Modelleren > Dynamische modellen
1234Dynamische modellen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

In de uitleg wordt dit probleem besproken.

Opgave 1
a

De duur van deze griep is vier dagen. Voor een willekeurig ziek persoon is er dus `25` % kans dat het zijn laatste dag van de griep is.

b

In de eerste modelformule vind je dit terug.

c

In B5 staat het aantal gezonde personen en in C5 het aantal zieke personen op `t=0` . 20% van alle zieken steekt een gezond iemand aan, dus het aantal gezonde personen op `t=1` is B6=B5-0,2*C5. (Het $-teken bij B en C zorgt ervoor dat de kolommen vastgezet worden.)

In C6 en D6 zie je de vertaling naar Excel van de andere twee formules.

d
tijd gezond ziek immuun totaal
t G Z I  
0 `99400` `100` `500` `100000`
1 `99380` `95` `525` `100000`
2 `99361` `90` `549` `100000`
3 `99343` `86` `571` `100000`
4 `99326` `81` `593` `100000`
5 `99310` `77` `613` `100000`
6 `99294` `74` `632` `100000`
e

Het maximaal aantal zieken is `100` .

Het model is niet erg realistisch. Het aantal personen bijvoorbeeld dat ziek wordt gemaakt door iemand die al ziek is, hangt vooral af van het aantal gezonde mensen (alleen die kunnen nog ziek worden). Dat zal geen vast percentage van het aantal zieken zijn.

Opgave 2
a

`0,02` , dus `2` %.

b

Het model wordt bijgesteld naar:
`G(t+1) = G(t) - 0,02*0,5*G(t)=G(t)-0,01*G(t)`
`Z(t +1) = Z(t) - 0,25Z(t) + 0,02*0,5*G(t)=0,75Z(t)+0,01G(t)`
`I(t +1) = I(t) + 0,25Z(t)`

c

Ter vergelijking, hier de tabel tot en met `t=6` .

tijd gezond ziek immuum totaal
t G Z I  
0 99400 100 500 100000
1 98406 1069 525 100000
2 97422 1786 792 100000
3 96448 2314 1239 100000
4 95483 2700 1817 100000
5 94528 2980 2492 100000
6 93583 3180 3237 100000
d

In werkelijkheid blijven mensen niet altijd immuun. Dus na verloop van een bepaalde tijd moeten de mensen die in de categorie "immuun" zitten, weer terugvloeien naar de categorie "gezond" . Dat betekent een bijstelling van de modelformules. Ook kan natuurlijk worden gespeeld met de gekozen kansen. Je kunt dan (zeker met behulp van Excel) snel kijken welke invloed dit heeft op het verloop van het aantal zieken.

e

Vergelijken met een echte griepgolf uit voorgaande jaren.

Opgave 3
a

Het verversen van het water gaat in feite constant door, niet in vaste stappen.

b

Het eerste uur wordt `60` m3 van de in totaal `1000` m3 vervangen door schoon water. Daarin zit `60` liter chloor.
Aan het begin van het tweede uur is er in totaal nog `940` liter chloor in het bad over. Daarvan verdwijnt in dat uur weer het `60/1000` deel en dat is `56,4` liter.

c

Elk uur verdwijnt het `60/1000` deel van de aanwezige hoeveelheid chloor.

d
`t` 0 1 2 3 4
`C(t)` 1 0,940 0,8836 0,8306 0,7807
e

na `15` uur

f

Het verversen gaat dan sneller.

Opgave 4
a

De eerste minuut wordt `0,8` m3 van de in totaal `1000` m3 vervangen door schoon water. Daarin zit `0,8` liter chloor.
Aan het begin van de tweede minuut is er in totaal nog `999,2` liter chloor in het bad over. Daarvan verdwijnt in die minuut het ` (0,8)/1000` deel en dat is `0,79936` liter.

b

`C(t+1) = C(t) - 0,0008*C(t) = 0,9992*C(t)`

c
`t` 0 1 2 3 4 5
`C(t)` 1 0,9992 0,9984 0,9976 0,9968 0,9960
d

na ongeveer `14` uur en `27` minuten

Opgave
a
`t` 0 1 2 3 4 5
`T` 100 88 77,8 69,1 61,8 55,5
b

`T(t+1)=T(t)-c*(T(t)-19)`

Opgave 6
a

De temperatuur daalt de eerste minuut relatief harder dan de minuten die erna komen. De temperatuursdaling gaat steeds langzamer: er is sprake van "afnemende daling" .

b

Pas het Excel-werkblad uit het voorbeeld aan. `c` is afhankelijk van allerlei factoren, zoals oppervlakte van het koelende voorwerp, hoe goed het geïsoleerd is, enzovoort.

c

Pas het Excel-werkblad uit het voorbeeld aan.

Opgave 7
a

€ 1409,44

b

Het saldo neemt elk maand met 0,5% toe, daarom vermenigvuldig je `K(t)` met `1,005` . Daarnaast zet je elke maand € 50,00 op de bank, vandaar de `+ 50` .

Het startkapitaal `K(0)` is € 1240,00.

c

€ 1581,44

Opgave 8

Noem het aantal bomen `B` , dan is:

  • `B(t+1 )=0,82 *B(t)+1000`

  • `B(0 )=5000`

`t` 0 1 2 3 4 5 6
`B(t)` 5000 5100 5182 5249 5304 5350 5387
Opgave 9
a

`K(t + 1) = 1,05 * K(t)` met `K(0) = 5000`

b
`t` 0 1 2 3 4 5 6
`K` 5000 5250 5513 5788 6078 6381 6700

Er is sprake van exponentiële groei, omdat het aantal konijnen jaarlijks met hetzelfde percentage toeneemt.

c

na `23` jaar

d

`c = 0,00035`

e
`t` 0 1 2 3 4 5 6
`K` 5000 5250 5053 5212 5086 5187 5107
Opgave 10
a

De toename is recht evenredig met het temperatuursverschil. Dus: `T(t+1 )-T(t)=c*(20 -T(t))`

b

Na `26` minuten is het verschil minder dan `1` °C.

c

De grenswaarde vind je als `T(t+1 )≈T(t)` , dus als: `20 -T(t)≈0` . Dit betekent `T(t)=20` als grenswaarde.

Opgave 11
a
maand 0 1 2 3 4 5 6
geslachtsrijp 1 1 2 3 5 8 13
niet geslachtsrijp 0 1 1 2 3 5 8
totaal 1 2 3 5 8 13 21

Maak eerst een tabel.

`A(n+2) = A(n) + A(n+1)` met `A(0 )=1` en `A(1 )=2`

b

`377` konijnen

c

`3`

Opgave A1
a

`20` % van de bevolking.

b

`S(t+1) = S(t) + Delta S(t) = S(t) - 0,20*S(t) + 0,30*(1-S(t))=0,30 + 0,50S(t)`

c

Uiteindelijk zal in deze regio `60` % van de mensen in de stad en `40` % op het platteland wonen.

d

Uiteindelijk zal in deze regio nu ook `60` % van de mensen in de stad en `40` % op het platteland wonen. De startwaarden maken niet uit.

e

Dit doe je door het model uit te breiden met bijvoorbeeld een variabele voor buiten de regio (zoals `B` ), met bijbehorende percentages van en naar `S` en `P` .

Opgave A2Browsers
Browsers
a

Je krijgt:

`D(t+1)=0,75 *D(t)+0,32 *L(t)`

`L(t+1)=0,25 *D(t)+0,68 *L(t)`

`D(0 )=0,5` en `L(0 )=0,5`

b

Met Excel kun je snel een tabel maken. Je vindt ongeveer `56` %.

Opgave T1
a

Neem `t` in maanden. `0,30` % per jaar betekent een groeifactor van ongeveer `1,003` per maand. Dus `S(t+1) = 1,003 * S(t) - 1500` met `S(0) = 1000000` .

b

Gebruik Excel.

Opgave T2
a

`ΔN_t=N_(t+1) -N_t=c*(5000 -N_t)` , geeft `N_(t+1) =5000 c+(1 -c)*N_t` .

b

Gegeven is nu: `N_0 =1000` en `N_1 =1600` . Invullen in de formule geeft: `1600 =5000 c+(1 -c)*1000` , dus `4000 c=600` . Dan is `c=0 ,15` .

d

Maak een tabel bij dit groeimodel en bekijk de groei per jaar. Je ziet dat er vanaf het begin ieder jaar er minder meervallen bijkomen.

verder | terug