Meetkunde in 3D > Oppervlakte en inhoud
12345Oppervlakte en inhoud

Uitleg

Dit kartonnen koffiebekertje heeft (ongeveer) de vorm van een afgeknotte kegel. Van een bepaald koffiebekertje is de diameter van de bodem `46` mm, die van de bovencirkel `64` mm en de hoogte `90` mm.

Die afmetingen bepalen hoeveel er in kan, de inhoud van het bekertje.

Om die uit te rekenen gebruik je de formule voor de inhoud van een kegel.

inhoud(kegel) `= 1/3 pi r^2 h` .

Hierin is `r` de straal (de halve diameter) en `h` de hoogte van de kegel.

Voor de inhoud van het bekertje trek je als het ware twee kegels van elkaar af: een kegel met hoogte `h` en diameter `46` mm trek je af van een kegel met hoogte `h + 90` en diameter `64` mm.
Omdat beide kegels gelijkvormig zijn is

`46/64 = h/(h+90)`

waaruit volgt: `h = 230` mm.

De inhoud van de koffiebeker is daarom `1/3*pi *32^2*320 -1/3*pi *23^2*230 ≈215733` mm3.

De inhoud van een koffiebeker waarvan alle afmetingen `2` keer zo groot zijn is `2^3=8` keer zo groot.

Opgave 1

Bekijk het koffiebekertje in Uitleg 1.
Er is een categorie figuren waarvan je het volume berekent `V` met de formule `V = 1/3*G*h` als `G` de oppervlakte van het grondvlak en `h` de hoogte is.

a

Voor welke figuren geldt deze formule?

b

Waarom geldt voor een kegel `V = 1/3 pi r^2 h` ? Welke aanname moet je dan doen?

c

Leg uit waarom geldt: `46/64 = h/(h+90)` .

d

Laat zien dat `h=230`

e

Bereken tenslotte zelf het volume van het koffiebekertje.

f

Leg uit waarom een koffiebeker waarvan alle afmetingen `2` keer zo groot zijn, een `8` keer zo grote inhoud heeft.

Opgave 2

Er is een categorie figuren waarvan je het volume berekent `V` met de formule `V = G*h` als `G` de oppervlakte van het grondvlak en `h` de hoogte is.

a

Voor welke figuren geldt deze formule?

b

Waarom geldt voor een cilinder `V = pi r^2 h` ? Welke aanname moet je dan doen?

c

Bereken de inhoud van een kubus waarvan alle ribben `6` cm lang zijn.

d

Bereken de inhoud van een driezijdig prisma waarvan alle ribben `6` cm lang zijn.

e

Bereken het volume van een cilinder met diameter `6`  cm en hoogte `6`  cm.

f

Bereken het volume van een bol met diameter `6` cm.
Zoek eventueel de formule voor de inhoud van een bol op in de Theorie .

verder | terug