Modelleren > Optimaliseren
1234Optimaliseren

Toepassen

Opgave A1PharmaCie
PharmaCie

PharmaCie brengt een nieuw medicijn tegen hooikoorts op de markt. Het nieuwe medicijn van PharmaCie wordt in pilvorm verkocht.

Als een patiënt klachten krijgt, neemt hij een pil. De werkzame stof komt dan via de maag en de darm in de bloedbaan terecht. De hoeveelheid werkzame stof in de bloedbaan stijgt eerst en neemt daarna af omdat de stof door het lichaam wordt afgebroken. De concentratie van de werkzame stof in de bloedbaan noemen we `C` . In de figuur zie je een schets van de grafiek van  `C` .
Een onderzoeker van PharmaCie stelt het volgende rekenmodel op dat dit verloop redelijk benadert:
`C(t)=(16t)/(190t^2+60)`
Hierin is `C` de concentratie werkzame stof in mg/cm3 en `t` de tijd in uur na het innemen van de pil.

Bereken met behulp van de afgeleide van `C` na hoeveel minuten, gerekend vanaf het moment dat de pil is ingenomen, de concentratie werkzame stof maximaal is.

Opgave A2Zeemonsters
Zeemonsters

In 1972 werd de mesoplodon densirostris ontdekt in de oceaan. Het is een dolfijnensoort die `7` meter lang kan worden. Mede naar aanleiding van deze vondst deed de bioloog C. Paxton onderzoek naar de vraag hoeveel van dergelijke grote diersoorten er in de toekomst nog meer ontdekt zullen worden. Paxton beperkte zich tot wat hij zeemonsters noemde: dieren die in zee leven en meer dan `2` meter lang kunnen worden.

Op basis van gegevens over het aantal ontdekte zeemonsters in verschillende jaren stelde Paxton het volgende model op:

`P(t)=(264t - 476657)/(t - 1767)`

met

  • `P` het aantal soorten dat tot en met jaar `t` bekend is

  • `t` het jaartal

Met dit model kon hij een schatting maken van het aantal ontdekte soorten dat bijvoorbeeld op het eind van het jaar 1980 bekend is. Dan moet je `t = 1980` invullen in de formule. De uitkomst wordt afgerond op gehelen.

a

Vanaf eind 1895 tot en met eind 1995 zijn er in werkelijkheid `30` soorten ontdekt. Bereken hoeveel soorten er volgens het model van Paxton zouden zijn ontdekt in deze periode.

Zo nu en dan wordt er een nieuwe soort ontdekt. Dat betekent dat het aantal bekende soorten toeneemt. Het model van Paxton moet dus een grafiek opleveren die altijd stijgt. Dit kunnen we controleren met behulp van de afgeleide van `P(t)` .

b

Stel de formule op voor de afgeleide van `P(t)` en toon met behulp daarvan aan dat de grafiek van `P(t)` altijd stijgt.

J. Groot schreef in 2003 een artikel over het model van Paxton. Daarin schreef hij dat hij met dezelfde gegevens een ander model had gevonden. Zijn model zag er als volgt uit:

`G(t) = 218*(1-0,9799^(t-1798))`

Hierin is:

  • `G` het geheel aantal soorten volgens het model van Groot dat tot en met jaar `t` bekend is

  • `t` het jaartal

De twee formules hierboven zijn verschillend, dus je mag verwachten dat beide modellen niet altijd dezelfde uitkomsten opleveren. Vanwege de afronding op gehelen is er een aantal jaren waarvoor de twee modellen wél dezelfde uitkomst geven. Onder andere is dat het geval bij `t = 1938` : beide modellen leveren dan elk `205` bekende soorten. Er zijn nog meer jaren uit de periode 1930 tot en met 1945 waarvoor beide modellen dezelfde uitkomst geven.

c

Onderzoek welke jaren dat zijn.

Paxton en Groot ontwikkelden hun modellen vooral om een schatting te kunnen maken van het aantal soorten zeemonsters dat men in de toekomst nog zou kunnen ontdekken. Elk van deze beide modellen voorspelt dan ook dat het aantal soorten zeemonsters een grenswaarde heeft. Volgens het model van Paxton zullen er na 2009 nog `42` soorten zeemonsters ontdekt worden.

d

Bereken hoeveel soorten zeemonsters er na 2009 nog ontdekt zullen worden volgens het model van Groot.

verder | terug