Vergelijkingen > Wortels in vergelijkingen
123456Wortels in vergelijkingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Ongeveer `3568*sqrt(25) = 17840` m en dat is ongeveer `17,8` km.

b

Je moet oplossen: `3568*sqrt(h) = 20000` .
Eerst delen: `sqrt(h) = 20000//3568 = 5,605...`
Kwadrateren: `h ~~ 31,4` m.

Opgave 1
a

`3568*sqrt(h) = 10000` geeft `sqrt(h) = 2,802...` en dus `h ~~ 7,86` m.

b

Nee, probeer maar een getallenvoorbeeld:
Als `h = 1` dan is `a = 3568` m.
Als `h = 2` dan is `a = 3568*sqrt(2)` , dus als `h` twee keer zo groot wordt, wordt `a` met `sqrt(2)` vermenigvuldigd.

Opgave 2
a

Je kunt beginnen met beide zijden door `3568` te delen, dan heb je de vorm `sqrt(h) = ...` gemaakt en kun je daarna kwadrateren.
Je kunt hier ook meteen kwadrateren.

b

Bijvoorbeeld zo:

`3568*sqrt(h)` `=` `1000*h`
beide zijden kwadrateren
`12730624*h` `=` `1000000*h^2`
op `0` herleiden
`1000000h^2 - 12730624*h` `=` `0`
ontbinden in factoren
`h(1000000h - 12730624)` `=` `0`
oplossing opschrijven
`h=0` `vv` `h = 12,730624 ~~ 12,7`

Dus bij ongeveer 12,7 m kun je `1000` keer je ooghoogte ver kijken.

Opgave 3
a

`4 + sqrt(2x) = 18` geeft `sqrt(2x) = 14` en `2x = 14^2 = 196` , dus `x = 196//2 = 98` .

b

`3*sqrt(15 + x^2) = 15` geeft `sqrt(15 + x^2) = 5` en `15 + x^2 = 25` , dus `x^2 = 10` en `x = +-sqrt(10)` .

c

`25/(sqrt(1 + x^2)) = 5` geeft `sqrt(1 + x^2) = 25//5 = 5` en `1 + x^2 = 25` , dus `x^2 = 24` en `x = +-sqrt(24)` .

Opgave 4
a

Omdat je bij direct kwadrateren aan de linkerzijde van het isgelijkteken `(4 + 2*sqrt(x))^2` krijgt en bij het wegwerken van de haakjes krijg je dan een drieterm die de vergelijking alleen maar ingewikkelder maakt.

b

`x=1` substitueren: `4 + 2*sqrt(1) = 2*1` geeft `6 = 2` en dat klopt niet.
`x=4` substitueren: `4 + 2*sqrt(4) = 2*4` geeft `8 = 8` en dat klopt wel.

c

Maak een tabel of gebruik GeoGebra of een GR.
De oplossing is de `x` -waarde van het snijpunt van beide grafieken.

Opgave 5
a

`4 + sqrt(2x) = 1/3 x + 5 1/3` geeft `sqrt(2x) = 1/3 x + 1 1/3` en `2x = (1/3 x + 4/3)^2` , dus `x^2 - 10x + 16 = 0` .
Door ontbinden vind je `x = 2 vv x = 8` . Beide voldoen.

b

`2 - sqrt(x) = x` geeft `sqrt(x) = 2 - x` en `x = (2 - x)^2` , dus `x^2 - 5x + 4 = 0` en `x = 1 vv x = 4` .
Alleen `x = 1` voldoet.

Opgave 6
a

`3 sqrt(x) = 14` geeft `sqrt(x) = 14/3` en `x = 196/9` .

b

`3 + sqrt(2x) = 14` geeft `sqrt(2x) = 11` en `2x = 121` , dus `x = 121/2 = 60,5` .

c

`x + sqrt(x) = 6` geeft `sqrt(x) = 6 - x` en `x = (6 - x)^2` , dus `x^2 - 13x + 36 = 0` .
Ontbinden geeft `x = 4 vv x = 9` . Alleen `x = 4` voldoet.

Opgave 7
a

Als je deze getallen in de formule invult komt er inderdaad `0` uit.

b

In het midden is `x = 0` .
Dit invullen in de formule geeft `h = 5` .
Dus `5` meter.

c

`sqrt(25 - x^2) = 4` geeft `25 - x^2 = 16` , ofwel `x^2 = 9` en `x = +-3` .
De vrachtauto's moeten maximaal minder dan `3` breed zijn.

Opgave 8

Je kunt bijvoorbeeld `BK = KV = x` m noemen.
Dan is `x = sqrt((15-x)^2 + 3^2)` .
Deze vergelijking kun je algebraïsch oplossen: `x^2 = 225 - 30x + x^2 + 9` geeft `30x = 234` en dus `x = 234/30 = 7,8` m.
De lengte van het pad is `2*7,8 = 15,6` m.

Opgave 9

Los op: `x + sqrt(8 - x^2) = 2x` .
Beide zijden `x` aftrekken geeft `sqrt(8 - x^2) = x` .
Kwadrateren geeft `8 - x^2 = x^2` en dus `2x^2 = 8` en `x = +-2` .
Het snijpunt is `(2, 4)` .

Opgave A1
a

`a` kun je berekenen met de stelling van Pythagoras in `∆MPR` . (Beredeneer eerst dat `∆MPR` rechthoekig is!)
Daarin is `MR=MQ` gelijk aan de straal van de aarde, dus `40000/ (2 π) ≈6366200` m.
En dus is: `a^2= (6366200 +h) ^2-6366200^2` .
Zodat: `a=sqrt( (6366200 +h) ^2-6366200^2)` .

Hieruit volgt: `a=sqrt( 12732400 h+h^2 )`

b

Omdat `h^2` heel veel kleiner is dan `12732400 h` kun je `h^2` verwaarlozen.

Dan is `a ~~ sqrt(12732400 h) ~~ 3568sqrt(h)` .

c

De straal van de maan is ongeveer `1738` km.
Nu wordt: `a=sqrt( (1738000 +h)^2 - 1738000^2) = sqrt( 3476000 h+h^2 )` .
Ook nu kun je dit benaderen door `a ~~ sqrt(3476000 h) ~~ 1864sqrt(h)` .

d

Minder ver, vergelijk beide formules maar.

Opgave T1
a

`x = 4 vv x = text(-)4` .

b

`x = 15 vv x = text(-)2` .

Opgave T2
a

De rivierbodem is `12` m breed.

b

`x = 0 vv x = root[3](16)` .

verder | terug