Voor piramides en kegels.

Je moet dan aannemen dat het grondvlak een cirkel met straal `r` is.
Voor de oppervlakte van dat grondvlak geldt dan `G = pi r^2` .

Als je een dwarsdoorsnede van de twee kegels (waar het koffiebekertje het verschil van is) tekent, dan krijg je twee gelijkvormige gelijkbenige driehoeken. De éne driehoek heeft een basis van `64` mm en een hoogte van `90+h` mm. De andere driehoek heeft een basis van `46` mm en een hoogte van `h` mm.
Uit de gelijkvormigheid volgt dat de verhouding van de twee basissen en de twee hoogtes gelijk zijn.

Uit `46/64 = h/(h+90)` volgt `23/32(h+90) = h` en dus `23h + 2070 = 32h` .
Dit betekent `9h = 2070` zodat `h=230` mm.

Zie Uitleg 1.

In de formule voor de inhoud `V = 1/3 pi r^2 h` worden zowel `r` als `h` verdubbeld.
De inhoud wordt dan `V = 1/3 pi * (2r)^2 * 2h = 1/3 pi * 8r^2 h = 8* 1/3 pi r^2 h` .

Voor kubussen, balken, prisma's en cilinders.

Je moet dan aannemen dat het grondvlak een cirkel met straal `r` is.
Voor de oppervlakte van dat grondvlak geldt dan `G = pi r^2` .

`V = 6*6*6 = 216` cm³.

Het grondvlak is een gelijkzijdige driehoek met basis `6` cm en hoogte `sqrt(6^2-3^2) ~~ 5,2` cm.

De oppervlakte van het grondvlak van het prisma is `1/2*6*5,2 ~~ 15,6` cm².

De inhoud van het prisma is `15,6*6 ~~ 93,5` cm³.

De oppervlakte van het grondvlak van de cilinder is `pi*3^2 ~~ 28,3` cm².

De inhoud van de cilinder is `28,3*6 ~~ 169,6` cm³.

De inhoud van de bol is `4/3 pi * 3^3 ~~ 113,1` cm³.

Een kegelmantel is een "taartpunt" een deel van een cirkel, een cirkelsector.

`A = pi R^2` .

Het `(2pi r)/(2pi R) = r/R` -de deel van `pi R^2` is `r/R * pi R^2 = pi * (r R^2)/R = pi rR` .

Reken de antwoorden in Uitleg 2 na.

In de formule voor de oppervlakte van een kegelmantel `A = pi rR` worden zowel `r` als `R` verdubbeld.
In de formule voor de oppervlakte van een cirkel `A = pi r^2` wordt `r` verdubbeld, dus `r^2` wordt `2^2 = 4` keer zo groot.

Ja, alleen is zo'n uitslag nogal moeilijk te maken en is de oppervlakte ervan moeilijk te bepalen. Hiervoor gebruik je de formule uit de Theorie .

Je moet dan aannemen dat het grondvlak en het bovenvlak een cirkel met straal `r` is.
Voor de oppervlakte van elk van die vlakken geldt dan `G = pi r^2` .
De cilindermantel is een rechthoek van `2pi r` bij `h` en heeft dus een oppervlakte van `2pi rh` .

`A = 2*6*5 + 2*6*4 + 2*5*4 = 148` cm².

Het grondvlak is een gelijkzijdige driehoek met basis `6` cm en hoogte `sqrt(6^2-3^2) ~~ 5,2` cm.

De oppervlakte van het grondvlak van het prisma is `1/2*6*5,2 ~~ 15,6` cm².

De totale oppervlakte van het prisma is `15,6*2 + 6*6*3 ~~ 139,2` cm³.

De oppervlakte van de cilinder is `2*pi*3*6 + 2*pi*3^2 ~~ 169,6` cm².

De oppervlakte van de bol is `4*pi*3^2 ~~ 113,1` cm².

`EF = sqrt(32)` , `DF = 5` en `DE = sqrt(33)` .

Cosinusregel: `32 = 25 + 33 - 2 * 5 * sqrt(33) * cos(/_EDF)` .

Dus: `cos(/_EDF)= (text(-)26) / (text(-)10sqrt(33)) ≈ 0,4526` , zodat `/_EDF~~63^@` .

Hoogtelijn `ES` heeft een lengte van `sqrt(33)*sin(63^@) ~~ 5,1` .

De oppervlakte van `Delta DEF` is ongeveer `1/2*5*5,1~~12,8` .

`~~ 12,8 + 1/2*4*4 + 3*4 + 1/2*3*4 + 2*4 + 1/2 * 4 *4 = 54,8` .

Het prisma `ABC.EGH` heeft inhoud `1/2 * 4 * 4 * 2 = 16` .

De piramide `E.GHFD` heeft inhoud `1/3 * (1*4 + 1/2 * 3*4) * 4 = 40/3` .

Het totale volume is `22 2/3` .

Halve kegel: Het gaat hier om een halve kegelmantel, een halve grondcirkel en een driehoek. Dus de oppervlakte is `1/2*pi *1,5 *sqrt(1,5^2+3^2)+1/2*pi *1,5^2+1/2*3*3≈15,94` m².

Kwart bol: Het gaat hier om een kwart van een boloppervlak en tweemaal een halve grondcirkel. Dus de oppervlakte is `1/4*4 pi *1,5^2+2 *1/2*pi *1,5^2=4,5 pi ≈14,14` m².

Diabolo: Het gaat hier om twee dezelfde afgeknotte kegels plus de oppervlakte van de twee grondcirkels met een straal van `1,5` m.

Dus de oppervlakte is `2 *(pi *1,5 *sqrt(1,5^2+2,25^2)-pi *0,5 *sqrt(0,5^2+0,75^2))+2 *pi *1,5^2≈36,79` m².

inhoud (halve kegel)  `=1/2*1/3 pi *1,5^2*3 =1,125 pi` m³
inhoud (kwart bol)  `=1/4*4/3pi *1,5^3=1,125 pi` m³
inhoud (diabolo)  `=2 *(1/3pi *1,5^2*2,25 -1/3pi *0,5^2*0,75 )=3,25 pi` m³

Het schilddak bestaat uit twee trapezia `ABEF` en `CDEF` en twee gelijkbenige driehoeken `BCF` en `ADE` .

De hoogte van de driehoek is `sqrt(3^2+5^2)=sqrt(34)` m. Dus de oppervlakte van de driehoek is `1/2*8*sqrt(34)=4sqrt(34)` m².

De hoogte van het trapezium is `sqrt(5^2+4^2)=sqrt(41)` m. Dus de oppervlakte van het trapezium is dan `1/2*(12+6)*sqrt(41)=9sqrt(41)` m².

In totaal vind je dan voor de oppervlakte van het schilddak:
`=2 *1/2*8 *sqrt(34 )+2 *1/2*(12 +6 )*sqrt(41 )=8 sqrt(34 )+18 sqrt(41 )` m²

Het gaat het gemakkelijkst als je het schilddak in drie delen verdeelt: een driehoekig prisma op zijn kant en aan weerszijden twee gelijke halve piramides. Beide halve piramides kun je samenvoegen tot één piramide.

Inhoud driehoekig prisma: `1/2*8*5*6=120` m³.

De samengevoegde piramide heeft een grondvlak van `8` m bij `3+3=6` m en een hoogte van `5` m. De inhoud van de samengevoegde piramide is dan: `1/3*8*6*5=80` m³

Het totale volume onder het schilddak is dan `120+80=200` m³.

De tent bestaat uit een afgeknotte kegel (onderste deel van de tent) en een hele kegel (bovenste deel van de tent).

oppervlakte (bovenste deel) `=pi*1,5*sqrt(1,5^2+1^2)` m².

oppervlakte (onderste deel) `=pi*2*sqrt(2^2+12^2)-pi*1,5*sqrt(1,5^2+9^2)` m².

Dit bij elkaar optellen levert de totale oppervlakte:

oppervlakte (hele tent) `=pi *1,5 *sqrt(1,5^2+1^2)+pi *2 *sqrt(2^2+12^2)-pi *1,5 *sqrt(1,5^2+9^2))≈41,93`  m².

inhoud (bovenste deel) `=1/3pi *1,5^2*1=3/4 pi` m³.

inhoud (onderste deel) `=1/3pi *2^2*12 -1/3pi *1,5^2*9=9 1/4 pi` m³.

Dit bij elkaar optellen levert de totale inhoud:

`1/3pi *2^2*12 -1/3pi *1,5^2*9 +1/3pi *1,5^2*1 =10 pi` m³.

Twee rechthoeken, elk met een oppervlakte van `2 * sqrt(1^2 + 1,5^2) ~~ 3,61` m².

Het grondzeil met oppervlakte `2*2 + 2* 1/2*2*1,2 = 6,2` m².

Vier driehoeken met zijden van `sqrt(1^2 + 1,5^2)=sqrt(3,25)` , `sqrt(1,2^2 + 1,5^2)=sqrt(3,69)` en `sqrt(1^2 + 1,2^2)=sqrt(2,44)` .

Om van zo'n driehoek de oppervlakte te berekenen moet je een hoogte uitrekenen en daarvoor is een hoek nodig.
Cosinusregel: `(sqrt(3,25))^2 = (sqrt(3,69))^2 + (sqrt(2,44))^2 - 2*sqrt(3,25)*sqrt(2,44)*cos(alpha)` geeft `alpha ~~ 61,3^@` .
Een hoogte van zo'n driehoek is daarom `h ~~ sqrt(3,69)*sin(61,3^@) ~~ 1,685` m.
De oppervlakte van zo'n driehoek is ongeveer `1/2*sqrt(2,44)*1,685~~1,32` m².

Totale oppervlakte aan tentdoek: `~~ 2*3,61 + 6,2 + 4*1,32 ~~ 18,68` m³.

Middendeel is een prisma met een volume van `1/2*2*1,5*2 = 3` m³.

Voor- en achterkant vormen één piramide met volume `1/3 * (2 * 1/2 * 2 * 1,2) * 1,5 = 1,2` m³.

De inhoud van de tent is `3 + 1,2 = 4,2` m³.

Dan is de hoogte van de vloeistofkegel precies `0,5` keer die van de hele kegel.
Bij een vergroting met factor `0,5` wordt een inhoud dan met `0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125` vermenigvuldigd.
De cocktail beslaat `12,5` % van de inhoud van het glas.

Dan is de inhoud van de vloeistofkegel precies `0,5` keer die van de hele kegel.
Bij een volumevergroting met factor `0,5` wordt een lengte met `root[3](0,5) ~~ 0,79` vermenigvuldigd.
De vloeistofspiegel staat dan `0,79*10 = 7,9` cm boven de bodem van het glas.

De verhouding is `25:16` .

De inhoud is `433019` m³.

Je kunt dit in de formule aflezen. Als de vergrotingsfactor in oppervlakte `900` is, wordt de spanwijdte dus `sqrt(900)=30` keer groter (of kleiner). Vul in de formule `30b` in waar `b` staat, en `900A` waar `A` staat, dan krijg je `(30b)^2/(900A)=b^2/A` . De slankheid blijft dus hetzelfde.

De volumevergrotingsfactor is `768000/(1,5)=512000` .

Dit geeft een lengtevergrotingsfactor van `root3(512000)=80` . De topsnelheid van het model zou dus `100/80=1,25` km/h moeten zijn.

De massa's en vluchthoogte die corresponderen met de onderdelen van het model worden weergegeven met kleine letters, en die van de werkelijke raket met hoofdletters. Dus:

`H=c*(M_1-M_2)` en `h=c*(m_1-m_2)` , ofwel `H/h=(M_1-M_2)/(m_1-m_2)`

Je weet dat de massa's die bij de onderdelen van het model horen met een bepaalde factor `v` verschillen van de werkelijkheid: `m_1=v*M_1` en `m_2=v*M_2` . Zo krijg je:

`H/h=(c*v*(m_1-m_2))/(c*(m_1-m_2))` , ofwel `H/h=100000/250=400=v`

Het volume (en dus ook de massa) van de werkelijke raket is dus een factor `400` groter dan die van het model. De massa van de werkelijke raket is dus `400*125=50000`  kg.

`1/1000`  ste deel van jouw eigen gewicht.

`1/100` ste deel.

De energiebehoefte van de mens varieert sterk van persoon tot persoon. Verder is er verschil tussen mannen en vrouwen. Stel dat je gemiddeld ongeveer `500` gram per dag eet.
Een Lilliputter moet dan ongeveer `1/100*500 =5` gram per dag eten.

Zie vorige antwoord bij c. Stel dat jij `80` kg weegt en `500` g per dag eet, dan eet je `0,625` % van je eigen lichaamsgewicht per dag. De Lilliputter weegt `1/1000*80 =0,08` kg, dus `80` gram. Hij moet `6,25` % van zijn lichaamsgewicht per dag eten, dus naar verhouding `10` keer zoveel!

Omdat dit recht evenredig is met de oppervlakte van het lichaam en de oppervlaktevergrotingsfactor is `l^2` .

De voedselbehoefte is recht evenredig met `l^2` en het lichaamsgewicht met `l^3` , dus de voedselbehoefte per kg is recht evenredig met `root3 (l^2)` , ofwel `l^(2/3)` .

`(14 * 14 * 8 - 1/2 * 4/3 * pi * 5,5^3) * 2,1 ~~ 2561` gram.

`2*14*14 + 4 * 14 * 8 - pi * 5,5^2 + 1/2 * 4pi * 5,5^2 ~~ 935` cm².

`~~ 13,9` m.

`~~ 88659` kg.