ongeveer `22` cL
Ongeveer `17290` mm2.
`629` koffiebekers
Voor piramides en kegels.
Je moet dan aannemen dat het grondvlak een cirkel met straal
`r`
is.
Voor de oppervlakte van dat grondvlak geldt dan
`G = pi r^2`
.
Als je een dwarsdoorsnede van de twee kegels (waar het koffiebekertje het verschil
van is) tekent, dan krijg je twee gelijkvormige gelijkbenige driehoeken. De éne driehoek
heeft een basis van
`64`
mm en een hoogte van
`90+h`
mm. De andere driehoek heeft een basis van
`46`
mm en een hoogte van
`h`
mm.
Uit de gelijkvormigheid volgt dat de verhouding van de twee basissen en de twee hoogtes
gelijk zijn.
Uit
`46/64 = h/(h+90)`
volgt
`23/32(h+90) = h`
en dus
`23h + 2070 = 32h`
.
Dit betekent
`9h = 2070`
zodat
`h=230`
mm.
Zie
In de formule voor de inhoud
`V = 1/3 pi r^2 h`
worden zowel
`r`
als
`h`
verdubbeld.
De inhoud wordt dan
`V = 1/3 pi * (2r)^2 * 2h = 1/3 pi * 8r^2 h = 8* 1/3 pi r^2 h`
.
Voor kubussen, balken, prisma's en cilinders.
Je moet dan aannemen dat het grondvlak een cirkel met straal
`r`
is.
Voor de oppervlakte van dat grondvlak geldt dan
`G = pi r^2`
.
`V = 6*6*6 = 216` cm3.
Het grondvlak is een gelijkzijdige driehoek met basis `6` cm en hoogte `sqrt(6^2-3^2) ~~ 5,2` cm.
De oppervlakte van het grondvlak van het prisma is `1/2*6*5,2 ~~ 15,6` cm2.
De inhoud van het prisma is `15,6*6 ~~ 93,5` cm3.
De oppervlakte van het grondvlak van de cilinder is `pi*3^2 ~~ 28,3` cm2.
De inhoud van de cilinder is `28,3*6 ~~ 169,6` cm3.
De inhoud van de bol is `4/3 pi * 3^3 ~~ 113,1` cm3.
Een kegelmantel is een "taartpunt" een deel van een cirkel, een cirkelsector.
`A = pi R^2` .
Het `(2pi r)/(2pi R) = r/R` -de deel van `pi R^2` is `r/R * pi R^2 = pi * (r R^2)/R = pi rR` .
Reken de antwoorden in
In de formule voor de oppervlakte van een kegelmantel
`A = pi rR`
worden zowel
`r`
als
`R`
verdubbeld.
In de formule voor de oppervlakte van een cirkel
`A = pi r^2`
wordt
`r`
verdubbeld, dus
`r^2`
wordt
`2^2 = 4`
keer zo groot.
Ja, alleen is zo'n uitslag nogal moeilijk te maken en is de oppervlakte ervan moeilijk
te bepalen. Hiervoor gebruik je de formule uit de
Je moet dan aannemen dat het grondvlak en het bovenvlak een cirkel met straal
`r`
is.
Voor de oppervlakte van elk van die vlakken geldt dan
`G = pi r^2`
.
De cilindermantel is een rechthoek van
`2pi r`
bij
`h`
en heeft dus een oppervlakte van
`2pi rh`
.
`A = 2*6*5 + 2*6*4 + 2*5*4 = 148` cm2.
Het grondvlak is een gelijkzijdige driehoek met basis `6` cm en hoogte `sqrt(6^2-3^2) ~~ 5,2` cm.
De oppervlakte van het grondvlak van het prisma is `1/2*6*5,2 ~~ 15,6` cm2.
De totale oppervlakte van het prisma is `15,6*2 + 6*6*3 ~~ 139,2` cm3.
De oppervlakte van de cilinder is `2*pi*3*6 + 2*pi*3^2 ~~ 169,6` cm2.
De oppervlakte van de bol is `4*pi*3^2 ~~ 113,1` cm2.
`Z` is het snijpunt van de loodlijn door `F` op `SB` . De afstand van `Z` tot `AB` is een vierde van de lengte van `BC` , dus die afstand is `1/4*6=1,5` . Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dat de hoogte van het trapezium gelijk is aan `sqrt(6^2+1,5^2)=sqrt(38,25)` .
De hoogte van elk opstaand zijvlak is
`sqrt(6^2-2^2)=sqrt(32 )`
.
De totale buitenoppervlakte is
`6^2+2^2+4 *1/2*(6 +2 )*sqrt(32 )=40 +16 sqrt(32 )`
cm2.
De hoogte van de afgeknotte piramide is `sqrt(6^2 - 2^2 - 2^2) = sqrt(28)` .
De afgeknotte piramide is het verschil van een grote piramide met grondvlak
`6`
bij
`6`
en hoogte
`x+sqrt(28)`
en een kleinere piramide met grondvlak
`2`
bij
`2`
en hoogte van
`x`
.
Nu is:
`x/ (x+sqrt(28)) =2/6`
en dus is
`x=1/2sqrt(28) ~~ 2,65`
.
De inhoud van de afgeknotte piramide is ongeveer: `1/3*6 *6 *7,94 -1/3*2 *2 *2,65~~ 91,7` .
Er is dan ongeveer `937` cm3 metaal nodig.
ongeveer `818` cm2
`EF = sqrt(32)` , `DF = 5` en `DE = sqrt(33)` .
Cosinusregel: `32 = 25 + 33 - 2 * 5 * sqrt(33) * cos(/_EDF)` .
Dus: `cos(/_EDF)= (text(-)26) / (text(-)10sqrt(33)) ≈ 0,4526` , zodat `/_EDF~~63^@` .
Hoogtelijn `ES` heeft een lengte van `sqrt(33)*sin(63^@) ~~ 5,1` .
De oppervlakte van `Delta DEF` is ongeveer `1/2*5*5,1~~12,8` .
`~~ 12,8 + 1/2*4*4 + 3*4 + 1/2*3*4 + 2*4 + 1/2 * 4 *4 = 54,8` .
Het prisma `ABC.EGH` heeft inhoud `1/2 * 4 * 4 * 2 = 16` .
De piramide `E.GHFD` heeft inhoud `1/3 * (1*4 + 1/2 * 3*4) * 4 = 40/3` .
Het totale volume is `22 2/3` .
Halve kegel: Het gaat hier om een halve kegelmantel, een halve grondcirkel en een driehoek. Dus de oppervlakte is `1/2*pi *1,5 *sqrt(1,5^2+3^2)+1/2*pi *1,5^2+1/2*3*3≈15,94` m2.
Kwart bol: Het gaat hier om een kwart van een boloppervlak en tweemaal een halve grondcirkel. Dus de oppervlakte is `1/4*4 pi *1,5^2+2 *1/2*pi *1,5^2=4,5 pi ≈14,14` m2.
Diabolo: Het gaat hier om twee dezelfde afgeknotte kegels plus de oppervlakte van de twee grondcirkels met een straal van `1,5` m.
Dus de oppervlakte is `2 *(pi *1,5 *sqrt(1,5^2+2,25^2)-pi *0,5 *sqrt(0,5^2+0,75^2))+2 *pi *1,5^2≈36,79` m2.
inhoud (halve kegel)
`=1/2*1/3 pi *1,5^2*3 =1,125 pi`
m3
inhoud (kwart bol)
`=1/4*4/3pi *1,5^3=1,125 pi`
m3
inhoud (diabolo)
`=2 *(1/3pi *1,5^2*2,25 -1/3pi *0,5^2*0,75 )=3,25 pi`
m3
Het schilddak bestaat uit twee trapezia `ABEF` en `CDEF` en twee gelijkbenige driehoeken `BCF` en `ADE` .
De hoogte van de driehoek is `sqrt(3^2+5^2)=sqrt(34)` m. Dus de oppervlakte van de driehoek is `1/2*8*sqrt(34)=4sqrt(34)` m2.
De hoogte van het trapezium is `sqrt(5^2+4^2)=sqrt(41)` m. Dus de oppervlakte van het trapezium is dan `1/2*(12+6)*sqrt(41)=9sqrt(41)` m2.
In totaal vind je dan voor de oppervlakte van het schilddak:
`=2 *1/2*8 *sqrt(34 )+2 *1/2*(12 +6 )*sqrt(41 )=8 sqrt(34 )+18 sqrt(41 )`
m2
Het gaat het gemakkelijkst als je het schilddak in drie delen verdeelt: een driehoekig prisma op zijn kant en aan weerszijden twee gelijke halve piramides. Beide halve piramides kun je samenvoegen tot één piramide.
Inhoud driehoekig prisma: `1/2*8*5*6=120` m3.
De samengevoegde piramide heeft een grondvlak van `8` m bij `3+3=6` m en een hoogte van `5` m. De inhoud van de samengevoegde piramide is dan: `1/3*8*6*5=80` m3
Het totale volume onder het schilddak is dan `120+80=200` m3.
De tent bestaat uit een afgeknotte kegel (onderste deel van de tent) en een hele kegel (bovenste deel van de tent).
oppervlakte (bovenste deel) `=pi*1,5*sqrt(1,5^2+1^2)` m2.
oppervlakte (onderste deel) `=pi*2*sqrt(2^2+12^2)-pi*1,5*sqrt(1,5^2+9^2)` m2.
Dit bij elkaar optellen levert de totale oppervlakte:
oppervlakte (hele tent) `=pi *1,5 *sqrt(1,5^2+1^2)+pi *2 *sqrt(2^2+12^2)-pi *1,5 *sqrt(1,5^2+9^2))≈41,93` m2.
inhoud (bovenste deel) `=1/3pi *1,5^2*1=3/4 pi` m3.
inhoud (onderste deel) `=1/3pi *2^2*12 -1/3pi *1,5^2*9=9 1/4 pi` m3.
Dit bij elkaar optellen levert de totale inhoud:
`1/3pi *2^2*12 -1/3pi *1,5^2*9 +1/3pi *1,5^2*1 =10 pi` m3.
Twee rechthoeken, elk met een oppervlakte van `2 * sqrt(1^2 + 1,5^2) ~~ 3,61` m2.
Het grondzeil met oppervlakte `2*2 + 2* 1/2*2*1,2 = 6,2` m2.
Vier driehoeken met zijden van `sqrt(1^2 + 1,5^2)=sqrt(3,25)` , `sqrt(1,2^2 + 1,5^2)=sqrt(3,69)` en `sqrt(1^2 + 1,2^2)=sqrt(2,44)` .
Om van zo'n driehoek de oppervlakte te berekenen moet je een hoogte uitrekenen en
daarvoor is een hoek nodig.
Cosinusregel:
`(sqrt(3,25))^2 = (sqrt(3,69))^2 + (sqrt(2,44))^2 - 2*sqrt(3,25)*sqrt(2,44)*cos(alpha)`
geeft
`alpha ~~ 61,3^@`
.
Een hoogte van zo'n driehoek is daarom
`h ~~ sqrt(3,69)*sin(61,3^@) ~~ 1,685`
m.
De oppervlakte van zo'n driehoek is ongeveer
`1/2*sqrt(2,44)*1,685~~1,32`
m2.
Totale oppervlakte aan tentdoek: `~~ 2*3,61 + 6,2 + 4*1,32 ~~ 18,68` m3.
Middendeel is een prisma met een volume van `1/2*2*1,5*2 = 3` m3.
Voor- en achterkant vormen één piramide met volume `1/3 * (2 * 1/2 * 2 * 1,2) * 1,5 = 1,2` m3.
De inhoud van de tent is `3 + 1,2 = 4,2` m3.
Dan is de hoogte van de vloeistofkegel precies
`0,5`
keer die van de hele kegel.
Bij een vergroting met factor
`0,5`
wordt een inhoud dan met
`0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125`
vermenigvuldigd.
De cocktail beslaat
`12,5`
% van de inhoud van het glas.
Dan is de inhoud van de vloeistofkegel precies
`0,5`
keer die van de hele kegel.
Bij een volumevergroting met factor
`0,5`
wordt een lengte met
`root[3](0,5) ~~ 0,79`
vermenigvuldigd.
De vloeistofspiegel staat dan
`0,79*10 = 7,9`
cm boven de bodem van het glas.
De verhouding is `25:16` .
De inhoud is `433019` m3.
Vergrotingsfactor: `15/9~~1,67` .
`PQ=3/5xxAB=3/5xx9=5,4` cm.
`QS=sqrt((5,4)^2+(5,4)^2)~~7,64`
.
`TF=sqrt(9^2-FS^2)~~8,15`
.
`Opp_(/_\TSQ)=(8,15xx7,64)/2~~31,1`
cm2.
`Opp_(/_\TDB)=(5/3)^2xx31,1~~86,4`
cm2.
Hoogte piramide:
`BL=1/2sqrt(9^2+9^2)`
.
`TL=sqrt(BT^2-BL^2)=sqrt(15^2-1/4(9^2+9^2))~~13,6`
cm.
`Inhoud=Inhoud_text(hele piramide)-Inhoud_text(top piramide)`
`=(grondvlakxxh)/3-(grondvlakxxh)/3=(9^2xx13,6)/3-((5,4)^2xx3/5xx13,6)/3=367,2-79,3=287,9`
cm3.
`Oppervlakte=(20xx3)/2+(17xx3)/2=30+25,5=55,5` m2. Per strekkende meter moet dus `55,5` m3 grond ontgraven worden.
`(14 * 14 * 8 - 1/2 * 4/3 * pi * 5,5^3) * 2,1 ~~ 2561` gram.
`2*14*14 + 4 * 14 * 8 - pi * 5,5^2 + 1/2 * 4pi * 5,5^2 ~~ 935` cm2.
`~~ 13,9` m.
`~~ 88659` kg.