Zie de figuur bij antwoord b.

`alpha_1` is de richtingshoek van `vec c` en `alpha_2` is de richtingshoek van `vec d` .

`tan (alpha_1)=3/5` geeft `alpha_1~~31^@` .

`tan (360°-alpha_2)=1/2` geeft `alpha_2~~333^@` .

`alpha_1 ~~ 31^@` is de richtingshoek van `vec c` en `alpha_2 ~~ 333^@` is de richtingshoek van `vec d` .

Tussen beide vectoren zit een hoek van `33^@ + (360^@ - 333^@) = 60^@` .

`vec(p_1) = 2*((1),(2)) + ((3),(1)) = ((2),(4))+((3),(1)) = ((5),(5))`

Hierbij hoort een richtingshoek van `45^@` . (Daar heb je geen tangens voor nodig!)

`vec(p_2) = ((1),(2)) + text(-)1 * ((3),(1)) = ((1),(2))+((text(-)3),(text(-)1))=((text(-)2),(1))`

Voor de richtingshoek `alpha_2` geldt `tan(alpha_2)=1/(text(-)2)` en dus `alpha_2~~180^@-26,6^@=153,4^@` .

`vec(p_3) = 3 * ((1),(2)) + text(-)2 * ((3),(1)) = ((3),(6))+((text(-)6),(text(-)2))= ((text(-)3),(4))`

Voor de richtingshoek `alpha_3` geldt `tan(alpha_3)=4/(text(-)3)` en dus `alpha_3~~180^@-53,1^@=126,9^@` .

`vec(a) * vec(b) = (text(-)2 vec(e_x) + 3 vec(e_y)) * (2 vec(e_x) + 1 vec(e_y))`

`=text(-)2*2*vec(e_x)*vec(e_x)+3*1*vec(e_y)*vec(e_y)+text(-)2*1*vec(e_x)*vec(e_y)+3*2*vec(e_y)*vec(e_x)`

`=text(-)2*2*1+3*1*1+text(-)2*1*0+3*2*0=text(-)1`

`((1),(4))*((2),(3))=(1vec(e_x)+4vec(e_y))*(2vec(e_x)+3vec(e_y))`

`=1*2*1+4*3*1+1*3*0+4*2*0=14`

`vec(v) = vec(a) + vec(b) = ((text(-)2),(5)) + ((6),(text(-)7)) = ((4),(text(-)2))`

De lengte van de vlucht is `sqrt(2^2+5^2)+sqrt(6^2+7^2)~~15` km.

`text(-) vec(v) = ((text(-)1),(2))`

Voor de draaihoek `varphi` die daarbij hoort, geldt: `tan(varphi-90^@) =1/2` .
Dit geeft `varphi~~153^@` .

`sqrt(1^2+2^2)=sqrt(5)~~2` km.

`vec(a) * vec(b) = 1 * text(-)3 + text(-)4 * text(-)2 = 5`

Verder is `vec(a) * vec(b) = |vec(a)| * |vec(b)| * cos(varphi)` , dus `5 = sqrt(17) * sqrt(13) * cos(varphi)` .

`cos(varphi) = 5/(sqrt(17)*sqrt(13))` geeft `varphi ≈ 70,3^@` .

`((text(-)1),(4))*((3),(text(-)2))=text(-)1*3+4*text(-)2=text(-)11`

Tevens is `vec(a)*vec(b)=|vec(a)|*|vec(b)|*cos(varphi)=sqrt(17)*sqrt(13)*cos(varphi)` .

`cos(varphi)=(text(-)11)/(sqrt(17)*sqrt(13))` geeft `varphi~~137,7^@` .

Werk eventueel samen met een medeleerling.

Een voor de hand liggend stel is `vec(a)=((0),(1))` en `vec(b)=((1),(0))` :

`vec(a)*vec(b)=0*1+1*0=0`

Een ander stel is bijvoorbeeld `vec(c)=((1),(3))` en `vec(d)=((6),(text(-)2))` :

`vec(c)*vec(d)=1*6+3*text(-)2=0`

`((a),(b))*((kb),(text(-)ka))=a*kb+b*text(-)ka=0`

Omdat het inproduct `0` is, staan de vectoren loodrecht op elkaar.

Dat is het geval als de vectoren op één lijn liggen. Hun hoek is dan `0^@` of `180^@` .

Bijvoorbeeld `vec(v)= ((1),(2))` en `vec(w)= ((3),(6))` .

`2vec(a) = ((2),(4))`

`2vec(a) + 1,5vec(b) = ((6,5),(2,5))`

`text(-)2 vec(b) = ((text(-)6),(2))`

`text(-)vec(a) - vec(b) = ((text(-)4),(text(-)1))`

`vec(AB) = ((2),(text(-)2))` , `vec(a) = ((3),(4))` en `vec(b) = ((5),(2))`
`vec(b) - vec(a) = ((5),(2)) - ((3),(4)) = ((2),(text(-)2)) = vec(AB)`

`vec(AB) = ((b_x - a_x),(b_y - a_y)) = vec(b) - vec(a)`

`vec(a)*vec(b)=3*2+2*text(-)5=text(-)4=sqrt(13)*sqrt(29)*cos(varphi)` geeft `cos(varphi)=(text(-)4)/sqrt(377)` en `varphi~~102^@` .

`vec(p)*vec(q)=5*1+text(-)2*4=text(-)3=sqrt(29)*sqrt(17)*cos(varphi)` geeft `cos(varphi)=(text(-)3)/sqrt(493)` en `varphi~~98^@` .

Je kunt aan het rekenen slaan met een inproduct, maar je kunt ook opmerken dat `vec(v)=text(-)4vec(w)` , dus de hoek tussenbeide is `180^@` .

Eerste deel van de vaarroute is vector `vec(OA)=((5),(text(-)3))` en het tweede deel van de tocht is vector `vec(AB)=((text(-)2),(8))` .

`vec(v) = vec(a) + vec(b) = ((5),(text(-)3)) + ((text(-)2),(8)) = ((3),(5))`

De lengte van de zeiltocht is ongeveer `14` km.

`text(-) vec(v) = ((text(-)3),(text(-)5))`

Voor de draaihoek `varphi` die daarbij hoort, geldt: `tan(varphi-180^@) =5/3` .

Dit geeft `varphi~~239^@` .

`sqrt(3^2+5^2)=sqrt(34)~~6` km.

`vec(a)*vec(b)=2*4+text(-)1*3=5=sqrt(5)*5*cos(varphi)` geeft `cos(varphi)=1/sqrt(5)` en `varphi~~63^@` .

Een vector die loodrecht op een andere vector `((a),(b))` staat, en twee keer zo lang is, heeft de vorm `((text(-)2b),(2a))` of `((2b),(text(-)2a))` . In dit geval dus `((text(-)6),(8))` of `((6),(text(-)8))` .

De vectoren `vec(AB)=((30),(text(-)10))` en `vec(DC)=((30),(text(-)10))` zijn even lang zijn en evenwijdig.

Omdat `ABCD` een parallellogram is, ligt het punt `S` midden op de diagonalen. Het midden van `AC` is `((text(-)23+text(-)3)/2, (61+91)/2)=(text(-)13, 76)` . Het midden van `BD` is ook `((7+text(-)33)/2, (51+101)/2)=(text(-)13, 76)` .

Kortom, punt `S` is `(text(-)13,76)` .

`vec(SA)=((text(-)10),(text(-)15))` en `vec (SB)=((20),(text(-)25))`

`vec(AS)*vec(SB)=10*20+15*text(-)25=text(-)175=sqrt(325)*sqrt(1025)*cos(varphi)` zodat `varphi~~72^@` .

De hoek tussen de vectoren is ongeveer `72^@` .

`|vec{a}|≈4,47` en `|vec{b}|≈5,39` .

De richtingshoek van `|vec(a)|` is ongeveer `153^@` , die van `|vec(b)|` ongeveer `68^@` .

`85^@` .

Beide punten botsen na `6` seconden.

`~~19^@`