1.6 Combinaties >

Hoofdstukken > Combinatoriek en Rekenregels

Zes leerlingen (Anne, Bas, Claudia, Daan, Ebbe en Fenna) hebben zich opgegeven om de docent Engels te helpen bij de voorbereidingen van een hightea ter gelegenheid van het 80-jarig bestaan van de school. De docent heeft maar drie helpers nodig. Hij kan bijvoorbeeld kiezen voor Anne, Daan en Ebbe, of voor Bas, Claudia en Fenna, of ... .

Probeer alle mogelijke keuzes op te schrijven. Werk systematisch.

Bij het kiezen van $3$ leerlingen uit de $6$ moet je zes beslissingen nemen: voor elke leerling moet je kiezen of je die leerling wel of niet neemt. Elke keuze betekent een stap in een rooster; kies je de leerling wel, dan ga je naar boven, kies je de leerling niet, dan ga je naar rechts.
Omdat je drie leerlingen wel kiest (en dus drie niet), kom je - startend in $(0,0)$ - uit in het punt $(3,3)$ .

De route in het bovenste rooster hoort bij de keuze Bas, Ebbe, Fenna.

Ga voor de routes in de andere twee roosters na bij welke keuze ze horen.

Teken in je schrift een rooster en geef daarin - in verschillende kleur - de routes aan die horen bij de keuzes:

Anne, Bas, Daan,
Daan, Ebbe, Fenna,
Bas, Claudia, Ebbe.

Bij elke keuze van $3$ leerlingen uit de $6$ hoort een kortste route in een rooster van $(0,0)$ naar $(3,3)$ . En andersom hoort bij elke kortste route van $(0,0)$ naar $(3,3)$ een keuze van $3$ leerlingen uit de $6$ .

Hoeveel kortste routes zijn er van $(0,0)$ naar $(3,3)$ ?
Hoeveel keuzes van $3$ leerlingen uit de $6$ zijn er dus?
Klopt dat aantal met wat je gevonden hebt bij a?

De gymdocent organiseert ter gelegenheid van het 80-jarig bestaan van de school een viswedstrijd. Ook hij zoekt drie helpers. De gymdocent heeft de keus uit twintig leerlingen.
Bij een keuze van $3$ uit de $20$ hoort weer een route in een rooster. We beginnen de route weer in $(0,0)$ .

Uit hoeveel stappen bestaat zo’n route? Hoe vaak ga je naar boven? En hoe vaak naar rechts? In welk punt eindig je dus?

Hoeveel keuzes van $3$ uit $20$ zijn er? Schrijf je antwoord eerst als combinatiegetal dat je vervolgens uitrekent op je GR.

De mentor van klas V1A zoekt vier bovenbouwleerlingen die willen helpen bij de organisatie van een klassenfeest. De mentor kan kiezen uit $20$ vrijwilligers: $12$ jongens en $8$ meisjes.

Het totaal aantal keuzes dat de mentor kan maken is even groot als het aantal kortste routes in een rooster van $(0,0)$ naar een punt $B$ .

Wat zijn de coördinaten van $B$ ?

Hoeveel keuzes zijn er in totaal mogelijk?

Elke keuze correspondeert met een $20$ -stapsroute van $(0,0)$ naar $(16,4)$ in het rooster hieronder.

De eerste $12$ stappen in zo’n route gaan over de jongens: kiest de mentor de eerste jongen, dan is de eerste stap naar boven; anders naar rechts. De tweede stap correspondeert met de tweede jongen; enzovoort.
De volgende $8$ stappen corresponderen met de meisjes.
Stel dat de mentor één jongen kiest (en dus drie meisjes).

Teken in een rooster drie verschillende routes die horen bij een keuze van $1$ jongen en $3$ meisjes. Gebruik kleuren.

Hoeveel keuzemogelijkheden heeft de mentor als hij $1$ jongen kiest en $3$ meisjes?

Via welk punt loopt een route die hoort bij een keuze van $3$ jongens en $1$ meisje? Hoeveel van die keuzes zijn er?

Hoeveel keuzes zijn er als de mentor $2$ jongens kiest en $2$ meisjes?

Hoeveel keuzes zijn er als de mentor alleen jongens kiest?

Hoeveel keuzes zijn er als de mentor alleen meisjes kiest?

Tel je antwoorden uit d tot en met h bij elkaar op.
Klopt je antwoord met dat van b?

Voorbeeld:

Op een bord met negen velden worden vijf witte en vier donkere schijven geplaatst. Een voorbeeld zie je hiernaast.

Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Voor elk vakje heb je de keuze uit twee mogelijkheden: een witte of donkere schijf. Bij de voorbeeldopstelling hoort het volgende rijtje.

vakje	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
wit/donker	w	d	w	w	d	w	d	w	d

Ieder rijtje (bestaande uit vijf "w"-tjes en vier "d"-tjes) kan worden voorgesteld door een route in een rooster. Zo’n route bestaat uit negen stappen: je moet vijf keer naar rechts en vier keer naar boven. De route die bij de voorbeeldopstelling hoort, zie je hiernaast. Het aantal mogelijke opstellingen is daarom gelijk aan het aantal kortste routes van $(0,0)$ naar $(5,4)$ . Dit noteer je met het combinatiegetal $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ . Uit de driehoek van Pascal kun je aflezen dat er $126$ mogelijke opstellingen zijn. Dit aantal kun je ook berekenen met je rekenmachine: $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix}) = 9 C 4 = 126$ .

Op het bord in het voorbeeld staan twee van de vijf witte schijven op de eerste rij.

Hoeveel mogelijkheden zijn er als er op de eerste rij twee witte schijven staan?

(hint)

Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de eerste rij? En hoeveel voor de tweede en derde rij?

Als bij het kiezen van $k$ elementen uit $n$ de volgorde niet van belang is, dan spreken we van een combinatie van k uit n (of een ongeordende greep van k uit n zonder herhaling).

Het aantal combinaties van $k$ elementen uit $n$ elementen noteren we als: $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ .

Een combinatie is op te vatten als een herhaalde keuze uit twee alternatieven: wel/niet, voor/tegen, Ajax/PEC, nul/een, enzovoorts. Elke combinatie kan daarom worden vertaald naar een rijtje bestaande uit twee symbolen en worden voorgesteld door een route in een rooster.

De toestand van twaalf bomen aan de zuidkant van de Parklaan wordt onderzocht. Zieke exemplaren worden gemerkt met een kruis. Er blijken vijf bomen ziek te zijn.

Op hoeveel volgordes kunnen die vijf bomen over de Parklaan verspreid staan?

Hoeveel volgordes zijn er als je weet dat de eerste drie bomen gezond zijn?

(hint)

De eerste drie bomen zijn gezond, dus GGG?????????.

Om haar profiel aan te vullen moet Saadet nog drie vakken kiezen uit de vakken: na, ak, ckv, gs, du, bi, wb.

Op hoeveel manieren kan zij haar profiel aanvullen?

Bereken het aantal manieren waarop zij haar profiel aan kan vullen als zij geen enkel exact vak (na, bi, wb) kiest.
Doe hetzelfde in het geval zij één exact vak kiest.

Op hoeveel manieren kan zij dit doen als zij hoogstens één van de exacte vakken wil kiezen?

Bij het kaartspel toepen gebruik je niet alle kaarten; van elke kleur (schoppen, harten, ruiten en klaveren) gebruik je acht kaarten: $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $B$ , $V$ , $H$ , $A$ . In totaal gebruik je dus $32$ kaarten. Aan het begin van het spel wordt er gedeeld: iedere speler krijgt $4$ kaarten.
Egon speelt mee en krijgt dus $4$ kaarten.

Hoeveel verschillende combinaties van $4$ kaarten kan Egon krijgen?

Elke combinatie die Egon kan krijgen, correspondeert met een $32$ -stapsroute in een rooster van $(0,0)$ naar $(28,4)$ .
De eerste stap laten we corresponderen met $♠7$ , de tweede stap met $♠8$ , de achtste stap met $♠ A$ , dan komen de harten, dan de ruiten en de klaveren; alle kleuren in dezelfde volgorde.

Teken in een rooster de route die hoort bij $♠8$ , $♥ B$ , $♦9$ en $♦10$ .

Via welke twee punten in het rooster loopt een route die hoort bij een combinatie van $4$ kaarten die alleen uit harten bestaat?
Hoeveel combinaties van $4$ kaarten zijn er mogelijk die uit alleen harten bestaan?

Via welke twee punten in het rooster loopt een route die hoort bij een combinatie van $2$ schoppen en $2$ harten? Hoeveel van die combinaties zijn er?

Via welke drie punten in het rooster loopt een route die hoort bij een combinatie van $1$ schoppen, $1$ harten, $1$ ruiten en $1$ klaveren?
Hoeveel van die combinaties zijn er?

Via welk punt in het rooster loopt een route die hoort bij een combinatie waarbij er alleen schoppen en harten zijn (het mogen ook alle vier schoppen of alle vier harten zijn)?
Hoeveel van die combinaties zijn er?

Hoeveel combinaties zijn er mogelijk als er alleen schoppen en ruiten bij zijn (alle vier schoppen of alle vier ruiten mag ook)?

(hint)

Het antwoord is niet zo eenvoudig uit het rooster af te leiden. Maar je kunt het rooster aanpassen: laat de eerste $16$ stappen corresponderen met de schoppenkaarten en de ruitenkaarten en de volgende $16$ stappen met de harten- en de klaverenkaarten.

Hoeveel combinaties zijn er mogelijk met twee $9$ 's en twee $10$ 'en? Pas de stappen in het rooster op een geschikte manier aan!

De basketbalcompetitie telt tien clubs. De vier clubs die het hoogst eindigen, spelen de zogenaamde play-offs om het kampioenschap van Nederland. Ze bepalen in een onderlinge competitie wie 1, 2, 3 en 4 wordt. Die volgorde noemen we de "uitslag" van de competitie.

Hoeveel viertallen uit de tien clubs zijn er mogelijk?

Een van die viertallen wordt gevormd door: Weert, Den Bosch, Den Helder en Groningen.

Hoeveel uitslagen zijn er voor deze vier mogelijk?

Hoe vind je uit a en b het aantal uitslagen dat mogelijk is voor de tien clubs?

Het aantal uitslagen voor de tien clubs kun je ook rechtstreeks uitrekenen.

Doe dat.

Opmerking:

Je hebt nu op twee manieren berekend hoeveel permutaties er zijn van $4$ uit $10$ :
$(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ en ook $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ .
Hieruit volgt: $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ .

Bereken $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ . Klopt dat met de driehoek van Pascal?

Opmerking:

Het aantal combinaties van $4$ uit $10$ kun je uit het aantal permutaties van $4$ uit $10$ berekenen:
$(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{aantal permutaties van 4 uit 10}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ .

Leg uit: $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{10!}{4! \cdot 6!}$ .

Bereken $\frac{10!}{4! \cdot 6!}$ met je rekenmachine.
Controleer je uitkomst in de driehoek van Pascal.

Geef een uitdrukking zoals in b voor $(\begin{matrix} 12 \\ 3 \end{matrix})$ en bereken de uitkomst daarvan met je rekenmachine.

Het aantal combinaties (van $k$ uit $n$ ) kan worden uitgedrukt in drie faculteitsgetallen: $\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$

Voorbeeld:

$(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{9!}{4! \cdot 5!}$

Je kunt dit resultaat als volgt verklaren.
$9$ elementen laten zich op $9!$ manieren rangschikken; bij elke rangschikking kan je een streep zetten tussen het vierde en vijfde element, bijvoorbeeld:
$4 7 1 3 | 8 5 2 6 9$ .
Bij een combinatie van $4$ elementen uit $9$ gaat het er alleen om welke getallen VOOR en welke getallen ACHTER de streep staan.
Voor de streep betekent: uitgekozen; achter de streep: niet uitgekozen. Omdat je de getallen voor de streep op $4!$ en de getallen achter de streep op $5!$ manieren kunt rangschikken, volgt nu: $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{9!}{4! \cdot 5!}$ .

Opmerking:

Om de formule die je van $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ gevonden hebt ook goed te krijgen voor het randgeval $k = n$ , spreken we af: $0! = 1$ .
Er geldt dan $(\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = \frac{n!}{n! \cdot 0!} = \frac{n!}{n! \cdot 1} = 1$ .
Ook het combinatiegetal $(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix})$ krijgt nu betekenis:
$(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) = \frac{n!}{0! \cdot n!} = 1$ .

Je kunt je kennis testen in de miniloco Telproblemen .