Er zijn drie proefwerken voor wiskunde A geweest die even zwaar tellen. Een leerling staat gemiddeld precies een . Er worden alleen gehele cijfers van tot en met voor de proefwerken gegeven. Deze kan tot stand komen door verschillende cijfercombinaties. Bijvoorbeeld: of . Bij deze opgave kijken we alleen maar naar het gemiddelde en is de volgorde waarin de cijfers behaald zijn niet van belang. De rijtjes , en zien we dus als één mogelijkheid.
Schrijf alle verschillende cijfercombinaties op die voor een gemiddelde van een 8 zorgen.
Hoe ben je te werk gegaan?
Bij een potje Scrabble heb je nog vijf letters over, drie E’s, een L en een D. Die vijf letters kun je op een aantal manieren op een rijtje leggen. Soms krijg je een echt woord (bijvoorbeeld EDELE), vaak ook niet. We willen graag weten hoeveel verschillende rijtjes je kunt maken. Bij zulke opgaven is het belangrijk dat je volgens een systeem je rijtjes maakt.
Doe dit en leg uit hoe je systeem werkt.
Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk?
Bij telproblemen - ook wel combinatoriek genoemd - moet je nauwkeurig en systematisch werken om het spoor niet bijster te raken. In de volgende opdrachten bedenk je telkens zelf een manier om het aantal mogelijkheden systematisch bij te houden.
In een vaas zitten drie briefjes: een briefje met het cijfer , één met het cijfer en een briefje met daarop een . Je trekt willekeurig een briefje uit de vaas en noteert het cijfer dat erop staat. Zonder het briefje terug te stoppen, pak je nog een briefje en noteren ook dat cijfer. Tenslotte noteer je het cijfer dat op het laatste briefje staat. Je krijgt zo een getal van drie cijfers, bijvoorbeeld .
Hoeveel -cijferige getallen zijn er mogelijk?
In een vaas zitten twee genummerde briefjes: één met het getal en één met het getal . Je haalt zonder te kijken een briefje uit de vaas en noteert het nummer dat erop staat. Daarna doe je het briefje terug in de vaas. Je herhaalt deze handeling nog drie keer. Je krijgt zo een getal van vier cijfers, bijvoorbeeld of .
Hoeveel getallen van vier cijfers zijn er mogelijk?
Vier vriendinnen (Anne, Beatrice, Cathy en Demi) moeten nog twee praktische opdrachten afronden: één voor wiskunde en één voor Nederlands. De vriendinnen besluiten tweetallen te vormen, zodat elk tweetal zich maar in één opdracht hoeft te verdiepen. Bijvoorbeeld: Anne en Cathy maken samen de wiskundeopdracht en Beatrice en Demi ronden de opdracht voor Nederlands af.
In hoeveel samenstellingen kunnen de vier vriendinnen de beide praktische opdrachten afronden?
Ines maakt een schilderij door een vierkant wit linnen doek in vier vlakken te verdelen en elk van deze vlakken een kleur te geven. Ze gebruikt de kleuren rood, geel en blauw. Ines kleurt twee vlakken rood omdat dit haar lievelingskleur is.
Hoeveel composities zijn er mogelijk?
Vier kinderen (Ebbe, Julia, Sarah en Nils) mogen samen een nachtje logeren bij hun grootmoeder. Oma heeft twee slaapkamers (één op zolder en één beneden) met elk vier bedden. Alle vier de kleinkinderen kunnen dus op één kamer slapen. Maar dat hoeft niet, de kinderen mogen er ook voor kiezen beide kamers te gebruiken. Bijvoorbeeld: Ebbe, Julia en Sarah slapen beneden en Nils slaapt boven op zolder.
Op hoeveel manieren kunnen de vier kleinkinderen zich over de twee slaapkamers verdelen?
Je hebt drie brieven (, en ) geschreven aan vrienden en hun adressen op drie enveloppen (, en ) gezet. Zonder ergens op te letten, stop je in elk van de enveloppen één brief.
Op hoeveel manieren kunnen de brieven over de enveloppen verdeeld worden?
Je hebt drie dezelfde brieven en vijf gekleurde enveloppen: een gele, een blauwe, een rode, een oranje en een paarse. Zonder ergens op te letten, stop je in drie enveloppen een brief. Bijvoorbeeld: één brief in de gele enveloppe, één brief in de blauwe enveloppe en de resterende brief in de paarse enveloppe.
Op hoeveel manieren kunnen de drie identieke brieven over de vijf gekleurde enveloppen verdeeld worden?
Bekijk nog eens opgave 3 en opgave 7. De oplosmethoden van de opgaven 3 en 7 lijken erg op elkaar. Als je in opgave 3 de positie van de D en de L weet, ligt het ‘woord’ vast. We beginnen met het leggen van de letter D; we hebben daarvoor mogelijkheden. Voor de letter L blijven dan nog posities over. In totaal zijn er rijtjes mogelijk.
Evenzo geldt dat de compositie van het schilderij vastligt als je de positie van het gele en het blauwe vlak weet (opgave 7). We starten met de kleur geel; we hebben vlakken die we geel kunnen verven. Voor de kleur blauw blijven dan nog vlakken over. In totaal zijn er composities mogelijk.
Noteer zelf ook een tweetal opgaven waarvan je de manier van oplossen op elkaar vindt lijken.
De amerikaans kunstenaar Sol LeWitt (1928-2007) wordt gezien als één van de grondleggers van conceptuele kunst en minimal art. LeWitt is onder andere bekend geworden om zijn muurtekeningen, waarvan exemplaren te zien zijn in het Kröller-Müller Museum en het Stedelijk Museum. In het werk van LeWitt nemen geometrische vormen en combinatorische thema’s een prominente plaats in, zoals in "Straight lines in four directions and all their possible combinations". Dit werk bestaat uit een rooster met in elke vierkant één of meerdere horizontale, verticale en diagonale lijnen (zie de linker figuur). Ga na waarom LeWitt aan vierkanten genoeg had.
Uit dit werk van LeWitt is een mooie puzzel voortgekomen. Toen de wiskundige en schrijver Barry Cipra het werk van LeWitt zag, werd hij geboeid door het lijnenspel. Cipra merkte op dat sommige diagonale lijnen doorlopen van een zijde van het kunstwerk naar een andere (zoals de rode lijn in de rechter figuur) terwijl alle horizontale en verticale lijnen worden onderbroken (zoals groene lijn in de rechter figuur). Cipra stelde zichzelf de volgende vraag:
Is het mogelijk de vierkantjes - zonder ze te draaien - te herschikken in het bij rooster zo, dat geen enkele horizontale, verticale of diagonale lijn wordt onderbroken?
Het antwoord op deze uitdagende vraag is ja en jij kunt een oplossing vinden. Er zijn
zelfs meerdere oplossingen mogelijk! Probeer maar eens. Misschien kun je zelfs een
verband vinden tussen verschillende oplossingen.
Gebruik hiervoor de applet
Sol LeWitt
, of knip de benodigde vierkantjes op het werkblad uit. Succes!
Tot slot, als je een oplossing van de LeWitt puzzel hebt gevonden en deze op een donut
plakt, dan lopen de lijnen in elkaar door. Bijzonder toch?!
