Meetkunde in 3D > Parallelprojectie
12345Parallelprojectie

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Wat verder weg is wordt voor ons oog kleiner. Als twee evenwijdige lijnen dus van ons af lopen, dan wordt hun onderlinge afstand voor het oog steeds kleiner.

b

Onderkant: een balk met een kleinere balk er tegenaan.
Bovenkant: een prisma of twee halve balken tegen elkaar.
Bovenkant witte raampartij: een prisma of een halve balk.

c

Rechthoek en driehoek (twee halve rechthoeken).

Opgave V2
a

Alle lijnstukken evenwijdig aan ribbe `AB` , alle lijnstukken evenwijdig aan ribbe `AD` en alle lijnstukken evenwijdig aan ribbe `AE` .

b

Een rechthoek.

c

Een rechthoek.

d

Een parallellogram.

Opgave 1
a

`ABFE` is een vierkant.

b

`BC` , `EH` , `FG`

c

Dit betreft een vierkant met zijden van `4` cm. Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de lengte van `BD` uitrekenen:
`BD=sqrt(4^2+4^2)=sqrt(32)~~5,7` cm.

d

`DF≈6,9` cm

Opgave 2

Als het goed is gegaan, krijg je de figuur in de uitleg 1

Opgave 3
a

Je zou een figuur moeten krijgen zoals die in de opgave staat.
Alle afmetingen moet je omrekenen: `AB = CD = 6` cm en `BC = AD = 4` cm (in je tekening dus `2` cm). Verder is `EF = 3` cm en worden de twee getekende hoogtelijnen `2,5` cm.

b

Zie figuur. Het prisma is `GKE.HJF` en de piramides zijn `` .

c

Deze uitspraak klopt. Het omgekeerde niet: een parallellogram hoeft geen ruit te zijn want de zijden hoeven niet alle vier even lang te zijn.

d

Ja, dat is een vierkant.

e

`2`

f

Geen symmetrieassen. Het centrum van symmetrie is het snijpunt van de diagonalen.

Opgave 4
a

Uit een balk en een prisma.

b

Een vijfzijdig prisma. Het grondvlak is een vijfhoek.

c

Verdeel de voorgevel in twee rechthoeken en vier halve rechthoeken en neem deze zes figuren als grondvlak voor een (halve) balk.

d

Bijvoorbeeld in twee halve piramides, een prisma daartussen en een prisma daaronder met daar weer onder een balk.

Opgave 5
a

Zie figuur.

b

Zie figuur.

c

Zie figuur.

Opgave 6
a

Zie figuur.

b

Zie figuur.

Teken verder `ΔPQR` met `PR=2` en `PQ = QR= sqrt(8)` .

Opgave 7

Zie figuur.

Opgave 8

Zie figuur.

Opgave 9
a

Zie figuur. Als je in het bovenaanzicht de schuine ribben verlengt (zie stippellijnen), dan zie je dat ze niet in één punt samenkomen.

b

Alle afmetingen worden nu gehalveerd en in cm.

c

Het zijn allemaal trapeziums.

d

Het wordt een symmetrisch trapezium met basis `10` dm (dus in de tekening `5` cm), met bovenzijde `6` dm( `3` cm) en hoogte `sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13) ~~ 3,61` dm ( `~~1,80` cm).

Opgave 10
a
b

`P,R,S` zijn middens van de ribben van de kubus. Dus `PR=QR=PQ` en `∆PQR` is dus gelijkzijdig.

De lengte van een zijde is dan `sqrt(3^2+3^2)=sqrt(18)~~4,2` cm.

`∆PQR` wordt een gelijkzijdige driehoek met zijden van `sqrt(18)` cm.

c

Teken vlak `EPRGH` op ware grootte. Teken daarin ook `PR` en de loodlijn van `H` op `PR` , het snijpunt van de loodlijn met `PR` is `S` .

De lengte `EG` in vlak `EPRGH` neem je over met je passer en gebruik je om `DB` te tekenen.

Teken eerst rechthoek `DBFH` met `DB=HF=sqrt(6^2+6^2)=sqrt(72)≈8,5` cm en `DH=BF=6` cm.

Vervolgens teken je het midden `Q` van `BF` .

`HS` neem je met de passer over uit vlak `EPRGH` .

Punt `S` ligt zo, dat `FS=1/4*HF` .
Dus `FS=1/4*sqrt(72)` cm.
Nu kun je vijfhoek `DBQSH` tekenen.

Opgave 11
a
b

Zie figuur bij a. Je verdeelt elke zijde in drie gelijke delen door opmeten. Dat mag omdat de figuur een parallelprojectie is.

c

Zie figuur bij a.

d

Nee, het grondvlak is geen achthoek met gelijke zijden.

Opgave 12
a

Je kunt het je gemakkelijker maken door eerst een kubus van `8` cm bij `8` cm bij `8` cm te tekenen op een rooster. De diagonaal `AC` is immers `8` cm, en is dus op ware grootte.

Zoek daarna per zijvlak de middens op door zijvlaksdiagonalen te tekenen. Verbind deze middens met elkaar om het octaëder te kunnen tekenen. Let daarbij op het stippelen van lijnstukken.

Je figuur komt er dan net zo uit te zien als de gegeven figuur.

b

Het worden gelijkzijdige driehoeken met zijden van ongeveer `sqrt(32 )≈5,7` cm.

c

Dat levert een kubus op.

Opgave 13
a

Zie figuur.

b

Het tekenen van aanzichten kan helpen.

De basis van zo'n driehoek is `2/5 * 8 = 3,2` m.
De twee benen hebben een lengte van `sqrt(2^2 + 2^2 + 1,6^2) ~~ 3,25` m.

c

De zijden zijn `10` m (dus `5` cm in de figuur), `6` m ( `3` cm), twee keer `3,25` m (dus `1,62` cm) en twee keer `3/5 * sqrt(4^2 + 5^2) ~~ 3,84` cm.

Opgave 14
a
b

De breedte van het trapezium aan de bovenkant kun je met verhoudingen uitrekenen. Je vindt `10-15/60*(10-1)=7,75` m.

De hoogte van het trapezium vind je met behulp van de stelling van Pythagoras: `sqrt(45^2+70^2)~~83,2` m.

Opgave A1
a

Lijnstukken die evenwijdig lopen, zijn in de figuur ook evenwijdig.
Lijnstukken die evenwijdig en even lang zijn, zijn in de figuur ook evenwijdig en even lang.

b

Naar rechts een wijkhoek van `30^@` en naar links ook een wijkhoek van `30^@` .

c

De rechte hoeken van de balk zijn ofwel `60^@` ofwel `120^@` in de tekening.

d

Nee, die zijn in de figuur zelfs verschillende van lengte, hoewel ze in werkelijkheid alle vier even lang zijn.

Opgave A2
a

Zie figuur. Je ziet meteen een nadeel van isometrische projectie.

b

Zie figuur.

Opgave T1
a
b

Een gelijkzijdige driehoek met zijden van `sqrt(2)` cm.

c
verder | terug