Neem `x=3t` , dan is `6t+3y=6` en dus `y=2-2t` .
Een vectorvoorstelling van `l` is daarom `((x),(y)) = ((0),(2)) + t*((3),(text(-)2))` .
`((3),(text(-)2))*((2),(3)) = 3*2 + 2*text(-)3 = 0` , dus `cos(varphi) = 0` en `varphi = 90^@` .
Een lijn door `A` en loodrecht `l` is `m: ((x),(y)) = ((3),(4)) + p*((2),(3))` .
Het snijpunt van `l` en `m` bereken je door `x=3+2p` en `y=4+3p` in de vergelijking van `l` in te vullen. Je vindt dan `2(3+2p)+3(4+3p)=6` en dus `p=text(-) 12/13` , zodat het snijpunt is `S(15/13, 16/13)` .
De gevraagde afstand is `|AS| = sqrt((3-15/13)^2 + (4-16/13)^2) ~~ 3,33` . (Controleer dit met de applet.)
`((a),(b))*((text(-)b),(a)) = 0` , dus voor de hoek `varphi` tussen deze vectoren geldt: `cos(varphi)=0` en dus `varphi=90^@` .
Alleen de vector `((b),(text(-)a))` staat ook loodrecht op `((a),(b))` .
Alleen de vector `((2b),(text(-)2a))` staat ook loodrecht op `((a),(b))` .
Bijvoorbeeld `((x),(y)) = ((1),(2)) + t*((3),(text(-)1))` .
Bijvoorbeeld `((x),(y)) = ((3),(4)) + p*((1),(3))` .
Bereken eerst het snijpunt `S` van beide lijnen. Dat kan bijvoorbeeld door op te lossen:
`{(1+3t=3+p),(2-t=4+3p):}`
Dit geeft `p=text(-)0,8` en `t=0,4` en dus als snijpunt `S(2,2; 1,6)` .
De afstand van `C` tot `S` (en dus tot lijn `AB` ) is `sqrt((3-2,2)^2 + (4-1,6)^2) ~~ 2,53` .
Ga na, dat `M(3, 2)` het midden van `AB` is.
Omdat `vec(AB) = ((4),(text(-)2))` is een richtingsvector van de middelloodlijn `((2),(4))` .
Dus een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((3),(2)) + t*((2),(4))` .
En een vergelijking is `y=2x-4` .
Omdat `vec(AB) = ((4),(text(-)2))` is een richtingsvector van de hoogtelijn `((2),(4))` .
Dus een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((3),(5)) + p*((2),(4))` .
En een vergelijking is `y=2x-1` .
Ga na, dat `N(4, 3)` het midden van `BC` is.
Dus een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((1),(3)) + q*((3),(0))` .
En een vergelijking is `y=3` .
Ga na, dat `P(2, 4)` het midden van `AC` is.
Dus een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((2),(4)) + r*((text(-)3),(3))` .
En een vergelijking is `y=text(-)x+5` .
Een vectorvoorstelling is `m: ((x),(y)) = ((4),(2)) + t*((4),(3))` .
En een vergelijking is `m: y=3/4 x-1` .
`l`
en
`m`
snijden:
`x=4+4t`
en
`y=2+3t`
invullen in
`4x+3y=12`
.
Dit geeft
`t=text(-)0,4`
en
`S(2,4; 0,8)`
.
De gevraagde afstand is
`|AS|=sqrt((4-2,4)^2+(2-0,8)^2)=2`
.
De afstand tussen de twee snijpunten van die lijnen met een loodlijn van beide lijnen.
Kies op (bijvoorbeeld) `k` een punt `P` en bereken de afstand van `P` tot `l` . (Dus maak een loodlijn door `P` op `l` en snijdt die loodlijn met `l` . Bereken tenslotte de afstand van `P` tot dat snijpunt.)
Een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((1),(7)) + t*((2),(text(-)5))` .
Werk `t` werk uit `x=1+2t` en `y=7-5t` : `y=7-5(0,5x-0,5)` geeft `y=text(-)2,5x+9,5` of `5x+2y=19` .
Een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((1),(1)) + t*((2),(4))` .
Werk `t` werk uit `x=1+2t` en `y=1+4t` : `y=1+4(0,5x-0,5)` geeft `y=2x-1` of `2x-y=1` .
Snijden van `y=text(-)2,5x+9,5` en `y=2x-1` geeft `text(-)2,5x+9,5=2x-1` en `x=7/3` . En hiermee vind je de coördinaten van `Z` die je in het voorbeeld ziet.
Een vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((5),(3)) + t*((text(-)4),(1))` .
Werk `t` werk uit `x=5-4t` en `y=3+t` : `x=5-4(y-3)` geeft `x=text(-)4y+17` of `x+4y=17` .
Vul hier de coördinaten van `Z` in en je krijgt `7/3 + 4*11/3 = 51/3 = 17` , dus dit klopt.
`text(-)2x+8=4` geeft `x=2` .
De middelloodlijn van `BC` gaat door het midden van `BC` , dus door `E(3, 5)` .
Een richtingsvector van deze middelloodlijn is de normaalvector van `vec(BC) = ((text(-)4),(4))` , dus `((4),(4))` .
Een vectorvoorstelling van de middelloodlijn is `((x),(y)) = ((3),(5)) + p*((4),(4))` .
Een vergelijking ervan is `y=x+2` .
Vul hier de coördinaten van `M` in en je krijgt `4=1*2+2` , dus dit klopt.
Deze hoogtelijn staat loodrecht op `vec(AB)=((4),(2))` en heeft daarom richtingsvector `((2),(text(-)4))` .
Vectorvoorstelling hoogtelijn: `((x),(y))=((1),(7))+t*((2),(text(-)4))` .
Vergelijking hoogtelijn: `y=text(-)2x+9` .
Vergelijking hoogtelijn door `B` : `y=3` .
Vergelijking hoogtelijn door `A` : `y=x` .
Hun snijpunt is `H(3, 3)` en dat punt voldoet ook aan `y-text(-)2x+9` .
Loodlijn door `P` op `l` heeft vectorvoorstelling `m: ((x),(y)) = ((5),(0)) + q*((1),(4))` .
Snijpunt `S` van `l` en `n` berekenen:
`{(5+4p=5+q),(10-p=4q):}` geeft `p=10/17` en `q=40/17` .
Dus `S(125/17, 160/17)` .
De gevraagde afstand is `|PS|=sqrt((5-125/17)^2+(0-160/17)^2)~~9,70` .
De zwaartelijn gaat door `C(0, 6)` en het punt `(1, 1)` , het midden van `AB` .
Vergelijking `y = text(-)5x + 6` .
`vec(AB) = ((6),(2))` met normaalvector `((2),(text(-)6))` of ook `((1),(text(-)3))` .
Hoogtelijn door `C` : `((x),(y))=((0),(6))+p*((1),(text(-)3))` .
Vergelijking hoogtelijn door `C` : `y = text(-)3x + 6` .
De middelloodlijn gaat door `(1, 1)` en heeft richtingscoëfficiënt `text(-)3` .
Vergelijking middelloodlijn van `AB` : `y = text(-)3x + 4` .
Hoogtelijn door `C` snijden met lijn `AB: y = 1/3 x + 2/3` .
`1/3 x + 2/3 = text(-)5x + 6` geeft `x=1` , dus snijpunt `(1, 1)` .
De gevraagde afstand is `sqrt((0-1)^2+(6-1)^2)=sqrt(26)` .
De kortste afstand wordt bereikt als het punt op het snijpunt van lijn `AB` en zijn loodlijn door `O(0, 0)` zit.
`AB: ((x),(y))=((0),(10))+t*((2),(text(-)1))` en loodlijn door `O` : `((x),(y))=p*((1),(2))` .
Snijden: `{(2t=p),(10-t=2p):}` geeft `t=2` s.
Het snijpunt van lijn `AB` en zijn loodlijn door `O(0, 0)` is `S(4, 8)` .
De gevraagde afstand is `|OS|=sqrt(4^2+8^2)=sqrt(80)` .
`P` begint op `t=0` in `(10, 5)` met richtingsvector `((1),(2))` .
Dus geldt voor `P` : `x=10+t` en `y=5+2t` .
Voor `A` geldt: `x=2t` en `y=10-t` .
De afstand `|AP|=sqrt((10+t-2t)^2+(5+2t-(10-t))^2) = sqrt(10t^2-50t+125)` .
Deze afstand is minimaal als `f(p)=10t^2-50t+125` minimaal is. Dit minimum zit bij `t=50/(2*10)=2,5` .
De kleinste onderlinge afstand is `sqrt(62,5)~~7,91` .
De zwaartelijn door `C` gaat door `(1, 0)` en heeft dus vergelijking `y=text(-)8x+8` .
De zwaartelijn door `A` gaat door `(3, 4)` en heeft dus vectorvoorstelling `((x),(y))=((text(-)4),(0))+p*((7),(4))` .
Beide lijnen snijden: `4p = text(-)8(text(-)4+7p) + 8` geeft `p=2/3` .
Het zwaartepunt is dus `Z(2/3, 8/3)` .
De middelloodlijn van `AB` heeft vergelijking `x=2` .
De middelloodlijn van `BC` gaat door `(3, 4)` en heeft richtingsvector `((3),(4))` . De vectorvoorstelling van deze middelloodlijn is daarom `((x),(y))=((3),(4))+r*((3),(4))` .
Beide lijnen snijden: `3+3r=2` geeft `r=text(-) 1/3` .
Het middelpunt is dus `M(2, 8/3)` .
De middelloodlijn van `AB` gaat door `M(3, 1)` en heeft richtingsvector `((1),(3))` .
De middelloodlijn van `AB` is `m: ((x),(y))=((3),(1))+p*((1),(3))` .
`P` is het snijpunt van `l` en `m` .
`3(3+p)+4(1+3p)=24` geeft `p=11/15` , dus `P(44/15, 48/15)` .
Die afstand is `|PM|=sqrt((3-44/15)^2+(1-48/15)^2)=sqrt(218/45)~~4,84` .
Dit punt legt in `4` seconden de vector `((2),(text(-)1))` af, dus per seconde de vector `((0{:,:}5),(text(-)0{:,:}25))` .
Vectorvoorstelling: `((x),(y))=((0),(5))+t*((0{:,:}5),(text(-)0{:,:}25))` .
Gebruik het inproduct van beide richtingsvectoren.
`((1),(0{:,:}25))*((0{:,:}5),(text(-)0{:,:}25)) = 7/16 = sqrt(1 1/16)*sqrt(5/16)*cos(varphi)` geeft `varphi~~41^@` .
Voor `A` geldt `x=t` en `y=0,25t` .
Voor `B` geldt `x=0,5t` en `y=5-0,25t` .
Hun onderlinge afstand is `|AB| = sqrt((t-0,5t)^2+(0,25t-(5-0,25t))^2) = sqrt(0,5t^2-5t+25)` .
`f(t)=0,5t^2-5t+25` is minimaal als `t=5/(2*0,5)=5` .
Dus is de kleinste onderlinge afstand `sqrt(12,5)` .
Punt `B` doorloopt de baan `((x),(y))=((0),(5))+t*((0{:,:}5),(text(-)0{:,:}25))` .
Deze baan passeert `PQ: ((x),(y))=((3),(5))+p*((1),(text(-)2))` als:
`{(0{:,:}5t=3+p),(5-0{:,:}25t=5-2p):}` en dit geeft `t=8` .
Deze baan passeert `QR: ((x),(y))=((5),(5))+p*((0),(1))` als:
`{(0{:,:}5t=5),(5-0{:,:}25t=5+pp):}` en dit geeft `t=10` .
Dus `B` bevindt zich `2` seconden op het grasveld.
De middelloodlijn van `QR` is `y=3` .
Punt `A` passeert deze lijn als `0,25t=3` , dus als `t=12` s.
Punt `B` passeert deze lijn als `5-0,25t=3` , dus als `t=8` s.
Het tijdsverschil is `4` seconden.
Ongeveer `1,70` .
`3x-2y=5`
`M(4; 3,5)`
`Z(8/3, 4/3)`