Modelleren > Optimaliseren
1234Optimaliseren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

In de Uitleg wordt dit probleem besproken.

Opgave 1
a

De lengte is `2400/30 = 80` m. De oppervlakte wordt: `(30 + 20 + 10)(80 + 10 + 10) = 6000` m2.

b

De breedte is dan `2400/80 = 30` m. De oppervlakte wordt: `(30 + 10 + 10)(80 + 20 + 10) = 50 * 110 = 5500` m2. En dat is kleiner.

c

De andere afmeting is dan `2400/x` m en de oppervlakte wordt: `A(x) = (x + 10 + 10)(2400/x + 10 + 20) = (x + 20)(2400/x + 30)` m2

d

`A(x) = (x + 20)(2400/x + 30) = 3000 + 30x + 48000/x`
`A'(x) = 30 - (48000)/(x^2) = 0` geeft `48000/(x^2) = 30` , dus `x^2 = 1600` .
Je vindt een minimum van `5400` m2 bij `x = 40` m.

Opgave 2
a

Dan is de voorkant van de fabriekshal `x - 20` en de breedte ervan dus: `2400/(x - 20)`
De oppervlakte van het terrein is dan: `A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)` .

b

`A(x) = x(2400/(x - 20) + 30) = (2400x)/(x-20) + 30x`

Je kunt nu het minimum berekenen met behulp van differentiëren. Dan moet je goed de quotiëntregel van differentiëren beheersen: `A'(x) = (text(-)48000)/((x-20)^2) + 30` .
`A'(x)=0` geeft `48000/((x-20)^2)=30` zodat `(x-20)^2 = 1600` .
Hieruit vind je `x=60` .

Met GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine vind je een minimum van `5400` m2 bij `x = 60` m.

Opgave 3
a

Het blik is zuiver cilindervormig, het materiaal is overal even dik en eventuele opstaande randjes worden verwaarloosd. De hoeveelheid materiaal wordt dus alleen bepaald door de oppervlakte ervan.

b

De onder- en de bovenkant van het blik zijn cirkels met straal `r` en de mantel is een rechthoek met een hoogte van `h` cm en een breedte die gelijk is aan de omtrek van de grondcirkel.

c

Met `I=1000` vind je `1000 =πr^2 h` en dus: `h=1000/ (πr^2)`
Als je nu in de formule voor `A` deze uitdrukking invult voor `h` , dan vind je: `A(r)=2000/r+2 πr^2`

d

`A(r)=2000/r+2pir^2` geeft `A'(r) = (text(-)2000)/(r^2) + 4pi r` .
`A'(r) = 0` geeft `(2000)/(r^2) = 4pi r` en `r^3 = 2000/(4pi)` zodat `r~~5,4` .
Grafiek: minimum op `r~~5,4` .
Vervolgens gebruik je `h=1000/(pir^2)` om `h~~10,8` te vinden.

Opgave 4

Het pakje met de kleinste oppervlakte heeft `x ~~ 5,8` cm en `h ~~ 5,9` cm.

Opgave 5
a

Bijvoorbeeld `W(x) = (90 - 4x)(1000 + 100x) - 60(1000 + 100x) = text(-)400x^2 - 1000x + 30000` , met `W` in eurocent.

b

`W'(x) = text(-)800x - 1000 = 0` als `x = text(-)1,25` .

De winst is maximaal als `x = text(-)1,25` . En dat betekent dat hij de prijs eigenlijk met `5`  eurocent zou moeten verhogen om maximale winst te krijgen. Dus nee, beter niet.

c

Stel dat `x` het aantal pakken yoghurt is dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule:

`W(x)=(90-0,04(x-1000))x-60x = text(-)0,04x^2 + 70x`

`W'(x) = text(-)0,08x + 70 = 0` als `x=875` .

Je vindt nu dat er een maximum is bij `x=875` . Dus een afname van `125` pakken. Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met `5`  eurocent moet verhogen voor maximale winst.

Stel `x` is het aantal extra pakken yoghurt dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule:

`W(x)=(90-0,04x)(1000+x)-60(1000+x) = text(-)0,04x^2 - 10x + 29960`

`W'(x) = text(-)0,08x - 10 = 0` als `x=text(-)125` .

Je vindt nu dat er een maximum is bij `x=text(-)125` . Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met `5`  eurocent moet verhogen voor maximale winst.

Opgave 6
a

€ 6412,50

b

`TO(p)=(600 -6 p)(10 +0,25 p)=6000 +90 p-1,5 p^2`

c

`TO'(p) = 90 - 3p = 0` geeft `p=30` .
Grafiek of tekenschema afgeleide: `TO` is maximaal als `p=30` .

Opgave 7
a

De lengte en breedte zijn dan `20-2x` en de hoogte `x` .

Dus: `I=x (20 -2 x) ^2` .

b

`I(x) = x (20 -2 x) ^2 = 400x - 80x^2 + 4x^3`

`I'(x) = 400 - 160x + 12x^2 = 0` als `x = (40+-sqrt(400))/6` , zodat `x=60/6 vv x=20/6` .

Je vindt dat het maximum `593` cm3 is bij `x=20/6~~3,45` .

Opgave 8

Sportveld: Noem de lengte `l` en breedte `2 r` (in `l` en `r` in meters) waarin `r` de straal van de twee halve cirkels is.
Nu geldt: `2 l+2 πr=400` , dus `l=200 -πr` .
De oppervlakte van het sportveld is: `A=l*2 r=(200 -πr)*2 r=400 r-2 πr^2` .
`A'(r) = 400 - 4pir = 0` geeft `r=100/(pi)` .
Maximum zit bij `r=100/π~~31,8` .
Het sportveld is ongeveer `100` bij `64` m.

Opgave 9
a

`q = 12 - 0,1p`
`0,1p = 12 - q`
`p = 120 - 10q`
Uit deze formule kunnen we afleiden dat de prijs `0` is wanneer er `12000` autopeds worden verkocht. Dit betekend dat: `0 le q le 12` .

b

`p=120-10q`
Invullen geeft: `TO=pq=120 q-10 q^2`

c

`TW=TO-TK`

`TW=text(-)1,5 q^3+12,5 q^2`

d

`TW'= text(-)4,5q^2 + 25q = 0` geeft `q=0 vv q=50/9=5,5555...`

Maximum bij `q=5,5555...` Er is maximale winst als `q=5556` . De prijs van een autoped is dan € 64,44.

e

`GTK=1 ,5 q^2-22 ,5 q+120` met een minimum bij een afzet van `7500` stuks.

Opgave 10
a

De lengte van het linker voetpad is `sqrt(x^2+40^2)=sqrt(x^2+1600)` en de lengte van het rechter voetpad is `sqrt((80-x)^2+60^2)=sqrt(x^2-160x+10000)` .

Los op: `sqrt(x^2 + 1600) = sqrt(x^2 - 160x + 10000)` . Dit geeft `x = 52,5` .

b

Nu moet `L(x) = sqrt(x^2 + 1600) + sqrt(x^2 - 160x + 10000)` minimaal zijn. Dit levert (met GeoGebra, Desmos, de GR, of differentiëren) op: `x = 32` m en `L~~128` .

Dus de totale lengte is dan ongeveer `128` m.

Opgave 11

Neem voor het grondvlak van de rechthoekige ruimte een vierkant met zijde `x` . Met behulp van gelijkvormigheid kun je dan afleiden dat de hoogte ervan gelijk is aan `h=6 -1/2x` . De inhoud ervan is dan `I=x^2(6 -1/2x)=6 x^2-1/2x^3` .
`I'(x) = 12x - 1,5x^2 = 0` geeft `x=0 vv x=8` .
Met de grafiek vind je een maximale inhoud als `x=8` en dus `h=2` . De afmetingen zijn dus `8 \times 8 \times 2` m.

Opgave 12

Noem een kampeerplaats `x` bij `x` meter. Voor elke plaats is dan `x^2+20` m2 nodig. Omdat je over `1` ha beschikt, kun je `10000/ (x^2+20)` plaatsen aanleggen. De prijs per overnachting wordt: `2 ,50 x+4 ,50` .
De totale opbrengst per nacht wordt: `TO(x)=10000/ (x^2+20) *(2,50 x+4,50 )= (25000 x+45000) / (x^2+20)` .
Maximum (GeoGebra, Desmos, of GR, of differentiëren) bepalen geeft `x≈3,02` .
Een kampeerplaats wordt ongeveer `3` m breed.

Opgave A1
a

Eigen antwoord.

b

Het blauwe streepjeslijntje is `A` . Ga na dat de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `x-1` en `A` gelijkvormig is met de grotere rechthoekige driehoek met zijden `x` en `sqrt(2,5^2-x^2)` .
Daaruit volgt: `(x-1) /x= (A) / (sqrt(2,5^2-x^2))` en hieruit kun je de gegeven formule afleiden.

c

Maak de grafiek van `A` .
Je vindt een maximum bij `x ≈ 1,84` .

Opgave A2

Ongeveer `0,85` m

Opgave T1
a

Doen.

b

De poster moet ongeveer `8,2` bij `12,2` dm worden.

Opgave T2

De diepte is dan ongeveer `18,3` dm en de hoogte ongeveer `9,1` dm.

verder | terug