`((a),(b))*((text(-)b),(a)) = 0` , dus voor de hoek `varphi` tussen deze vectoren geldt: `cos(varphi)=0` en dus `varphi=90^@` .

Alleen de vector `((b),(text(-)a))` staat ook loodrecht op `((a),(b))` .

Alleen de vector `((2b),(text(-)2a))` staat ook loodrecht op `((a),(b))` .

Bijvoorbeeld `((x),(y)) = ((1),(2)) + t*((3),(text(-)1))` .

Bijvoorbeeld `((x),(y)) = ((3),(4)) + p*((1),(3))` .

Bereken eerst het snijpunt `S` van beide lijnen. Dat kan bijvoorbeeld door op te lossen:

`{(1+3t=3+p),(2-t=4+3p):}`

Dit geeft `p=text(-)0,8` en `t=0,4` en dus als snijpunt `S(2,2; 1,6)` .

De afstand van `C` tot `S` (en dus tot lijn `AB` ) is `sqrt((3-2,2)^2 + (4-1,6)^2) ~~ 2,53` .

Ga na, dat `M(3, 2)` het midden van `AB` is.

Omdat `vec(AB) = ((4),(text(-)2))` is een richtingsvector van de middelloodlijn `((2),(4))` .

Dus een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((3),(2)) + t*((2),(4))` .

En een vergelijking is `y=2x-4` .

Omdat `vec(AB) = ((4),(text(-)2))` is een richtingsvector van de hoogtelijn `((2),(4))` .

Dus een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((3),(5)) + p*((2),(4))` .

En een vergelijking is `y=2x-1` .

Ga na, dat `N(4, 3)` het midden van `BC` is.

Dus een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((1),(3)) + q*((3),(0))` .

En een vergelijking is `y=3` .

Ga na, dat `P(2, 4)` het midden van `AC` is.

Dus een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((2),(4)) + r*((text(-)3),(3))` .

En een vergelijking is `y=text(-)x+5` .

Een vectorvoorstelling is `m: ((x),(y)) = ((4),(2)) + t*((4),(3))` .

En een vergelijking is `m: y=3/4 x-1` .

`l` en `m` snijden: `x=4+4t` en `y=2+3t` invullen in `4x+3y=12` .
Dit geeft `t=text(-)0,4` en `S(2,4; 0,8)` .
De gevraagde afstand is `|AS|=sqrt((4-2,4)^2+(2-0,8)^2)=2` .

De afstand tussen de twee snijpunten van die lijnen met een loodlijn van beide lijnen.

Kies op (bijvoorbeeld) `k` een punt `P` en bereken de afstand van `P` tot `l` . (Dus maak een loodlijn door `P` op `l` en snijdt die loodlijn met `l` . Bereken tenslotte de afstand van `P` tot dat snijpunt.)

Een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((1),(7)) + t*((2),(text(-)5))` .

Werk `t` werk uit `x=1+2t` en `y=7-5t` : `y=7-5(0,5x-0,5)` geeft `y=text(-)2,5x+9,5` of `5x+2y=19` .

Een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((1),(1)) + t*((2),(4))` .

Werk `t` werk uit `x=1+2t` en `y=1+4t` : `y=1+4(0,5x-0,5)` geeft `y=2x-1` of `2x-y=1` .

Snijden van `y=text(-)2,5x+9,5` en `y=2x-1` geeft `text(-)2,5x+9,5=2x-1` en `x=7/3` . En hiermee vind je de coördinaten van `Z` die je in het voorbeeld ziet.

Een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((5),(3)) + t*((text(-)4),(1))` .

Werk `t` werk uit `x=5-4t` en `y=3+t` : `x=5-4(y-3)` geeft `x=text(-)4y+17` of `x+4y=17` .

Vul hier de coördinaten van `Z` in en je krijgt `7/3 + 4*11/3 = 51/3 = 17` , dus dit klopt.

`text(-)2x+8=4` geeft `x=2` .

De middelloodlijn van `BC` gaat door het midden van `BC` , dus door `E(3, 5)` .

Een richtingsvector van deze middelloodlijn is de normaalvector van `vec(BC) = ((text(-)4),(4))` , dus `((4),(4))` .

Een vectorvoorstelling van de middelloodlijn is `((x),(y)) = ((3),(5)) + p*((4),(4))` .

Een vergelijking ervan is `y=x+2` .

Vul hier de coördinaten van `M` in en je krijgt `4=1*2+2` , dus dit klopt.

Deze hoogtelijn staat loodrecht op `vec(AB)=((4),(2))` en heeft daarom richtingsvector `((2),(text(-)4))` .

Vectorvoorstelling hoogtelijn: `((x),(y))=((1),(7))+t*((2),(text(-)4))` .

Vergelijking hoogtelijn: `y=text(-)2x+9` .

Vergelijking hoogtelijn door `B` : `y=3` .

Vergelijking hoogtelijn door `A` : `y=x` .

Hun snijpunt is `H(3, 3)` en dat punt voldoet ook aan `y-text(-)2x+9` .

De zwaartelijn gaat door `C(0, 6)` en het punt `(1, 1)` , het midden van `AB` .

Vergelijking `y = text(-)5x + 6` .

`vec(AB) = ((6),(2))` met normaalvector `((2),(text(-)6))` of ook `((1),(text(-)3))` .

Hoogtelijn door `C` : `((x),(y))=((0),(6))+p*((1),(text(-)3))` .

Vergelijking hoogtelijn door `C` : `y = text(-)3x + 6` .

De middelloodlijn gaat door `(1, 1)` en heeft richtingscoëfficiënt `text(-)3` .

Vergelijking middelloodlijn van `AB` : `y = text(-)3x + 4` .

Hoogtelijn door `C` snijden met lijn `AB: y = 1/3 x + 2/3` .

`1/3 x + 2/3 = text(-)5x + 6` geeft `x=1` , dus snijpunt `(1, 1)` .

De gevraagde afstand is `sqrt((0-1)^2+(6-1)^2)=sqrt(26)` .

De kortste afstand wordt bereikt als het punt op het snijpunt van lijn `AB` en zijn loodlijn door `O(0, 0)` zit.

`AB: ((x),(y))=((0),(10))+t*((2),(text(-)1))` en loodlijn door `O` : `((x),(y))=p*((1),(2))` .

Snijden: `{(2t=p),(10-t=2p):}` geeft `t=2` s.

Het snijpunt van lijn `AB` en zijn loodlijn door `O(0, 0)` is `S(4, 8)` .

De gevraagde afstand is `|OS|=sqrt(4^2+8^2)=sqrt(80)` .

`P` begint op `t=0` in `(10, 5)` met richtingsvector `((1),(2))` .

Dus geldt voor `P` : `x=10+t` en `y=5+2t` .

Voor `A` geldt: `x=2t` en `y=10-t` .

De afstand `|AP|=sqrt((10+t-2t)^2+(5+2t-(10-t))^2) = sqrt(10t^2-50t+125)` .

Deze afstand is minimaal als `f(p)=10t^2-50t+125` minimaal is. Dit minimum zit bij `t=50/(2*10)=2,5` .

De kleinste onderlinge afstand is `sqrt(62,5)~~7,91` .

De zwaartelijn door `C` gaat door `(1, 0)` en heeft dus vergelijking `y=text(-)8x+8` .

De zwaartelijn door `A` gaat door `(3, 4)` en heeft dus vectorvoorstelling `((x),(y))=((text(-)4),(0))+p*((7),(4))` .

Beide lijnen snijden: `4p = text(-)8(text(-)4+7p) + 8` geeft `p=2/3` .

Het zwaartepunt is dus `Z(2/3, 8/3)` .

De middelloodlijn van `AB` heeft vergelijking `x=2` .

De middelloodlijn van `BC` gaat door `(3, 4)` en heeft richtingsvector `((3),(4))` . De vectorvoorstelling van deze middelloodlijn is daarom `((x),(y))=((3),(4))+r*((3),(4))` .

Beide lijnen snijden: `3+3r=2` geeft `r=text(-) 1/3` .

Het middelpunt is dus `M(2, 8/3)` .

De middelloodlijn van `AB` gaat door `M(3, 1)` en heeft richtingsvector `((1),(3))` .

De middelloodlijn van `AB` is `m: ((x),(y))=((3),(1))+p*((1),(3))` .

`P` is het snijpunt van `l` en `m` .

`3(3+p)+4(1+3p)=24` geeft `p=11/15` , dus `P(44/15, 48/15)` .

Die afstand is `|PM|=sqrt((3-44/15)^2+(1-48/15)^2)=sqrt(218/45)~~4,84` .

Dit punt legt in `4` seconden de vector `((2),(text(-)1))` af, dus per seconde de vector `((0{:,:}5),(text(-)0{:,:}25))` .

Vectorvoorstelling: `((x),(y))=((0),(5))+t*((0{:,:}5),(text(-)0{:,:}25))` .

Gebruik het inproduct van beide richtingsvectoren.

`((1),(0{:,:}25))*((0{:,:}5),(text(-)0{:,:}25)) = 7/16 = sqrt(1 1/16)*sqrt(5/16)*cos(varphi)` geeft `varphi~~41^@` .

Voor `A` geldt `x=t` en `y=0,25t` .

Voor `B` geldt `x=0,5t` en `y=5-0,25t` .

Hun onderlinge afstand is `|AB| = sqrt((t-0,5t)^2+(0,25t-(5-0,25t))^2) = sqrt(0,5t^2-5t+25)` .

`f(t)=0,5t^2-5t+25` is minimaal als `t=5/(2*0,5)=5` .

Dus is de kleinste onderlinge afstand `sqrt(12,5)` .

Punt `B` doorloopt de baan `((x),(y))=((0),(5))+t*((0{:,:}5),(text(-)0{:,:}25))` .

Deze baan passeert `PQ: ((x),(y))=((3),(5))+p*((1),(text(-)2))` als:

`{(0{:,:}5t=3+p),(5-0{:,:}25t=5-2p):}` en dit geeft `t=8` .

Deze baan passeert `QR: ((x),(y))=((5),(5))+p*((0),(1))` als:

`{(0{:,:}5t=5),(5-0{:,:}25t=5+pp):}` en dit geeft `t=10` .

Dus `B` bevindt zich `2` seconden op het grasveld.

De middelloodlijn van `QR` is `y=3` .

Punt `A` passeert deze lijn als `0,25t=3` , dus als `t=12` s.

Punt `B` passeert deze lijn als `5-0,25t=3` , dus als `t=8` s.

Het tijdsverschil is `4` seconden.

`3x-2y=5`

`M(4; 3,5)`

`Z(8/3, 4/3)`