Omdat je alleen dan echte lengtes en hoeken kunt meten. Anders vervormt elk figuur waarvan de hoekpunten als coördinaten zijn gegeven.

De afstand in horizontale richting is `4-1=3` en de afstand in verticale richting `3-1=2` .
Pas de stelling van Pythagoras toe.

`| AB |=sqrt( (4 -1 ) ^2+ (3 -1 ) ^2)=sqrt(3^2+2^2)=sqrt(13)`

`M( (1 +4) /2 , (3 +1) /2)=(2 1/2 , 2 )`

De afstand in horizontale richting is `1- text(-)1=2` en in verticale richting is de afstand gelijk aan `4-3=1` . Met de stelling van Pythagoras reken je vervolgens de lengte van het lijnstuk uit: `|AB|=sqrt(2^2 + 1^2)=sqrt(5)` .

Je kunt dit ook met één berekening doen: `|AB|=sqrt( (1 -text(-)1 ) ^2 + (4 -3 ) ^2)=sqrt(5 )` .

`M ( (text(-)1 +1) /2, (3 +4) /2)=(0, 3 1/2)` .

`M ( (text(-)1 +1) /2, (3 +4) /2, (2+5)/2)=(0, 3 1/2, 3 1/2)` en `|AB|=sqrt( (1 -text(-)1 )^2 + (4 -3 )^2 + (5-2)^2)=sqrt(14)` .

`| AB |=sqrt( (20 -text(-)10 ) ^2+ (text(-)45 -33 ) ^2)=sqrt(6984 )`

`M( (text(-)10 +20) /2 , (33 + text(-)45)/2) = (10/2 , text(-)12/2) = (5, text(-)6) `

Het verschil van de twee `x` -coördinaten is `x_A - x_B` en het verschil van de `y` -coördinaten is `y_A - y_B` .
Met de stelling van Pythagoras vind je: `|AB| = sqrt((x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2)` .

`M( (x_A + x_B)/2 , (y_A + y_B)/2 )`

`M( (x_A + x_B)/2 , (y_A + y_B)/2 , (z_A + z_B)/2)` en `|AB| = sqrt((x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 + (z_A - z_B)^2)` .

`M = ((x_A+x_B)/2, (y_A+y_B)/2) = ((text(-)2+3)/2, (text(-)1+2)/2) = (0,5; 0,5)` .

`|AM| = sqrt((x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2) = sqrt((text(-)2-0,5)^2 + (text(-)1-0,5)^2) = sqrt(8,5)` .

`|MB| = sqrt((x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2) = sqrt((3-0,5)^2 + (2-0,5)^2) = sqrt(8,5)` .

Dus inderdaad is `|AM| = |MB|` .

Eigen antwoord, als je twee punten binnen de afmetingen van de applet kiest, kun je de coördinaten van `M` controleren.

Er geldt:

`|CB|=29` , `|CA|=7` en dus geldt voor de schuine zijde `AB` : `|AB|=sqrt(29^2+7^2)=sqrt(890)` .

`|AB|= sqrt((11-40)^2 + (19-12)^2 + (2-5)^2) = sqrt(899)` .

Je kunt een balk tekenen waarvan `A` en `B` hoekpunten zijn, waarvan de twee horizontale grensvlakken evenwijdig aan het `Oxy` -vlak zijn en waarvan de vier verticale grensvlakken evenwijdig aan de `z` -as zijn.
Recht onder punt `B` zit dan `B'(40, 12, 2)` en in dit ondervlak kun je `AB'` uitrekenen met de stelling van Pythagoras. Daarna maak je de rechthoekige driehoek `AB'B` en doe je nog een keer de stelling van Pythagoras. Ga na, dat je hetzelfde vindt als bij b.

`|AB|=sqrt( (text(-)3 -6 ) ^2+ (6 -0 ) ^2)=sqrt(117 )`

`|BC|=sqrt( (6 -18 ) ^2+ (0 -18 ) ^2)=sqrt(468 )`

`|AC|=sqrt( (text(-)3 -18 ) ^2+ (6 -18 ) ^2)=sqrt(585 )`

Als in deze driehoek geldt dat `|AB| ^2+ |BC| ^2= |AC| ^2` , dan is de driehoek rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Hier wordt dat `(sqrt(117))^2 + (sqrt(468))^2 = 117 + 468 = 585 = (sqrt(585))^2` , dus de driehoek is rechthoekig.

`D ((text(-)3 + 6)/2, (6 + 0)/2) = (1,5; 3)`
`E ((6 + 18)/2, (0 + 18)/2) = (12, 9)`
`F ((text(-)3 + 18)/2, (6 + 18)/2) = (7,5; 12)`

Bereken eerst de lengtes van de drie zijden van deze driehoek:
`|DE|=sqrt(146,25 )`
`|DF|=sqrt(117 )`
`|EF|=sqrt(29,25 )`

`|DF|^2 + |EF|^2 = 117 + 29,25 = 146,25 = |DE|^2` , de driehoek is dus rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Ga na, dat `P(2 , 1 )` en `Q(4 , 1 )` . Het midden van `EQ` is dan `S(1,5 ; 1,5 )` .

Probeer het eerst zelf en bekijk daarna eventueel het voorbeeld.

`|AB| = sqrt((text(-)11 - 106)^2 + (23 - 133)^2) = sqrt(25789)`
`M ( (text(-)11 + 106)/2 ; (23 + 133)/2) = (47,5; 78)`

`(text(-)11 + x_C)/2 = 106` en `(23 + y_C)/2 = 133` geeft `x_C = 223` en `y_C = 243` .

De coördinaten van `C` zijn `(223 , 243)` .

Je kunt aantonen dat hoeken recht zijn door de omgekeerde stelling van Pythagoras toe te passen. Neem bijvoorbeeld de hoek bij `A` , de hoek tussen `AB` en `AD` . Deze hoek zit in `Delta ABD` .

`|AB| = sqrt(80), |AD| = sqrt(20)` en `|BD| = 10` .

In `Delta ABD` geldt dat `|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2` , dus is hoek `A` recht (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Zo kun je voor de andere hoeken ook aantonen dat ze recht zijn.

`S` is het midden van bijvoorbeeld lijnstuk `AC` .
Dus `S((6+6)/2 , (0+10)/2) = (6, 5)` .

Maak gebruik  van basis `AS` en als hoogte een lijnstuk door `B` loodrecht op het verlengde van `AS` . Je krijgt dan: `1/2 * |AS| * 4 = 1/2 * 5 * 4 = 10` .

Omdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan, net als de assen in een cartesisch assenstelsel.

`A(text(-)1,5 ; text(-)2 )`
`B(1,5 ; text(-)2 )`
`C(1,5 ; 1 )`
`D(text(-)1,5 ; 1 )`

Gebruik de omgekeerde stelling van Pythagoras. In `\Delta ABC` is bijvoorbeeld `∠B` recht, controleer dit door de lengtes van de zijden te berekenen. Je kunt ook zeggen dat de punten `A` en `B` op een horizontale roosterlijn liggen (zelfde `y` -waarden) en de punten `B` en `C` op een verticale roosterlijn liggen (zelfde `x` -waarden). Roosterlijnen maken rechte hoeken met elkaar.

Gegeven is dus dat `M` het midden is van `KL` . Gebruik de formule om de coördinaten uit te rekenen:

• de `x` -coördinaat: `(2+x)/2=4` , dus `x=6` ;

• de `y` -coördinaat: `(8+y)/2=12` dus `y=16` ;

• de `z` -coördinaat: `(0+z)/2=3` dus `y=6` ;

De coördinaten van `L` zijn dus `(6, 16, 6)` .

`|KL|=sqrt((6-2)^2 + (16-8)^2 + (6-0)^2)=sqrt(116)`

N = ((4+6)/2, (12+16)/2, (3+6)/2) = (5; 14; 4,5)

Neem voor het eerste schip `S_1` het punt `(80, 0)` , het beweegt over de `x` -as richting `(0, 0)` . Het tweede schip `S_2(0, 60)` beweegt over de `y` -as richting `(0, 0)` .

De oorsprong van het assenstelsel is punt `S` waar beide bewegingsrichtingen elkaar snijden en `|S_1S_2|` is hun onderlinge afstand.

Als `t=1` heeft het schip `S_1` `20` km afgelegd, dus zijn coördinaten zijn dan `(60, 0)` .

Als `t=1` heeft het schip `S_2` `10` km afgelegd, dus zijn coördinaten zijn dan `(0, 50)` .

Als `t=2` heeft het schip `S_1` weer `20` km afgelegd, dus zijn coördinaten zijn dan `(40, 0)` .

Als `t=2` heeft het schip `S_2` weer `10` km afgelegd, dus zijn coördinaten zijn dan `(0, 40)` .

Enzovoorts.

`|S_1 S_2| = sqrt(80^2+60^2)=100` km.

`|S_1 S_2| = sqrt(60^2+50^2)=sqrt(6100 )` km

`a=sqrt( (80 -20 t) ^2+ (60 -10 t) ^2)` km

Gebruik de grafische rekenmachine en teken de grafiek van `a=sqrt( (80 -20 t) ^2+ (60 -10 t) ^2)` .
Venster bijvoorbeeld: `[0, 10] xx [0, 50]` .

Bepaal vervolgens het minimum. Je vindt een minimale `a` bij `t≈4,4` en een afstand van ongeveer `17,89` km.

`|PQ|=sqrt(14976)≈122,38`

Het midden is `M(60, 24)` en `|OM|≈64,62` .

Het midden is `M(60, 24, 15)` en `|OM|≈66,34` .

Als in de driehoek geldt dat `|AB| ^2+ |BC| ^2= |AC| ^2` dan is de driehoek rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

`|AB|=sqrt(5), |BC|=sqrt(20)` en `|AC|=5` .

`(sqrt(5))^2 + (sqrt(20))^2 =5 + 20 =25= 5^2` , dus de driehoek is rechthoekig.

`P = ((1+1)/2; (1+6)/2) = (1; 3,5)` .

`|AP| = 2,5` en `|BP| = sqrt((3- 1)^2 + (2 - 3,5)^2) = sqrt(6,25)=2,5` .

Omdat `|AP|=|BP|` is `Delta ABP` gelijkbenig.