Modelleren > Dynamische modellen
1234Dynamische modellen

Voorbeeld 1

In een zwembad is op zeker moment de chloorconcentratie `1` L/m3. Dat is te hoog en dus wordt het water ververst. Elk uur wordt `60` m3 badwater vervangen door `60` m3 schoon water. Er zit in totaal `1000` m3 water in het zwembad.
Na hoeveel uur is de chloorconcentratie gehalveerd?

> antwoord

Noem de chloorconcentratie `C(t)` waarin `t` de tijd in uur is en `C` in L/m3.
Ga ervan uit dat telkens het schone water zich onmiddellijk met al het badwater vermengt, zodat `C(t)` in het hele zwembad steeds op een bepaald tijdstip hetzelfde is, waar je ook meet.
Elk uur wordt de chloorconcentratie met `Delta C(t) = 0,060*C(t)` verminderd.

Dus geldt de modelvergelijking: `C(t+1) = C(t) - 0,060*C(t) = 0,940*C(t)`

De chloorconcentratie op `t=0` (als het verversen van het water begint) is `C(0)` .
Je vindt dan: `C(1)=0,940*C(0)` , `C(2)=0,940*C(1)=0,940^2*C(0)` , `C(3)=0,940*C(2)=0,940^3*C(0)` , enzovoort. Door steeds maar door te blijven rekenen bepaal je na hoeveel minuten `C` is gehalveerd.
De halveringstijd is ongeveer `11,2` uur.

Zie het bestand Modelzwembad.

Opgave 3

In het voorbeeld wordt beschreven hoe het water van een groot zwembad wordt ververst, omdat de chloorconcentratie te hoog is. Hier dient een discreet dynamisch model als benadering van het voortdurende verversingsproces (uitstromen van vuil water en instromen van schoon water).

a

Waarom is dit geen discreet model?

b

Stel je kijkt om het uur naar het verversingsproces. Leg uit waarom er het eerste uur `60` liter chloor verdwijnt. Verklaar waarom er het tweede uur `56,4` liter chloor verdwijnt.

c

Leg uit waarom `Delta C(t)=text(-)0,060*C(t)` .

d

Maak handmatig een tabel voor de afname van de chloorconcentratie voor de eerste vier uur.

e

Na hoeveel uur is `C` met meer dan `60` % afgenomen?

f

Je kunt op het werkblad de chloorconcentratie aanpassen.

Wat gebeurt er als de chloorconcentratie twee keer zo groot wordt?

Opgave 4

Bekijk opnieuw het verversen van het water in het zwembad uit het voorbeeld. Neem nu aan dat elke minuut badwater wordt vervangen door `0,8` m3 schoon water. Neem `Delta t = 1` minuut.

a

Hoeveel chloor verdwijnt er de eerste minuut? En de tweede minuut?

b

Hoe ziet je modelvergelijking er in deze situatie uit?

c

Maak een nieuwe tabel voor de afname van de chloorconcentratie voor de eerste `5` minuten.

d

Na hoeveel tijd is de chloorconcentratie gehalveerd?

verder | terug