Modelleren > Dynamische modellen
1234Dynamische modellen

Oefenen

Opgave 7

Je hebt op 1 januari 2015 een saldo van € 1240,00. En je besluit dat geld op een spaarrekening te zetten. Verder maak je aan het begin van elke maand € 50,00 naar die spaarrekening over, te beginnen op 1 februari 2015. Je krijgt aan het eind van elke maand % rente over het saldo van dat moment. Je haalt voorlopig geen geld van deze spaarrekening en je doet ook geen andere stortingen.

a

Bereken het saldo op 1 april 2015.

b

Leg uit dat het saldo van je bankrekening maanden na 1 januari 2015 kan worden berekend door met .

c

Bereken het saldo op 1 juli 2015.

Opgave 8

Staatsbosbeheer heeft een bepaald perceel waarop ongeveer bomen van een bepaalde soort kunnen staan. Dit perceel is bedoeld als productiebos: na een aantal jaren zijn de eerste bomen groot genoeg om te kunnen worden gekapt. Om een stabiele jaarlijkse opbrengst te hebben wordt er jaarlijks maar % van de bomen gekapt en worden er aangeplant. Het eerste jaar zijn er bomen geplant.

Stel een dynamisch model op voor het aantal bomen op dit perceel en maak een tabel van het verloop van de eerste zes jaren ervan.

Opgave 9

In 2005 leefden er in een natuurgebied konijnen. Hun aantal is in de jaren daarna telkens met % toegenomen.

a

Ontwerp een dynamisch groeimodel voor het aantal konijnen waarin het aantal jaren na 2005 is.

b

Maak een tabel van de groei van het aantal konijnen in de loop van de tijd. Van wat voor soort groei is er sprake?

c

Na hoeveel jaar zullen er voor het eerst meer dan konijnen zijn?

Deze groei van het aantal konijnen kan niet onbeperkt doorgaan. In dit natuurgebied is slechts plaats voor een beperkt aantal konijnen. Een onderzoeker heeft een aangepast groeimodel opgesteld. Daarin is , waarin . Dit model blijkt in 2006 precies hetzelfde geschatte aantal konijnen op te leveren als het model dat je bij a hebt ontworpen en ook in de daarop volgende jaren redelijk bij dat model te passen.

d

Welke waarde moet dan hebben?

e

Maak voor dit aangepaste groeimodel een tabel van het aantal konijnen in de loop van de tijd.

Opgave 10

Als je melk uit de koelkast haalt en in een glas schenkt, loopt de temperatuur op vanaf °C (de temperatuur binnen de koelkast) naar de kamertemperatuur van °C. De toename van de temperatuur per minuut is recht evenredig met het temperatuursverschil met de omgeving.

a

Leg uit dat hieruit deze modelformule is af te leiden: , waarin het aantal minuten is.

Neem aan dat .

b

Bepaal na hoeveel minuten de temperatuur van de melk minder dan °C verschilt van de kamertemperatuur.

c

Laat zien hoe de grenswaarde uit de gegeven modelformule is af te leiden.

Opgave 11

Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci (ongeveer 1180-1250) geeft in zijn boek "Liber Abaci" uit 1202 het volgende raadsel weer:
"In een afgesloten gebied zet ik één paar konijnen. Dit paar werpt elke maand één paar jongen. Al die jongen krijgen op hun beurt ook weer jonge konijntjes, maar pas vanaf hun tweede levensmaand en dan ook weer elke maand één paar jongen. Hoeveel paren konijnen zijn er nu na één jaar?"

a

Stel een dynamisch rekenmodel op voor het aantal paren konijnen na maanden.

b

Beantwoord de vraag die Leonardo van Pisa in zijn raadsel stelt.

c

Hoeveel paren konijnen (die meteen elke maand één paar jongen krijgen) zijn er in het begin in het afgesloten gebied gezet, als er na een jaar  paren konijnen zijn?

verder | terug