Meetkunde in 3D > Hoeken en afstanden
12345Hoeken en afstanden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

In de richting `vec(AD)` .

b

Vanuit het middelpunt van de cirkel loodrecht op de zijden.

c

Eigen antwoord.

Opgave 1
a

Het probleem wordt dan tweedimensionaal.

b

Bekijk het zijvlak `BCT` met `Q` het midden van `BC` . In `Delta BQT` geldt `QT = sqrt(20^2 - 10^2) = sqrt(300)` .

c

Omdat `TM =TS-MS= sqrt((sqrt(300))^2-10^2) -r= sqrt(200)-r` .

d

Omdat `/_MTR=/_QTS` en `/_MRT=/_QST` , dus alle hoeken zijn gelijk.

e

Vanwege de gelijkvormigheid van de driehoeken `QST` en `MRT` is: `r/10 = (sqrt(200) - r)/(sqrt(300))` . Hieruit volgt `r ~~ 5,18` .

Opgave 2

Je weet dat `cos(/_Q)=(QT)/(QS)=10/sqrt(300)=1/sqrt(3)` , dus `/_Q~~54,74` .

Tevens is `/_MQS=1/2/_Q` , en `tan(/_MQS)=(MS)/(QS)=r/10` .

Dus `r=10*tan(1/2/_Q)~~5,18` .

Opgave 3
a

Je krijgt zo een tweedimensionale voorstelling van de afstand tussen de bol en de ribben.

b

De cirkel heeft als middelpunt `M` het punt op de symmetrieas `TS` van `Delta ACT` dat op een afstand `r ~~ 5,18` boven `AC` ligt.

c

Teken `MP _|_ CT` en noem het snijpunt van `MP` met de cirkel `Q` .

d

Je ziet dat driehoeken `MPT` en `CST` gelijkvormig zijn. Dus je kunt zeggen `(MP)/(MT)=(CS)/(CT)` .

Je weet dat `CT=20` en `CS=sqrt(200)` . Je weet ook dat `MT=sqrt(200)-r` en `MP=PQ+r` . Je hebt al eerder berekend dat `r~~5,18` .

Invullen levert  `(PQ+5,18)/(sqrt(200)-5,18)=sqrt(200)/20` , waaruit volgt `PQ ~~1,16` .

Opgave 4
a

`CD ~~ 34` mm.

b

`52^2 = 65^2 + 43^2 - 2*65*43*cos(/_A)` geeft `text(-)3370 = text(-)5590*cos(/_A)` .

Dus `cos(/_A) = (text(-)3370)/(text(-)5590) ~~ 0,6029` en `/_A ~~ 52,9^@` .

c

`sin(/_A) = (CD)/(AC)` geeft `sin(52,9^@) = (DC)/43` , dus `CD ~~ 34,3` mm.

Opgave 5
a
b

Zie de figuren bij a.

c

Zie de figuur bij het antwoord op deelvraag b.

Je weet algauw dat `TS=sqrt(6^2-3,6^2)=4,8` . Je ziet ook dat driehoek `SBT` gelijkvormig is met driehoek `YBL` . Zo kun je met `(BS)/(TS)=(BY)/(LY)` achterhalen dat `(LY)=3,6/4,8*2,5=1,875` . Tot slot kan je de breedte van de kamer bepalen met `XY=7,2-2*LY=3,45` .

d

Zie de figuur bij het antwoord op b.

Je weet al dat `TS=sqrt(6^2-3,6^2)=4,8` . Je ziet ook dat driehoek `SRT` gelijkvormig is met driehoek `ZRN` . Zo kun je met `(RS)/(TS)=(RZ)/(NZ)` achterhalen dat `RZ=10/4,8*2,5~~5,21` . Tot slot kan je de breedte van de kamer bepalen met `SZ=10-RZ=4,79` .

Opgave 6
a

Op de uitslag heeft driehoek `ABT` een grondvlak `|AB|` met een geschaalde breedte van `3,6` cm en hoogte van `3` cm. `|BC|` is geschaald `5` cm, enzovoorts.

b

Afgerond `117,21` m².

Opgave 7
a

Uit `AC = sqrt(10^2 + 10^2) = sqrt(200)` volgt `CB = 1/2 sqrt(200) = 1/2*10sqrt(2) = 5sqrt(2)` .

b

`BT = sqrt((5sqrt(2))^2 + 4^2) = sqrt(66)` en `tan(/_CBT) = 4/(5sqrt(2))` geeft `/_CBT ~~ 29,5^@` .

c

`/_CBT ~~ 29,5^@` , dus `/_CTN ~~ 60,5^@` .

`cos(60,5^@) = (TN)/(TM) = (1/2 sqrt(66))/(TM)` geeft `TM ~~ 8,25` m.

c

Het middelpunt van de cirkel ligt ongeveer `8,25 - 4 = 4,25` m onder de bovenrand van de bak.

Opgave 8

Je moet de straal van zo'n halve cirkel berekenen, noem hem `r` (meter).

Zet deze straal twee keer in je figuur, als `MC` en als `MB` bijvoorbeeld.
In de rechthoekige `Delta DMC` is dan `DC = 4` , `DM = 8-r` en `MC = r` m.

Nu is `4^2 + (8-r)^2 = r^2` en dus `80 - 16r = 0` zodat `r=5` m.

De straal van beide cirkels is daarom `5` . De opslagruimte is `5` m hoog.

Opgave 9
a

Dit kan door twee keer de stelling van Pythagoras te doen.
Maar het kan ook in één keer: `DE = sqrt(4^2 + 4^2 + 1^2) = sqrt(33)`

b

`/_DEF` kun je met de cosinusregel berekenen: `5^2 = 33 + 32 - 2*sqrt(33)*sqrt(32)*cos(/_DEF)`
Je vindt `/_DEF≈52^@` .

c

Ja, `/_DEF` kun je zowel met de cosinusregel als met de sinusregel berekenen.

Met de sinusregel:  `5/(sin(/_DEF)) = (sqrt(32))/(sin(63^@))` .

In beide gevallen vind je `/_DEF≈52^@` .

d

`EP = sqrt(33)*sin(63^@)~~5,12` .

Opgave 10

Figuur a:

`BC^2=4^2+5^2-2*4*5*cos(60)` . Hieruit volgt `BC =sqrt(21)~~4,58` .

`5^2=4^2+(sqrt(21))^2-2*4*sqrt(21)*cos(angle B)` geeft `angle B ~~ 70,9^@` .

Figuur b:

`5/(sin(\angle E))=6/(sin(60))` geeft `\angle E ~~ 46,2^@` en daarmee `angle F ~~ 73,8^@` . `/_E = 180^@` ` - 46,2^@` `=133,8^@` vervalt.

`6/(sin(60))=(DE)/(sin(angle F))` geeft `DE ~~ 6,65` .

Figuur c:

`10/(sin(70))=5/(sin(angle L))` geeft `/_L ~~ 28,0^@` en daarmee `angle MKL~~82,0^@` . `/_L = 152,0^@` vervalt.

`ML^2=5^2+10^2-2*5*10*cos(angle MKL)` geeft `ML ~~ 10,54` en daarmee `MN ~~ 2,54` .

`NK^2=5^2+MN^2-2*5*MN*cos(70)` geeft `NK ~~4,77` .

`(NK)/(sin(angle L))=10/(sin(angle LNK))` geeft `angle LNK~~100,0^@` ( `angle LNK~~80,0^@` kan niet, aangezien de hoek stomp is).

Opgave 11

Redelijkerwijs zijn er twee opties om een zo groot mogelijk schilderij de bestelbus in te krijgen: diagonaal liggend, of diagonaal staand. Je bekijkt welke van de twee een grotere oppervlakte zou hebben.

Een diagonaal liggend schilderij heeft een lengte `sqrt(2^2+1,3^2)=sqrt(5,69)` en breedte `1,6` , dus een oppervlakte van `1,6*sqrt(5,69)~~3,8` m².

Een diagonaal staand schilderij heeft lengte `sqrt(2^2+1,6^2)=sqrt(6,56)` en breedte `1,3` , dus een oppervlakte van `1,3*sqrt(6,56)~~3,3` m².

Het grootste schilderij dat erin past heeft dus een oppervlakte van ongeveer `3,8` m².

Opgave 12
a

De opstaande ribben zijn allemaal even lang. Dus een ribbe uitrekenen is voldoende.

Trek vanuit `E` een loodlijn naar `AB` . Noem dit snijpunt `X` . Dan geldt `EX=sqrt(5^2+4^2)=sqrt(41)` .

Daarna kun je in `ΔAXE` de lengte van de opstaande ribbe `AE` uitrekenen: `AE=sqrt(3^2+41)=sqrt(50)` .

b

`tan(∠ABF)=sqrt(41)/3` , dat geeft `∠ABF~~65°` .

Teken in `ΔBCF` de hoogtelijn uit `F` op `BC` . Noem het voetpunt `T` .

Dan geldt `TC=4` en `cos(∠BCF)=4/sqrt(50)` geeft `∠BCF~~56°` .

c

De breedte van de verdiepingsvloer is `2/5*8 =3,2` m.
De lengte is `6 +2 *2/5*3 =8,4` m.
De oppervlakte is `3,2 *8,4=26,88` m².

Opgave 13
a

`EH=HG=sqrt(4^2+3^2)=5` en `EG=AC=sqrt(4^2+4^2)=4sqrt(2)` .

Cosregel: `32=25+25-2*5*5*cos(/_EHG)` , ofwel `cos(/_EHG)=18/50` , en dus is `/_EHG~~68,90^@` .

b

Schets driehoek `EGH` , met de hoogtelijn door `G` . Noem het snijpunt van `EH` en de hoogtelijn `S` .  `/_H~~68,90^@` , en `HG=5` .

Dus `sin(/_H)=(GS)/(HG)` , ofwel `GS=HG*sin(/_H)~~4,66` .

Opgave 14
a

Hier zie je het bedoelde (rechthoekige) trapezium.

De afmeting van de bovenrand vind je met gelijkvormigheid: `10/x = 60/45` geeft `x=7,5` (zie bovenaanzicht).

De zijde waar `83,2` m bij staat heeft een precieze lengte van `sqrt(45^2+70^2)=sqrt(6925)` .
De langste zijde van het trapezium is `sqrt(6925 +6,5^2)=sqrt(6967,25)≈83,5` m.

b

`cos(alpha) ~~ (6,5)/(83,5)` geeft `alpha ~~ 85^@` .

Behalve twee rechte hoeken is er een hoek van ongeveer `85^@` en een hoek van ongeveer `95^@` .

Opgave 15
a

Maak een schets van de situatie. Hier zie je dat `AC` een rechte lijn is. Trek ook een loodrechte lijn op de muur door het punt `A` . Het snijpunt van deze lijn met de muur noem je `S` . Je weet dat `BS=30` cm en `CS=120` cm.

Zo zie je dat `AS=sqrt(100^2-30^2)=sqrt(9100)` , en daarmee is `AC=sqrt(9100+120^2)~~153,30` cm.

b

Noem de hoek van de cirkelboog die `A` aflegt `alpha` . Dan is `cos(180-alpha)=30/100` , dus `alpha~~107,46^@` .
De lengte van de cirkelboog is dan `(pi*alpha*AB)/180~~187,55` cm.

c

Maak een schets van de situatie. Trek een loodrechte lijn op de muur door `A` . Noem de snijpunt van deze lijn met de muur `P` . Dan is `BP=20` cm. Zo zie je algauw dat `AP=sqrt(100^2-20^2)~~97,98` cm.

d

Maak een schets van de situatie. Trek een loodlijn op `AB` door `C` , en noem het snijpunt `Q` . Dan is `CQ=a` , en in driehoek `BCQ` kan je zo zien  `sin(beta)=a/90` , en dus is `a=90sin(beta)` .

e

Bij d heb je gevonden dat `a=90sin(beta)` , dus `sin(beta)=1/2` , en `beta=30^@` .

Noem de afstand van punt `A` tot de muur `b` . Dan is `sin(30^@)=b/(AB)` , en dus `b=100*1/2=50` cm.

Opgave 16
a

`PG = sqrt(3^2 + 3^2 + 6^2) ~~ 7,3` .

b

`BP=sqrt(3^2+3^2) = sqrt(18)` , `PQ=BP=sqrt(18)` en `BQ=PG = sqrt(54)` .
Cosinusregel: `54 = 18 + 18 - 2*sqrt(18)*sqrt(18)*cos(/_BPQ)` geeft `/_BPQ = 120^@` .

c

Het gaat om het lijnstuk van het midden van `PQ` naar het midden van `CD` .
De lengte van dat lijnstuk is `sqrt(4,5^2+4,5^2)~~6,4` .

d

Teken het vlak door `P` , `Q` en `R` . Het middelpunt `M` van de cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van `PQ` en `QR` . De straal van de cirkel is `PR = sqrt(1,5^2 + 4,5^2) ~~ 4,74` .

e

Ongeveer `4,40` .

Opgave A1
a

Bedenk dat `EQ = 1,5` en `AS=1,5` en dus `AQ = sqrt(6^2 - 1,5^2) = sqrt(33,75)` , zodat `QS = sqrt(33,75 - 1,5^2) = sqrt(31,5) ~~ 5,61` m.

b

Maak een hulplijn in het verlengde van `BC` . Maak op deze hulplijn een loodlijn door `G` , en noem het snijpunt `T` . Je hebt nu twee rechthoekige driehoeken `CTG` en `BTG` .

Allereerst bekijk je driehoek `CTG` . Hierbij is `CT=1,5` , en dus is `GT=sqrt(6^2-1,5^2)=sqrt(33,75)` .

In driehoek `BTG` zie je dat `BT=2,5` , dus `BG=sqrt(2,5^2+33,75)=sqrt(40) ~~ 6,32` .

c

Door gelijkvormigheid is `BE=BG=sqrt(40)` . Hiermee kun je `/_BAE` uitrekenen door het toepassen van de cosinusregel:

`40=16+36-2*4*6*cos(/_BAE)` , ofwel `cos(/_BAE)=1/4` , en `/_BAE~~75,52^@` .

d

`/_AGC~~37,68^@`

Opgave A2

Er is een snelle en intuïtieve manier om dit aan te tonen. Neem alle zijvlakken `ABFE` , `BCGF` , etc., en leg deze direct naast elkaar. De vorm die je krijgt is een parallellogram.

Trek nu een lijn op willekeurige hoogte `x` tussen de onderste lijn en bovenste lijn van het parallellogram. De lengte van deze lijn is gelijk aan de lengte van de band. Het spreekt vanzelf dat deze lijn altijd dezelfde lengte heeft.

Opgave T1
a

Tophoek `alpha ~~ 60,0^@` (net geen `60^@` ).
De andere twee hoeken zijn net iets meer dan `60^@` .

b

De gevraagde afstand is `3,84 + sqrt(3,25^2 - 2^2) ~~ 6,40` m.

verder | terug