  • is de hoogte in meter van de straatlantaarn (en dus van de lamp, neem je aan).

  • is de (vaste) onderlinge afstand in meter van een rij straatlantaarns aan één kant van de weg.

  • Aan beide zijden van de weg staan straatlantaarns en wel recht tegenover elkaar.

  • is de breedte in meter van de weg (en dus van de twee rijen straatlantaarns, neem je aan).

  • is de brandtijd (uur per jaar) dat de lampen branden.

De lichtsterkte (watt per m2) van elke afzonderlijke lamp is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tot de lamp. Dit kun je nagaan door te bedenken dat een oppervlak dat twee keer zo ver van de lamp is verwijderd de lichtsterkte moet verdelen over een vier keer zo groot geworden oppervlakte. Het punt met de grootste lichtsterkte zit steeds recht onder de lamp en is:

Het punt met de kleinste lichtsterkte zit op het midden van de weg, midden tussen vier lantaarns in.

a

Welke formule geldt voor de lichtsterkte in dit punt?
Neem aan dat andere lantaarns dan de omliggende geen bijdrage leveren aan de lichtsterkte in dit punt.

b

Welke twee voorwaarden leveren de formules bij a op?

Opgave A2

Bekijk de vorige opgave. Bijvoorbeeld , , en voldoet aan de twee voorwaarden. De jaarlijkse kosten per meter weg kun je berekenen met de formule:

a

Laat zien hoe je aan deze formule komt.

b

Probeer nu een oplossing voor het probleem te vinden. Pas eerst de aannames aan op grond van gegevens die je zelf hebt gevonden, bijvoorbeeld via internet.

verder | terug