Modelleren > OptimaliserenToepassen
Je ziet hier een dwarsdoorsnede van een garage met een garagedeur (in figuur `PQ` ). Bij het openen van de deur gaat de onderkant recht omhoog, terwijl de bovenkant langs het plafond horizontaal naar binnen gaat. Binnen in de garage moet dus voldoende ruimte zijn om te zorgen dat een auto niet beschadigd raakt door de naar binnen komende deur. De garagedeur is `2,50` m hoog en je auto is `1,50` m hoog. Hoe ver komt de deur op die hoogte van `1,50` m maximaal naar binnen?
Bekijk het probleem in
Probeer eerst om (zonder naar het antwoord te kijken) zelf een oplossing te vinden.
Noem de afstand van `P` tot het plafond `x` en de afstand die de deur op een hoogte van `1,50` m naar binnen komt `A` , beide in m. Je kunt dan met behulp van gelijkvormige rechthoekige driehoeken afleiden:
`A=( (x-1) /x)sqrt(2,5^2-x^2)`
Probeer zelf de formule voor `A` als functie van `x` af te leiden.
Bereken voor welke `x` de waarde van `A` maximaal is.
Bekijk de figuur van een bewegende garagedeur. De hoogte van punt `A` (de onderkant van de deur) boven de grond is in elke stand even groot als de lengte van `PB` .
Bereken hoe ver de onderkant van de deur maximaal naar buiten komt. Geef je antwoord in meter. Rond af op twee decimalen.
Onder welke hoek kun je een kogel het beste stoten? Is de hoek te groot, dan komt de kogel wel hoog, maar niet ver. Is de hoek te klein, dan is de verblijfsduur van de kogel (in de lucht) klein, hetgeen nadelig is voor de gestootte afstand.
Zie bijgaande schets van de snelheidsvector. Voor het analyseren van de beweging van de kogel is deze ontbonden in een horizontale en een verticale component. Luchtwrijving wordt verwaarloosd, evenals de beginhoogte.
| Verticaal geldt | Horizontaal geldt |
| `y(t)=V_y(0)*t-5t^2` | `x(t)=V_x(0)*t` |
| `V_y(t)=V_y(0)-10t` | `V_x(t)=V_x(0)` |
Waaraan kun je zien dat er voor de beginhoogte `0` (nul) gekozen is?
Hoe zie je in de formule dat er geen rekening is gehouden met de luchtwrijving?
De kogel komt het verst als `x(t)` maximaal is.
Schrijf de plaatsfuncties en snelheidsfuncties uit de tabel opnieuw, maar dan met `V*sin(alpha)` voor `V_y(0)` en `V*cos(alpha)` voor `V_x(0)` .
De kogel komt het verst als `x(t)` maximaal is, dus als `V_x(0)*t` zo groot mogelijk is.
Waarom is het beter om te zeggen dat `x=x(alpha)` (spreek uit: `x` als functie van `alpha` ) zo groot mogelijk moet zijn?
Je gaat `x(t)=V_x(0)*t` ombouwen naar `x(alpha)=...` . In vraag c. heb je de eerste stap gedaan, nu ga je de volgende stap maken.
Als de kogel op de grond komt (in het verste punt) geldt: `y(t)=0` . Laat zien dat dit geldt voor `t=1/5V*sin(alpha)` .
Je kunt nu voor `x(t)=V_x(0)*t` schrijven: `x(alpha)=1/5V^2*sin(alpha)*cos(alpha)` .
Toon dit aan en laat zien dat dit uiteindelijk geschreven kan worden als `x(alpha)=1/10V^2*sin(2alpha)` .
Bepaal `(text(d)x)/(text(d)alpha)` en bereken de optimale stoothoek.