Zie de figuur bij antwoord b.

`alpha_1` is de richtingshoek van `vec c` en `alpha_2` is de richtingshoek van `vec d` .

`tan (alpha_1)=3/5` geeft `alpha_1~~31^@` .

`tan (360°-alpha_2)=1/2` geeft `alpha_2~~333^@` .

`alpha_1 ~~ 31^@` is de richtingshoek van `vec c` en `alpha_2 ~~ 333^@` is de richtingshoek van `vec d` .

Tussen beide vectoren zit een hoek van `33^@ + (360^@ - 333^@) = 60^@` .

`vec(p_1) = 2*((1),(2)) + ((3),(1)) = ((2),(4))+((3),(1)) = ((5),(5))`

Hierbij hoort een richtingshoek van `45^@` . (Daar heb je geen tangens voor nodig!)

`vec(p_2) = ((1),(2)) + text(-)1 * ((3),(1)) = ((1),(2))+((text(-)3),(text(-)1))=((text(-)2),(1))`

Voor de richtingshoek `alpha_2` geldt `tan(alpha_2)=1/(text(-)2)` en dus `alpha_2~~180^@-26,6^@=153,4^@` .

`vec(p_3) = 3 * ((1),(2)) + text(-)2 * ((3),(1)) = ((3),(6))+((text(-)6),(text(-)2))= ((text(-)3),(4))`

Voor de richtingshoek `alpha_3` geldt `tan(alpha_3)=4/(text(-)3)` en dus `alpha_3~~180^@-53,1^@=126,9^@` .

`vec(a) * vec(b) = (text(-)2 vec(e_x) + 3 vec(e_y)) * (2 vec(e_x) + 1 vec(e_y))`

`=text(-)2*2*vec(e_x)*vec(e_x)+3*1*vec(e_y)*vec(e_y)+text(-)2*1*vec(e_x)*vec(e_y)+3*2*vec(e_y)*vec(e_x)`

`=text(-)2*2*1+3*1*1+text(-)2*1*0+3*2*0=text(-)1`

`((1),(4))*((2),(3))=(1vec(e_x)+4vec(e_y))*(2vec(e_x)+3vec(e_y))`

`=1*2*1+4*3*1+1*3*0+4*2*0=14`

`vec(v) = vec(a) + vec(b) = ((text(-)2),(5)) + ((6),(text(-)7)) = ((4),(text(-)2))`

De lengte van de vlucht is `sqrt(2^2+5^2)+sqrt(6^2+7^2)~~15` km.

`text(-) vec(v) = ((text(-)1),(2))`

Voor de draaihoek `varphi` die daarbij hoort, geldt: `tan(varphi-90^@) =1/2` .
Dit geeft `varphi~~153^@` .

`sqrt(1^2+2^2)=sqrt(5)~~2` km.

`vec(a) * vec(b) = 1 * text(-)3 + text(-)4 * text(-)2 = 5`

Verder is `vec(a) * vec(b) = |vec(a)| * |vec(b)| * cos(varphi)` , dus `5 = sqrt(17) * sqrt(13) * cos(varphi)` .

`cos(varphi) = 5/(sqrt(17)*sqrt(13))` geeft `varphi ≈ 70,3^@` .

`((text(-)1),(4))*((3),(text(-)2))=text(-)1*3+4*text(-)2=text(-)11`

Tevens is `vec(a)*vec(b)=|vec(a)|*|vec(b)|*cos(varphi)=sqrt(17)*sqrt(13)*cos(varphi)` .

`cos(varphi)=(text(-)11)/(sqrt(17)*sqrt(13))` geeft `varphi~~137,7^@` .

Werk eventueel samen met een medeleerling.

Een voor de hand liggend stel is `vec(a)=((0),(1))` en `vec(b)=((1),(0))` :

`vec(a)*vec(b)=0*1+1*0=0`

Een ander stel is bijvoorbeeld `vec(c)=((1),(3))` en `vec(d)=((6),(text(-)2))` :

`vec(c)*vec(d)=1*6+3*text(-)2=0`

`((a),(b))*((kb),(text(-)ka))=a*kb+b*text(-)ka=0`

Omdat het inproduct `0` is, staan de vectoren loodrecht op elkaar.

Dat is het geval als de vectoren op één lijn liggen. Hun hoek is dan `0^@` of `180^@` .

Bijvoorbeeld `vec(v)= ((1),(2))` en `vec(w)= ((3),(6))` .

`2vec(a) = ((2),(4))`

`2vec(a) + 1,5vec(b) = ((6,5),(2,5))`

`text(-)2 vec(b) = ((text(-)6),(2))`

`text(-)vec(a) - vec(b) = ((text(-)4),(text(-)1))`

`vec(AB) = ((2),(text(-)2))` , `vec(a) = ((3),(4))` en `vec(b) = ((5),(2))`
`vec(b) - vec(a) = ((5),(2)) - ((3),(4)) = ((2),(text(-)2)) = vec(AB)`

`vec(AB) = ((b_x - a_x),(b_y - a_y)) = vec(b) - vec(a)`

`vec(a)*vec(b)=3*2+2*text(-)5=text(-)4=sqrt(13)*sqrt(29)*cos(varphi)` geeft `cos(varphi)=(text(-)4)/sqrt(377)` en `varphi~~102^@` .

`vec(p)*vec(q)=5*1+text(-)2*4=text(-)3=sqrt(29)*sqrt(17)*cos(varphi)` geeft `cos(varphi)=(text(-)3)/sqrt(493)` en `varphi~~98^@` .

Je kunt aan het rekenen slaan met een inproduct, maar je kunt ook opmerken dat `vec(v)=text(-)4vec(w)` , dus de hoek tussenbeide is `180^@` .

Eerste deel van de vaarroute is vector `vec(OA)=((5),(text(-)3))` en het tweede deel van de tocht is vector `vec(AB)=((text(-)2),(8))` .

`vec(v) = vec(a) + vec(b) = ((5),(text(-)3)) + ((text(-)2),(8)) = ((3),(5))`

De lengte van de zeiltocht is ongeveer `14` km.

`text(-) vec(v) = ((text(-)3),(text(-)5))`

Voor de draaihoek `varphi` die daarbij hoort, geldt: `tan(varphi-180^@) =5/3` .

Dit geeft `varphi~~239^@` .

`sqrt(3^2+5^2)=sqrt(34)~~6` km.

`vec(a)*vec(b)=2*4+text(-)1*3=5=sqrt(5)*5*cos(varphi)` geeft `cos(varphi)=1/sqrt(5)` en `varphi~~63^@` .

Een vector die loodrecht op een andere vector `((a),(b))` staat, en twee keer zo lang is, heeft de vorm `((text(-)2b),(2a))` of `((2b),(text(-)2a))` . In dit geval dus `((text(-)6),(8))` of `((6),(text(-)8))` .

De vectoren `vec(AB)=((30),(text(-)10))` en `vec(DC)=((30),(text(-)10))` zijn even lang zijn en evenwijdig.

Omdat `ABCD` een parallellogram is, ligt het punt `S` midden op de diagonalen. Het midden van `AC` is `((text(-)23+text(-)3)/2, (61+91)/2)=(text(-)13, 76)` . Het midden van `BD` is ook `((7+text(-)33)/2, (51+101)/2)=(text(-)13, 76)` .

Kortom, punt `S` is `(text(-)13,76)` .

`vec(SA)=((text(-)10),(text(-)15))` en `vec (SB)=((20),(text(-)25))`

`vec(AS)*vec(SB)=10*20+15*text(-)25=text(-)175=sqrt(325)*sqrt(1025)*cos(varphi)` zodat `varphi~~72^@` .

De hoek tussen de vectoren is ongeveer `72^@` .

Teken eerst de krachtvector van de man in een assenstelsel. Je weet dat de boot in het midden blijft varen en dat de jongen de helft van de kracht van de man levert. De zijwaartse component van de jongen moet dan even groot zijn als die van de man en de totale lengte van de vector moet de helft van die van de man zijn. Teken de krachtvector van de jongen die hieraan voldoet.

Noem de vaarrichting de `y` -richting. De `x` -componenten van de vectoren van de kracht die de jongen en de man verzetten, zijn allebei even groot, maar in tegengestelde richting. Dit is omdat de boot in het midden blijft varen.

De jongen is half zo sterk als de man, dus zijn kracht is `5` N. Noem de hoek die zijn krachtvector maakt met de `x` -as `varphi` . Bekijken van de `x` -componenten geeft de vergelijking:

`10*sin(20^@)=5*sin(varphi)` geeft `varphi~~43^@` .

De richtingshoek van de kracht die de jongen uitoefent is ongeveer `43^@` .

De totale kracht in de vaarrichting is `10cos(20^@)+5cos(43^@)~~13,054` N.

De verrichte arbeid is ongeveer `1000*13,054=13054` Nm.

De door de man verrichte arbeid is `10cos(20^@)*1000~~9397` Nm.

De jongen verricht een arbeid van `5cos(43^@)*1000~~3657` Nm.

De man verricht de meeste arbeid.

`|vec{a}|≈4,47` en `|vec{b}|≈5,39` .

De richtingshoek van `|vec(a)|` is ongeveer `153^@` , die van `|vec(b)|` ongeveer `68^@` .

`85^@` .

Beide punten botsen na `6` seconden.

`~~19^@`