Meetkunde in 3D > Oppervlakte en inhoudToepassen
In de modelbouw willen mensen het liefst dat de eigenschappen van bijvoorbeeld de voertuigen en gebouwen op werkelijke grootte in hun modellen behouden blijven. Dit geldt niet alleen voor hobbyisten, maar ook bijvoorbeeld voor ontwerpers van vliegtuigen die de aerodynamische eigenschappen van hun ontwerp willen uittesten op een model.
In de luchtvaart wordt de vorm van de vleugels in een getal uitgedrukt met het begrip slankheid. De formule voor slankheid is `lambda=b^2/A` . Hierbij is `b` de spanwijdte en `A` de oppervlakte van de vleugels. Ga er voor het gemak van uit dat de vleugels rechthoekig zijn.
Een modelvliegtuig heeft een vleugeloppervlak dat `900` keer kleiner is dan die van het werkelijke vliegtuig. Wat gebeurt er met de slankheid?
Een modeltrein weegt `1,5` kg. Het is gemaakt van hetzelfde materiaal als de werkelijke trein. De werkelijke trein weegt `768` ton.
De snelheid van de modeltrein moet de werkelijkheid zo goed mogelijk nabootsen. De werkelijke trein heeft een topsnelheid van `100` km/h. Wat moet de topsnelheid van de modeltrein zijn?
Hoe groot moet de topsnelheid van de modeltrein zijn?
Een raket bestaat grofweg uit een cilinder met een kegel erop. Een amateur-raketwetenschapper heeft een modelraket van `125` kg gebouwd die, wanneer afgevuurd, `250` m hoog in de lucht komt. Hij heeft berekend dat een raket met de verhoudingen van zijn model een hoogte `h` (m) behaalt die evenredig is met het verschil van de massa van de cilinder en de massa van de kegel. Dus `h=c*(m_1-m_2)` , waarbij `c` een constante is, `m_1` de massa van de cilinder en `m_2` de massa van de kegel.
Stel dat de kegel en de cilinder van een raket op werkelijke grootte van precies dezelfde materialen gemaakt worden als het model. Je wilt dat een raket `100` km de lucht in gaat. Hoe zwaar moet de werkelijke raket worden?
Jonathan Swift bedacht in zijn boek "Gulliver's travels" het volk uit Lilliput. De bewoners van Lilliput zijn verkleiningen van echte mensen met een factor `10` . Ga eens uit van een Lilliputter die een perfecte verkleining is van jouzelf.
Hoeveel weegt die Lilliputter ten opzichte van jou?
Hoeveel keer minder huidoppervlakte heeft die Lilliputter in vergelijking met jijzelf?
De voedselbehoefte van zoogdieren is ongeveer recht evenredig met de huidoppervlakte omdat dit vooral nodig is om de lichaamstemperatuur op peil te houden en het temperatuurverlies vooral afhangt van de huidoppervlakte. Schat hoeveel gram voedsel jij per dag zelf nodig hebt en bereken hoeveel dat voor de Lilliputter zou moeten zijn.
Hoeveel procent van je eigen lichaamsgewicht moet jij dagelijks eten? En de Lilliputter? In deze opgave wordt uitgegaan van een lichaamsgewicht van `80` kg.
Waarom geldt voor zoogdieren dat de benodigde hoeveelheid voedsel recht evenredig is met het kwadraat van de lengte?
Leg uit dat voor zoogdieren de benodigde hoeveelheid voedsel per kg lichaamsgewicht recht evenredig is met `l^ (2/3)` , waarin `l` de lichaamslengte is.