Modelleren > Onderzoeksopdrachten
1234Onderzoeksopdrachten

Toepassen

De volgende opdrachten zijn bedoeld als onderzoeksopdrachten. De bedoeling is dat je zelf een onderzoekje doet, mogelijk zelfs met een eigen experiment. Daarvan maak je een uitgebreid onderzoeksverslag.
Je vindt dan ook geen uitgebreide uitwerkingen bij deze opgaven.

Opgave A1Elektrisch rijden?
Elektrisch rijden?

Het rijden in een auto kost geld. Je maakt kosten vanwege de brandstof of de elektriciteit, maar ook betaal je wegenbelasting, verzekering, en dergelijke. En tenslotte moet je de auto kopen en ook dat kost geld. Ga na wat voordeliger is: rijden op fossiele brandstoffen of rijden op elektriciteit.

Hier heb je enkele gegevens om mee te werken:

  • Smart fortwo op benzine:

    • benzine kost € 1,60 per liter;

    • je rijdt gemiddeld km per liter benzine;

    • de jaarlijkse kosten (wegenbelasting, garage, verzekering, etc.) zijn ongeveer € 2000,=;

    • de aanschafprijs is € 15000,=.

  • Smart fortwo op elektriciteit:

    • elektriciteit kost € 0,20 per kWh;

    • de maximale accucapaciteit is € 17,6 kWh;

    • met de maximale accucapaciteit rijd je gemiddeld km;

    • de jaarlijkse kosten (wegenbelasting, garage, verzekering, etc.) zijn ongeveer € 1200,=;

    • de aanschafprijs is € 22000,=.

Maar het is natuurlijk leuker om met actuele gegevens te werken en je "eigen" type auto te kiezen!

Bereken van een bepaald merk auto wat voordeliger is: rijden op fossiele brandstoffen of rijden op elektriciteit.

Opgave A2Kogelbaan
Kogelbaan

De kogelbaan is een model voor de baan die een in vacuüm (om luchtweerstand te kunnen verwaarlozen) onder een bepaalde hoek en met een bepaalde snelheid afgeschoten massapunt aflegt.
Noem de beginsnelheid en de hoek waaronder het massapunt wordt afgeschoten .

De snelheid in de -richting is .
De snelheid in de -richting is , maar daar telt ook de zwaartekracht nog mee.
Dus is:

en .

Hierin is de gravitatieconstante: m/s2.
Hiermee maak je een model in Excel: Model kogelbaan.
Laat zien dat bij de baan de formule hoort.
Kun je de gunstigste afschiethoek bepalen als je de kogel zo ver mogelijk van het afschietpunt weer op de grond wilt laten komen?

Zie ook deze simulatie van de kogelbaan.

a

Leid zelf de vergelijking van de baan van deze parabool af.

b

Druk het punt waar de kogel weer op de grond komt uit in , en .

c

Bij welk waarde voor komt de kogel zo ver mogelijk? Druk de hoogte die de kogel dan haalt uit in en .

Opgave A3Kortste weg of snelste weg?
Kortste weg of snelste weg?

Een boer wil water naar de waterbak brengen die voor zijn paarden is bestemd. Hij haalt dat uit de sloot met behulp van een emmer. Daarbij neemt hij ofwel de kortste weg, ofwel de snelste weg. In de figuur hiernaast is een bovenaanzicht van de situatie getekend met de afstanden er in aangegeven.

a

Bepaal de kortste weg van naar via de sloot.

Met een lege emmer loopt de boer met een snelheid van m/s, met een volle emmer met een snelheid van m/s.

b

Bepaal de snelste weg van naar via de sloot.

Opgave A4Geremde exponentiële groei
Geremde exponentiële groei

In deze tabel zie je de groei van een aantal fruitvliegjes ( "Drosophila melanogaster" ). De populatie leeft in een afgesloten ruimte met voldoende voedsel. is het aantal fruitvliegjes.

(dagen) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
2 5 10 22 47 91 156 226 282 317 335 343 347
a

Ga na dat deze groep fruitvliegjes in het begin exponentieel groeit.
Met welk percentage par dag?

Er blijkt uiteindelijk toch geen sprake te zijn van exponentiële groei. nadert de fruitvliegjes.

De bijpassende formule heeft daardoor de vorm: .

b

Stel de formule op die bij deze tabel past.
Bereken bij welke waarde van de groeisnelheid maximaal is.

c

Probeer bij de groei van de mensheid zo'n geremd exponentieel groeimodel op te stellen.

Opgave A5Filevorming
Filevorming

Als in een min of meer constante stroom auto's met ongeveer dezelfde snelheid wordt geremd, kan er een file ontstaan. Stel je nu voor dat door werkzaamheden een rijstrook op de snelweg is afgesloten. Bij het invoegen van auto's naar één rijstrook moet vaak onhandig worden gemanoeuvreerd, zodat het verkeer moet afremmen of zelfs stil moet staan. Dit is het moment dat een file ontstaat. Zo'n file is niet nodig als iedereen tijdig de juiste doorstroomsnelheid kiest. Daarbij gaat het erom dat zoveel mogelijk auto's per tijdseenheid de wegversmalling passeren.

Onder bepaalde aannames kun je een formule afleiden voor het aantal auto's dat op een bepaald punt kan passeren afhankelijk van de snelheid. Bijvoorbeeld:

  • Alle auto's passeren het punt met dezelfde constante snelheid van v km/uur.

  • Alle auto's hebben dezelfde lengte van ongeveer m.

  • Alle auto's houden een onderlinge afstand die gelijk is aan hun remweg.

  • Alle auto's hebben dezelfde remweg die is te berekenen door de snelheid in km/uur te delen door , daarvan het kwadraat te nemen en dat getal met te vermenigvuldigen.

Stel op grond van deze aannames een formule op voor het aantal auto's dat per minuut het punt passeert waar de file ontstaat als functie van . Bepaal van de gevonden functie een maximum en vooral de waarde van waarvoor dat maximum optreedt. Dat is dan de optimale doorstroomsnelheid.

Opgave A6Prooi-, roofdiercyclus
Prooi-, roofdiercyclus

In veel natuurgebieden is er sprake van een wisselwerking tussen de roofdieren en hun prooi, zoals vossen en konijnen. Modellen die zo’n wisselwerking bestuderen, heten prooi-roofdiermodellen. De Italiaanse wiskundige Vito Volterra en de Amerikaanse wiskundige Alfred J. Lotka ontwierpen in 1925/1926 een dynamisch model voor dergelijke wisselwerkingen. Als het aantal prooidieren en het aantal roofdieren op tijdstip is, zien hun vergelijkingen er in discrete vorm zo uit:


Hierin zijn , , en positieve getallen.

a

Verklaar hoe je in dit model kunt zien dat roofdieren voor minder prooidieren zorgen.

b

Stel , wat zou er dan met het aantal prooidieren gebeuren?

c

Neem , , , , en .

Hoeveel prooi- en roofdieren zijn er op ?

verder | terug