Algebra > Haakjes
1234567Haakjes

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De oppervlakte van een rechthoek van 2 bij 3 + 7 is 2 ( 3 + 7 ) .
Diezelfde rechthoek is te verdelen in twee kleinere, één met een oppervlakte van 2 3 en één met een oppervlakte van 2 7 .
Beide oppervlaktes zijn uiteraard hetzelfde.

b

Maak een rechthoek van 2 bij 7, waar een rechthoek van 2 bij 3 overheen ligt (met drie zijden op de zijden van de rechthoek van 2 bij 7). Redeneer nu ook met oppervlaktes.

c

Doen.

Opgave V2
a

De oppervlakte van een rechthoek van 2 + 5 bij 3 + 7 is ( 2 + 5 ) ( 3 + 7 ) = 2 3 + 2 7 + 5 3 + 5 7 .
Diezelfde rechthoek is te verdelen in vier kleinere, oppervlaktes van 2 3 , 2 7 , 5 3 en 5 7 .
Beide oppervlaktes zijn uiteraard hetzelfde.

b

Maak een rechthoek van 5 bij 7, waar een rechthoek van 2 bij 3 overheen ligt (met twee zijden op de zijden van de rechthoek van 5 bij 7). Redeneer weer met oppervlaktes. Denk er om dat de twee rechthoeken van 2 7 en 5 3 elkaar overlappen!

c

Doen.

Opgave 1
a

Doen.

b

Doen.

c

x ( 2 x + 3 ) = 2 x 2 + 3 x

d

x ( 2 x - 3 ) = x ( 2 x + - 3 ) = 2 x 2 + - 3 x = 2 x 2 - 3 x

e

( x + 5 ) ( 2 x - 3 ) = 2 x 2 - 3 x + 10 x - 15 = 2 x 2 + 7 x - 15

f

- ( x - 3 ) = - 1 ( x - 3 ) = - 1 x - - 1 3 = - x + 3

Opgave 2
a

5 ( a + 2 b ) = 5 a + 10 b

b

5 a ( a - 2 b ) = 5 a 2 - 10 a b

c

( x + 4 ) ( x + 5 ) = x 2 + 9 x + 20

d

( 2 x - 4 ) ( x - 5 ) = 2 x 2 - 14 x + 20

e

3 ( 2 p + 4 ) + 5 ( 4 - p ) = 6 p + 12 + 20 - 5 p = p + 32

f

3 ( 2 p + 4 ) - ( 4 - p ) = 6 p + 12 - 4 + p = 7 p + 8

Opgave 3
a

De grootste gemeenschappelijke deler van beide termen is 3.
De ontbinding wordt daarom: 6 x + 9 = 3 2 x + 3 3 = 3 ( 2 x + 3 ) = 3 ( 2 x + 3 ) .

b

De grootste gemeenschappelijke deler van beide termen is 2 x.
De ontbinding wordt daarom: 8 x - 6 x 2 = 2 x 4 - 2 x 3 x = 2 x ( 4 - 3 x ) .

c

De grootste gemeenschappelijke deler van alle termen is 2.
De ontbinding wordt daarom: 2 x 2 - 6 x + 12 = 2 x - 2 2 3 x + 2 6 = 2 ( x 2 - 3 x + 6 ) .

d

Nee, er is geen grootste gemeenschappelijke deler van alle termen, dus ontbinden door die grootste gemeenschappelijke deler buiten haakjes te halen lukt hier niet. (Nou ja, je kunt een 1 buiten haakjes halen, maar dat is wel erg flauw.)
Je kunt laten zien dat x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3 ) door rechts van het isgelijkteken de haakjes uit te werken, of door een rechthoek te tekenen van x + 2 bij x + 3 .

Opgave 4
a

2 x + 3 ( 4 - x ) = 2 x + 12 - 3 x = - x + 12

b

( 2 k + 3 ) ( k + 4 ) = 2 k 2 + 8 k + 3 k + 12 = 2 k 2 + 11 k + 12

c

4 x ( x - y + 5 ) = 4 x 2 - 4 x y + 20 x

d

3 ( 2 x - 1 ) ( 4 - x ) = 3 ( 8 x - 2 x 2 - 4 + x ) = 3 ( - 2 x 2 + 9 x - 4 ) = - 6 x 2 + 27 x - 12

e

2 ( x 2 - 3 x ) - x ( 2 - x ) = 2 x 2 - 6 x - 2 x + x 2 = 3 x 2 - 8 x

f

( 6 - p ) - p + 2 ( p - 3 ) = - 6 p + p 2 + 2 p - 6 = p 2 - 4 p - 6

Opgave 5
a

( a + b ) ( a - b ) = a a - a b + a b - b b = a 2 - b 2

b

( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a a + a b + a b + b b = a 2 + 2 a b + b 2

c

( k - 5 ) ( k + 5 ) = k 2 - 25

d

( x + 10 ) 2 = x 2 + 20 x + 100

e

( 3 p + 1 ) ( 1 - 3 p ) = 1 - 9 p 2

f

( 2 x - 3 ) 2 = 4 x 2 - 12 x + 9

g

( a + 2 ) 2 - ( a - 2 ) 2 = a 2 + 4 a + 4 - ( a 2 - 4 a + 4 ) = 8 a

h

x ( 5 x - 4 ) - ( x - 2 ) ( x + 2 ) = 5 x 2 - 4 x - ( x 2 - 4 ) = 4 x 2 - 4 x + 4

Opgave 6
a

x ( x + 1 )

b

1 x + 1 x + 1 = x + 1 x ( x + 1 ) + x x ( x + 1 ) = 2 x + 1 x ( x + 1 )

c

1 x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x 2 + x

Opgave 7
a

Ja, je kunt altijd zelf kiezen hoe je met mintekens omgaat. Soms ziet het er "mooier" uit als je ze buiten haakjes haalt, soms ook niet.

b

Door bij de gevonden uitdrukking met haakjes de haakjes weer uit te werken. Ga dat bij de ontbindingen in het voorbeeld zelf na.

Opgave 8
a

6 x + 8 y = 2 3 x + 2 4 y = 2 ( 3 x + 4 y )

b

14 k 2 - 21 k = 7 k 2 k - 7 k 3 = 7 k ( 2 k - 3 )

c

- 4 x y - 12 y 2 + 6 y = - 2 y ( 2 x + 6 y - 3 )

d

p 2 - p = p ( p - 1 )

e

3 a 2 + 16 a b = a ( 3 a + 16 b )

f

- 12 x 2 - 6 x + 18 = - 6 ( 2 x 2 + x - 3 )

Opgave 9
a

De grootste gemeenschappelijke deler van alle drie de termen is 1 en dat getal buiten haakjes halen is zinloos, het maakt de uitdrukking alleen ingewikkelder.

b

2 en 4.

c

x 2 + 6 x + 8 = ( x + 2 ) ( x + 4 )
Nu nog controleren door weer wegwerken.

d

Zo bijvoorbeeld:

product getallen som
8 8 en 1 - 9
8 - 8 en - 1 - 9
8 2 en 4 6
8 - 2 en - 4 - 6

De ontbinding wordt:

Opgave 10
a

x 2 + 7 x + 12 = ( x + 3 ) ( x + 4 )

b

x 2 + 12 x + 20 = ( x + 2 ) ( x + 10 )

c

x 2 + 13 x + 12 = ( x + 1 ) ( x + 12 )

d

x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1 ) ( x + 1 ) = ( x + 1 ) 2

e

x 2 - 19 x + 90 = ( x - 9 ) ( x - 10 )

f

x 2 + 18 x - 40 = ( x + 20 ) ( x - 2 )

Opgave 11
a

x 2 - 7 x + 12 = ( x - 3 ) ( x - 4 )

b

x 2 + 2 x - 48 = ( x + 8 ) ( x - 6 )

c

x 2 - 9 = ( x + 3 ) ( x - 3 )

d

x 2 - 9 x = x ( x - 9 )

e

2 x 2 + 16 x + 24 = 2 ( x 2 + 8 x + 12 ) = 2 ( x + 2 ) ( x + 6 )

f

3 x 2 - 48 = 3 ( x 2 - 16 ) = 3 ( x - 4 ) ( x + 4 )

Opgave 12
a

2 x ( x + 5 ) = 2 x 2 + 10 x

b

2 x - ( x + 5 ) = x - 5

c

( 2 x - 1 ) ( x + 5 ) = 2 x 2 + 9 x - 5

d

3 ( 2 x - 1 ) - 4 ( x + 5 ) = 2 x - 23

e

( x + 5 ) 2 = x 2 + 10 x + 25

f

( 2 x - 1 ) 2 - ( x - 5 ) ( x + 5 ) = 3 x 2 - 4 x + 26

g

( 2 x + y ) ( y + 5 ) + 2 x ( 5 - y ) = y 2 + 20 x + 5 y

h

( 2 x + y ) 2 - ( y + 5 ) 2 = 4 x 2 + 4 x y - 10 y - 25

Opgave 13
a

2 a - 2 + 3 a = 2 a a ( a - 2 ) + 3 ( a - 2 ) a ( a - 2 ) = 5 a - 6 a 2 - 2 a

b

3 a - 2 + 2 a + 2 = 3 ( a + 2 ) ( a - 2 ) ( a + 2 ) + 2 ( a - 2 ) ( a - 2 ) ( a + 2 ) = 5 a + 2 a 2 - 4

Opgave 14
a

14 x + 21 y = 7 ( 2 x + 3 y )

b

3 p 2 - 6 p q = 3 p ( p - 2 q )

c

- 4 a 2 b - 4 a b = - 4 a b ( a + 1 )

d

p 3 - 3 p 2 - p = p ( p 2 - 3 p - 1 )

Opgave 15
a

x 2 + 17 x + 30 = ( x + 2 ) ( x + 15 )

b

x 2 - x - 12 = ( x - 4 ) ( x + 3 )

c

16 - 10 x + x 2 = x 2 - 10 x + 16 = ( x - 2 ) ( x - 8 )

d

k 2 - 100 = ( k - 10 ) ( k + 10 )

Opgave 16
a

12 a 2 - 8 a = 4 a ( 3 a - 2 )

b

6 p - 16 + p 2 = ( p + 8 ) ( p - 2 )

c

1 2 k 2 - 8 = 1 2 ( k 2 - 16 ) = 1 2 ( k - 4 ) ( k + 4 )

d

3 x 2 - 6 x - 9 = 3 ( x - 3 ) ( x + 1 )

e

- 4 p q + 8 p q 2 = - 4 p q ( 1 - 2 q )

f

8 x - 16 - x 2 = - ( x 2 - 8 x + 16 ) = - ( x - 4 ) 2

Opgave 17

Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.

Opgave A1
a

x 2 m2.

b

De breedte wordt x - 3 m en de lengte wordt x + 3 m.

c

Na aanleg van het fietspad wordt de oppervlakte ( x + 3 ) ( x - 3 ) = x 2 - 9 m2.

d

De boer raakt 9 m2 land kwijt.

Opgave A2
a

m2.

b

Als , dus als .
Dat geeft .

Opgave T1
a

b

c

d

Opgave T2
a

b

c

d

verder | terug