Meetkunde in 3D

Meetkunde in 3D > Hoeken en afstanden

12345Hoeken en afstanden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

`/_\ABC` is gelijkzijdig ( `3` hoeken van `60^@` ) dus `Opp_(/_\ABC)=1/2xx1xx1xxsin(60°)=1/4sqrt(3) rArr Opp_(zeshoek)=6xx1/4sqrt(3)~~2,6` .

Een lijnstuk wordt `8` keer over dezelfde hoek verdraaid om vervolgens in dezelfde stand (richting) terug te komen.

De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan `180^@` .
De top van elke driehoek is `(360/8)^@` (er passen `8` tophoeken in de hele cirkel).
Dus `/_1` en `/_2` zijn samen gelijk aan `180^@-(360/8)^@` .
De hoek van de achthoek bestaat steeds uit `/_1+/_2=180^@-(360/8)^@` .

Vervang in de voorgaande redenering, `8` steeds door `n` .

Rekenmachine laten rekenen met graden!

`Opp_(n-hoek)=nxx0,5xx1xx1xxsin((360)/n)=0,5xxnxxsin((360)/n)` en `Opp_(cirkel)=pixx1^2=pi`
`rArr pi-0,5xxnxxsin((360)/n) lt 0,01pi rArr sin((360)/n) gt (2xx0,99pi)/n` .
Probeer `n=14 rArr` klopt niet, probeer `n=15 rArr` klopt.

Opgave 1

Het probleem wordt dan tweedimensionaal.

Bekijk het zijvlak `BCT` met `Q` het midden van `BC` . In `Delta BQT` geldt `QT = sqrt(20^2 - 10^2) = sqrt(300)` .

Omdat `TM =TS-MS= sqrt((sqrt(300))^2-10^2) -r= sqrt(200)-r` .

Omdat `/_MTR=/_QTS` en `/_MRT=/_QST` , dus alle hoeken zijn gelijk.

Vanwege de gelijkvormigheid van de driehoeken `QST` en `MRT` is: `r/10 = (sqrt(200) - r)/(sqrt(300))` . Hieruit volgt `r ~~ 5,18` .

Opgave 2

Je weet dat `cos(/_Q)=(QT)/(QS)=10/sqrt(300)=1/sqrt(3)` , dus `/_Q~~54,74` .

Tevens is `/_MQS=1/2/_Q` , en `tan(/_MQS)=(MS)/(QS)=r/10` .

Dus `r=10*tan(1/2/_Q)~~5,18` .

Opgave 3

Je krijgt zo een tweedimensionale voorstelling van de afstand tussen de bol en de ribben.

De cirkel heeft als middelpunt `M` het punt op de symmetrieas `TS` van `Delta ACT` dat op een afstand `r ~~ 5,18` boven `AC` ligt.

Teken `MP _|_ CT` en noem het snijpunt van `MP` met de cirkel `Q` .

Je ziet dat driehoeken `MPT` en `CST` gelijkvormig zijn. Dus je kunt zeggen `(MP)/(MT)=(CS)/(CT)` .

Je weet dat `CT=20` en `CS=sqrt(200)` . Je weet ook dat `MT=sqrt(200)-r` en `MP=PQ+r` . Je hebt al eerder berekend dat `r~~5,18` .

Invullen levert `(PQ+5,18)/(sqrt(200)-5,18)=sqrt(200)/20` , waaruit volgt `PQ ~~1,16` .

Opgave 4

`CD ~~ 34` mm.

`52^2 = 65^2 + 43^2 - 2*65*43*cos(/_A)` geeft `text(-)3370 = text(-)5590*cos(/_A)` .

Dus `cos(/_A) = (text(-)3370)/(text(-)5590) ~~ 0,6029` en `/_A ~~ 52,9^@` .

`sin(/_A) = (CD)/(AC)` geeft `sin(52,9^@) = (DC)/43` , dus `CD ~~ 34,3` mm.

Opgave 5

Zie de figuren bij a.

Zie de figuur bij het antwoord op deelvraag b.

Je weet algauw dat `TS=sqrt(6^2-3,6^2)=4,8` . Je ziet ook dat driehoek `SBT` gelijkvormig is met driehoek `YBL` . Zo kun je met `(BS)/(TS)=(BY)/(LY)` achterhalen dat `(LY)=3,6/4,8*2,5=1,875` . Tot slot kan je de breedte van de kamer bepalen met `XY=7,2-2*LY=3,45` .

Zie de figuur bij het antwoord op b.

Je weet al dat `TS=sqrt(6^2-3,6^2)=4,8` . Je ziet ook dat driehoek `SRT` gelijkvormig is met driehoek `ZRN` . Zo kun je met `(RS)/(TS)=(RZ)/(NZ)` achterhalen dat `RZ=10/4,8*2,5~~5,21` . Tot slot kan je de breedte van de kamer bepalen met `SZ=10-RZ=4,79` .

Opgave 6

Op de uitslag heeft driehoek `ABT` een grondvlak `|AB|` met een geschaalde breedte van `3,6` cm en hoogte van `3` cm. `|BC|` is geschaald `5` cm, enzovoorts.

Afgerond `117,21` m².

Opgave 7

Uit `AC = sqrt(10^2 + 10^2) = sqrt(200)` volgt `CB = 1/2 sqrt(200) = 1/2*10sqrt(2) = 5sqrt(2)` .

`BT = sqrt((5sqrt(2))^2 + 4^2) = sqrt(66)` en `tan(/_CBT) = 4/(5sqrt(2))` geeft `/_CBT ~~ 29,5^@` .

`/_CBT ~~ 29,5^@` , dus `/_CTN ~~ 60,5^@` .

`cos(60,5^@) = (TN)/(TM) = (1/2 sqrt(66))/(TM)` geeft `TM ~~ 8,25` m.

Het middelpunt van de cirkel ligt ongeveer `8,25 - 4 = 4,25` m onder de bovenrand van de bak.

Opgave 8

Je moet de straal van zo'n halve cirkel berekenen, noem hem `r` (meter).

Zet deze straal twee keer in je figuur, als `MC` en als `MB` bijvoorbeeld.
In de rechthoekige `Delta DMC` is dan `DC = 4` , `DM = 8-r` en `MC = r` m.

Nu is `4^2 + (8-r)^2 = r^2` en dus `80 - 16r = 0` zodat `r=5` m.

De straal van beide cirkels is daarom `5` . De opslagruimte is `5` m hoog.

Opgave 9

Dit kan door twee keer de stelling van Pythagoras te doen.
Maar het kan ook in één keer: `DE = sqrt(4^2 + 4^2 + 1^2) = sqrt(33)`

`/_DEF` kun je met de cosinusregel berekenen: `5^2 = 33 + 32 - 2*sqrt(33)*sqrt(32)*cos(/_DEF)`
Je vindt `/_DEF≈52^@` .

Ja, `/_DEF` kun je zowel met de cosinusregel als met de sinusregel berekenen.

Met de sinusregel: `5/(sin(/_DEF)) = (sqrt(32))/(sin(63^@))` .

In beide gevallen vind je `/_DEF≈52^@` .

`EP = sqrt(33)*sin(63^@)~~5,12` .

Opgave 10

Figuur a:

`BC^2=4^2+5^2-2*4*5*cos(60)` . Hieruit volgt `BC =sqrt(21)~~4,58` .

`5^2=4^2+(sqrt(21))^2-2*4*sqrt(21)*cos(angle B)` geeft `angle B ~~ 70,9^@` .

Figuur b:

`5/(sin(\angle E))=6/(sin(60))` geeft `\angle E ~~ 46,2^@` en daarmee `angle F ~~ 73,8^@` . `/_E = 180^@` ` - 46,2^@` `=133,8^@` vervalt.

`6/(sin(60))=(DE)/(sin(angle F))` geeft `DE ~~ 6,65` .

Figuur c:

`10/(sin(70))=5/(sin(angle L))` geeft `/_L ~~ 28,0^@` en daarmee `angle MKL~~82,0^@` . `/_L = 152,0^@` vervalt.

`ML^2=5^2+10^2-2*5*10*cos(angle MKL)` geeft `ML ~~ 10,54` en daarmee `MN ~~ 2,54` .

`NK^2=5^2+MN^2-2*5*MN*cos(70)` geeft `NK ~~4,77` .

`(NK)/(sin(angle L))=10/(sin(angle LNK))` geeft `angle LNK~~100,0^@` ( `angle LNK~~80,0^@` kan niet, aangezien de hoek stomp is).

Opgave 11

Redelijkerwijs zijn er twee opties om een zo groot mogelijk schilderij de bestelbus in te krijgen: diagonaal liggend, of diagonaal staand. Je bekijkt welke van de twee een grotere oppervlakte zou hebben.

Een diagonaal liggend schilderij heeft een lengte `sqrt(2^2+1,3^2)=sqrt(5,69)` en breedte `1,6` , dus een oppervlakte van `1,6*sqrt(5,69)~~3,8` m².

Een diagonaal staand schilderij heeft lengte `sqrt(2^2+1,6^2)=sqrt(6,56)` en breedte `1,3` , dus een oppervlakte van `1,3*sqrt(6,56)~~3,3` m².

Het grootste schilderij dat erin past heeft dus een oppervlakte van ongeveer `3,8` m².

Opgave 12

De opstaande ribben zijn allemaal even lang. Dus een ribbe uitrekenen is voldoende.

Trek vanuit `E` een loodlijn naar `AB` . Noem dit snijpunt `X` . Dan geldt `EX=sqrt(5^2+4^2)=sqrt(41)` .

Daarna kun je in `ΔAXE` de lengte van de opstaande ribbe `AE` uitrekenen: `AE=sqrt(3^2+41)=sqrt(50)` .

`tan(∠ABF)=sqrt(41)/3` , dat geeft `∠ABF~~65°` .

Teken in `ΔBCF` de hoogtelijn uit `F` op `BC` . Noem het voetpunt `T` .

Dan geldt `TC=4` en `cos(∠BCF)=4/sqrt(50)` geeft `∠BCF~~56°` .

De breedte van de verdiepingsvloer is `2/5*8 =3,2` m.
De lengte is `6 +2 *2/5*3 =8,4` m.
De oppervlakte is `3,2 *8,4=26,88` m².

Opgave 13

`EH=HG=sqrt(4^2+3^2)=5` en `EG=AC=sqrt(4^2+4^2)=4sqrt(2)` .

Cosregel: `32=25+25-2*5*5*cos(/_EHG)` , ofwel `cos(/_EHG)=18/50` , en dus is `/_EHG~~68,90^@` .

Schets driehoek `EGH` , met de hoogtelijn door `G` . Noem het snijpunt van `EH` en de hoogtelijn `S` . `/_H~~68,90^@` , en `HG=5` .

Dus `sin(/_H)=(GS)/(HG)` , ofwel `GS=HG*sin(/_H)~~4,66` .

Opgave 14

Hier zie je het bedoelde (rechthoekige) trapezium.

De afmeting van de bovenrand vind je met gelijkvormigheid: `10/x = 60/45` geeft `x=7,5` (zie bovenaanzicht).

De zijde waar `83,2` m bij staat heeft een precieze lengte van `sqrt(45^2+70^2)=sqrt(6925)` .
De langste zijde van het trapezium is `sqrt(6925 +6,5^2)=sqrt(6967,25)≈83,5` m.

`cos(alpha) ~~ (6,5)/(83,5)` geeft `alpha ~~ 85^@` .

Behalve twee rechte hoeken is er een hoek van ongeveer `85^@` en een hoek van ongeveer `95^@` .

Opgave 15

Maak een schets van de situatie. Hier zie je dat `AC` een rechte lijn is. Trek ook een loodrechte lijn op de muur door het punt `A` . Het snijpunt van deze lijn met de muur noem je `S` . Je weet dat `BS=30` cm en `CS=120` cm.

Zo zie je dat `AS=sqrt(100^2-30^2)=sqrt(9100)` , en daarmee is `AC=sqrt(9100+120^2)~~153,30` cm.

Noem de hoek van de cirkelboog die `A` aflegt `alpha` . Dan is `cos(180-alpha)=30/100` , dus `alpha~~107,46^@` .
De lengte van de cirkelboog is dan `(pi*alpha*AB)/180~~187,55` cm.

Maak een schets van de situatie. Trek een loodrechte lijn op de muur door `A` . Noem de snijpunt van deze lijn met de muur `P` . Dan is `BP=20` cm. Zo zie je algauw dat `AP=sqrt(100^2-20^2)~~97,98` cm.

Maak een schets van de situatie. Trek een loodlijn op `AB` door `C` , en noem het snijpunt `Q` . Dan is `CQ=a` , en in driehoek `BCQ` kan je zo zien `sin(beta)=a/90` , en dus is `a=90sin(beta)` .

Bij d heb je gevonden dat `a=90sin(beta)` , dus `sin(beta)=1/2` , en `beta=30^@` .

Noem de afstand van punt `A` tot de muur `b` . Dan is `sin(30^@)=b/(AB)` , en dus `b=100*1/2=50` cm.

Opgave 16

`PG = sqrt(3^2 + 3^2 + 6^2) ~~ 7,3` .

`BP=sqrt(3^2+3^2) = sqrt(18)` , `PQ=BP=sqrt(18)` en `BQ=PG = sqrt(54)` .
Cosinusregel: `54 = 18 + 18 - 2*sqrt(18)*sqrt(18)*cos(/_BPQ)` geeft `/_BPQ = 120^@` .

Het gaat om het lijnstuk van het midden van `PQ` naar het midden van `CD` .
De lengte van dat lijnstuk is `sqrt(4,5^2+4,5^2)~~6,4` .

Teken het vlak door `P` , `Q` en `R` . Het middelpunt `M` van de cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van `PQ` en `QR` . De straal van de cirkel is `PR = sqrt(1,5^2 + 4,5^2) ~~ 4,74` .

Ongeveer `4,40` .

Opgave A1

Diameter kegel: `2xx6/(tan(35^@))=12/(tan(35^@))~~17,14` cm.
Omtrek hele cirkel: `2xx10,46xxpi~~65,72` cm.
`alpha=(53,84)/(65,72)xx360^@~~294,9^@` .
Oppervlakte: `(53,84)/(65,72)xx(10,46)^2xxpi~~281,6` cm².

Afstand: `2xx10,46xxcos(16,3^@)~~17,65` cm.

`CB` is de halve omtrek van een cirkel met straal `10` cm.
`CB=(10xxpi)/2=5pi` cm `rArr AB=sqrt((5pi)^2+2^2)~~15,8` cm.

Opgave A2

`CB=(2,6xxpi)` m `rArr AB=sqrt((2,6pi)^2+2,8^2)~~8,63` m.

Het aantal keren dat je de spoed op de schroef telt geeft het aantal omwentelingen `n` . Het aantal meter schroefdraad is bij benadering `n xx x`

Opgave T1

Tophoek `alpha ~~ 60,0^@` (net geen `60^@` ).
De andere twee hoeken zijn net iets meer dan `60^@` .

De gevraagde afstand is `3,84 + sqrt(3,25^2 - 2^2) ~~ 6,40` m.

verder | terug