Algebra

Algebra > Wortels

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

$\sqrt{10}$ en dat is ongeveer $3,16$ .

De oppervlakte van het vierkant is $40$ en dus is elke zijde $\sqrt{40}$ . Maar elke zijde is ook $2 \sqrt{10}$ .

De oppervlakte van deze rechthoek is $\sqrt{40} \cdot \sqrt{10}$ en die oppervlakte is ook $20 = \sqrt{400}$ roosterhokjes.

Dit is de omtrek van rechthoek $A E F D$ op twee manieren opgeschreven.

Opgave V2

$\sqrt[3]{10}$ en dat is ongeveer $2,15$ .

De inhoud van de kubus is $80$ en dus is elke zijde $\sqrt[3]{80}$ . Maar elke zijde is ook $2 \cdot \sqrt[3]{10}$ .

De inhoud van deze balk is $\sqrt[3]{80} \cdot \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{10}$ en die inhoud is ook $20 = \sqrt[3]{8000}$ .

Opgave 1

$\sqrt[3]{64} = 4$ , want $4^{3} = 64$ .

$\sqrt[3]{- 343} = - 7$ , want ${(- 7)}^{3} = - 343$ .

$\sqrt[4]{16} = 2$ , want $2^{4} = 16$ .

$\sqrt[4]{- 16}$ bestaat niet, want er is geen getal waarvan de vierde macht $- 16$ is.

$\sqrt[5]{243} = 3$ , want $3^{5} = 243$ .

Opgave 2

Omdat hij hoort bij het terugrekenen vanuit een kwadraat, dus een tweede macht.

Als je bijvoorbeeld $a = -2$ neemt, dan zou $\sqrt{4} = -2$ en dan krijg je de vervelende situatie dat een vierkant met oppervlakte $4$ een zijde van $-2$ zou kunnen hebben.

$5 \sqrt{15} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = 5 \sqrt{15} - \sqrt{15} = 4 \sqrt{15}$

$\frac{4 \sqrt{42}}{2 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = 2 \sqrt{14} + 2 \sqrt{14} = 4 \sqrt{14}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4 \sqrt{3}$

Opgave 3

Omdat derde machten ook negatief kunnen zijn. Bijvoorbeeld $\sqrt[3]{-64} = -4$ omdat ${(-4)}^{3} = -64$ .

$\sqrt[3]{a^{6}} = \sqrt[3]{a^{3}} \cdot \sqrt[3]{a^{3}} = a \cdot a = a^{2}$

$5 \cdot \sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} = 5 \cdot \sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{15} = 4 \cdot \sqrt[3]{15}$

$\frac{4 \sqrt[3]{42}}{2 \sqrt[3]{3}} + 2 \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{7} = 2 \sqrt[3]{14} + 2 \sqrt[3]{14} = 4 \sqrt[3]{14}$

$\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64 \cdot 2} = 4 \sqrt[3]{2}$

Opgave 4

$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} - \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$

$\sqrt{128} + 2 \sqrt{98} = \sqrt{64 \cdot 2} + 2 \sqrt{49 \cdot 2} = 8 \sqrt{2} + 14 \sqrt{2} = 22 \sqrt{2}$

$6 \sqrt{15 a^{2}} - \sqrt{15 a^{2}} = 5 \sqrt{15 a^{2}} = 5 a \sqrt{15}$ (met `a ge 0` )

$3 \sqrt{a^{2} b} - a \sqrt{b} + \sqrt{2 b^{2}} = 3 a \sqrt{b} - a \sqrt{b} + b \sqrt{2} = 2 a \sqrt{b} + b \sqrt{2}$

$\sqrt[3]{108} - 2 \sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} - 2 \sqrt[3]{8 \cdot 4} = 3 \sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4} = - \sqrt[3]{4}$

$\sqrt[3]{72 a^{3}} - \sqrt[3]{3 a} \cdot \sqrt[3]{3 a^{2}} = \sqrt[3]{8 a^{3} \cdot 9} - \sqrt[3]{a^{3} \cdot 9} = 2 a \sqrt[3]{9} - a \sqrt[3]{9} = a \sqrt[3]{9}$

Opgave 5

Volgens de stelling van Pythagoras is de hypothenusa $\sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{4^{2} \cdot 2} = 4 \sqrt{2}$ .

Volgens de stelling van Pythagoras is de hypothenusa $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2 a^{2}} = \sqrt{a^{2} \cdot 2} = a \sqrt{2}$ .

Elke zijde van de gelijkzijdige driehoek heeft een lengte van $2 \cdot 4 = 8$ en met de stelling van Pythagoras vind je dan voor de langste rechthoekszijde $\sqrt{{(2 \cdot 4)}^{2} - 4^{2}} = \sqrt{3 \cdot 4^{2}} = 4 \sqrt{3}$ .

Elke zijde van de gelijkzijdige driehoek heeft een lengte van $2 a$ en met de stelling van Pythagoras vind je dan voor de langste rechthoekszijde $\sqrt{{(2 a)}^{2} - a^{2}} = \sqrt{3 a^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Opgave 6

Elk zijvlak is een vierkant van $4$ bij $4$ , dus een diagonaal is $\sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{4^{2} \cdot 2} = 4 \sqrt{2}$ .

Elk zijvlak is een vierkant van $a$ bij $a$ , dus een diagonaal is $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2 a^{2}} = \sqrt{a^{2} \cdot 2} = a \sqrt{2}$ .

Elk zijvlaksdiagonaal heeft een lengte van $4 \sqrt{2}$ dus een lichaamsdiagonaal is $\sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{2 \cdot 4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{3 \cdot 4^{2}} = 4 \sqrt{3}$ .

Elk zijvlaksdiagonaal heeft een lengte van $a \sqrt{2}$ dus een lichaamsdiagonaal is $\sqrt{{(a \sqrt{2})}^{2} + a^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + a^{2}} = \sqrt{3 a^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Opgave 7

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \frac{5}{2 \sqrt{10}} = \sqrt{10} + \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{2 \sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \sqrt{10} + \frac{5 \sqrt{10}}{20} = \sqrt{10} + 0,25 \sqrt{10} = 1,25 \sqrt{10}$

$\frac{2 p}{\sqrt{p}} - \sqrt{\frac{1}{4} p} = \frac{2 p \cdot \sqrt{p}}{\sqrt{p} \cdot \sqrt{p}} - \frac{1}{2} \sqrt{p} = \frac{2 p \sqrt{p}}{p} - \frac{1}{2} \sqrt{p} = 2 \sqrt{p} - \frac{1}{2} \sqrt{p} = 1 \frac{1}{2} \sqrt{p}$

$k \sqrt{\frac{4}{k}} + \sqrt{\frac{k}{4}} = k \cdot \frac{2}{\sqrt{k}} + \frac{\sqrt{k}}{2} = \frac{2 k \cdot \sqrt{k}}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k}} + \frac{1}{2} \sqrt{k} = 2 \sqrt{k} + \frac{1}{2} \sqrt{k} = 2 \frac{1}{2} \sqrt{k}$

$\frac{2 x}{\sqrt[3]{x}} = \frac{2 x \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}} = \frac{2 x \sqrt[3]{x^{2}}}{x} = 2 \sqrt[3]{x^{2}}$

$\frac{a}{\sqrt[4]{a^{3}}} + \sqrt[4]{a} = \frac{a \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a^{3}} \cdot \sqrt[4]{a}} + \sqrt[4]{a} = \frac{a \sqrt[4]{a}}{a} + \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{a} = 2 \sqrt[4]{a}$

Opgave 8

De noemer wordt daardoor een geheel getal, want $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2$ .

Bij delen door $2$ houd je de helft van de wortel over.

$\frac{a}{\sqrt{a}} = \frac{a \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{a \cdot \sqrt{a}}{a} = \sqrt{a}$

Opgave 9

`sqrt(a^4) = sqrt(a^2*a^2) = a*a = a^2`

`sqrt(a^5) = sqrt(a^2*a^2*a) = a*a*sqrt(a) = a^2 sqrt(a)`

`sqrt(a^10) = sqrt(a^2*a^2*a^2*a^2*a^2) = a^5`

Opgave 10

$\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = 3 + \sqrt[3]{64} = 3 + 4 = 7$

$\sqrt{28} + 2 \sqrt{63} = 2 \sqrt{7} + 6 \sqrt{7} = 8 \sqrt{7}$

${(\sqrt{6} - 1)}^{2} = 6 - 2 \sqrt{6} + 1 = 7 - 2 \sqrt{6}$

${(\sqrt[4]{10})}^{8} = {(\sqrt[4]{10})}^{4} \cdot {(\sqrt[4]{10})}^{4} = 10 \cdot 10 = 100$

$\frac{10}{\sqrt{5}} - \sqrt{5} = \frac{10 \sqrt{5}}{5} - \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$

$\sqrt{\frac{3}{4}} + \sqrt{12} = \frac{1}{2} \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 2 \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} (2 + \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})} = \frac{2 \sqrt{5} + 5}{-1} = -2 \sqrt{5} - 5$

$\frac{2}{\sqrt[3]{4}} - \sqrt[3]{2} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{16}}{4} - \sqrt[3]{2} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{8 \cdot 2} - \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} = 0$

Opgave 11

$\sqrt{\frac{3}{4} a^{2}} + \frac{1}{2} a \sqrt{3} = \frac{1}{2} a \sqrt{3} + \frac{1}{2} a \sqrt{3} = a \sqrt{3}$

$\frac{3 a^{2}}{\sqrt{a}} - a \sqrt{a} = 3 a \sqrt{a} - a \sqrt{a} = 2 a \sqrt{a}$

$\sqrt[4]{a^{2} b} \cdot \sqrt[4]{16 a^{2} b^{3}} = \sqrt[4]{16 a^{4} b^{4}} = 2 a b$

Opgave 12

Er zijn twee zijvlakken van $a$ bij $2 a$ cm. De vier bijbehorende zijvlaksdiagonalen zijn $\sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2}} = a \sqrt{5}$ cm.

Er zijn twee zijvlakken van $a$ bij $3 a$ cm. De vier bijbehorende zijvlaksdiagonalen zijn $\sqrt{a^{2} + {(3 a)}^{2}} = a \sqrt{10}$ cm.

Er zijn twee zijvlakken van $2 a$ bij $3 a$ cm. De vier bijbehorende zijvlaksdiagonalen zijn $\sqrt{{(2 a)}^{2} + {(3 a)}^{2}} = a \sqrt{13}$ cm.

$\sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2} + {(3 a)}^{2}} = a \sqrt{14}$

Opgave 13

Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.

Opgave A1

`sqrt(a^2 + a^2) = sqrt(2a^2) = sqrt(a^2 * 2) = a sqrt(2)` cm.

Nu is `a sqrt(2) = 16` , dus `a = 16/(sqrt(2)) = (16 sqrt(2))/2 = 8sqrt(2)` .

Dus de zijden zijn $8 \sqrt{2}$ , $8 \sqrt{2}$ en $16$ cm.

Nu is `2a = 10` , dus `a = 5` .

De zijden zijn $10$ , $5$ en $5 \sqrt{3}$ cm.

Nu is `a sqrt(3) = 12` , dus `a = 12/(sqrt(3)) = (12 sqrt(3))/3 = 4sqrt(3)` .

De zijden zijn dus `4 sqrt(3)` , `8 sqrt(3)` en `12` .

Opgave A2

Bereken alle zijden met behulp van de twee tekendriehoeken. Je vindt `a sqrt(3)` en twee keer `a sqrt(2)` . De totale omtrek is daarom `a + a sqrt(3) + 2a sqrt(2)` .

Opgave T1

`3a sqrt(a)`

`text(-)a sqrt(a)`

Opgave T2

`108p`

`5 sqrt(p)`

Opgave T3

`4 sqrt(3)` cm.

verder | terug