2.1 De kansdefinitie >

Hoofdstukken > Binomiale en normale verdelingen

In hoofdstuk 1 Combinatoriek en rekenregels is de kansdefinitie aan de orde geweest. In deze paragraaf wordt de definitie herhaald en toegepast.

Een kikker is onrustig. Hij springt over de hiernaast getekende tegelvloer alsof zijn leven ervan afhangt. Hij springt steeds naar een naburige tegel: horizontaal of verticaal (dus niet diagonaal).

Leg uit dat de kans dat de kikker op een zeker ogenblik op een donkere tegel zit niet noodzakelijk $\frac{5}{9}$ is.

Welke tegel heeft de meeste kans en welke tegels hebben de minste kans? Kun je ook zeggen waarom?

Kansdefinitie
Als er bij een experiment $n$ even waarschijnlijke uitkomsten zijn, waarvan er $k$ zijn van een bepaald type, dan is de kans op een uitkomst van dat type gelijk aan $\frac{k}{n}$ .

Voorbeeld:

Je hebt een verzameling van $28$ dingen. Er zijn drie soorten dingen. Van soort A zijn er $15$ , van soort B zijn er $5$ en van soort C zijn er $8$ . Iemand pakt willekeurig één ding uit die verzameling. Elk van de dingen heeft dezelfde kans om gepakt te worden. Dan is de kans dat hij een ding van soort A pakt $\frac{15}{28}$ .

Anneke werpt met twee zuivere muntstukken. (Bij een zuivere munt zijn de kansen op kop en op munt gelijk; dus beide $\frac{1}{2}$ .) Er zijn drie mogelijke uitkomsten: "2 kop", "2 munt" en "1 kop en 1 munt". Anneke redeneert als volgt: Bij twee van de drie mogelijke uitkomsten heb je een "dubbele" (de munten vallen op dezelfde kant). Dus is de kans op een dubbele $\frac{2}{3}$ .

Wat is de fout in Annekes redenering?

Wat is de juiste kans op een dubbele?

Voor een loket staan acht mensen in een rij. Je weet dat Anneke en Egon in de rij staan.

Bereken met de kansdefinitie wat de kans is dat Egon vóór Anneke in de rij staat.

Bij een verloting zijn er $100$ verschillende loten, genummerd $1$ toto en met $100$ . De personen A, B, C en D krijgen ieder willekeurig een lot.

Bereken met de kansdefinitie wat de kans is dat het nummer dat A krijgt groter is dan de nummers die B, C en D krijgen.

Bereken met de kansdefinitie wat de kans is dat het nummer dat A krijgt groter is dan $50$ , maar kleiner is dan $70$ .

Pierre Simon Laplace
1749 - 1827

De kansdefinitie is voor het eerst zo geformuleerd door de grote Franse wiskundige Laplace. Hij deed behalve veel aan waarschijnlijkheidsrekening ook aan astronomische mechanica en differentiaalvergelijkingen. Laplace leefde tijdens de roerige tijden van de Franse revolutie. Uit zijn leven zijn de volgende gebeurtenissen bekend. De zestienjarige Napoleon heeft examen gedaan bij Laplace. In 1790 hielp Laplace mee met de standaardisatie van maten en gewichten op decimale basis. Tijdens het schrikbewind van Robespierre ontvluchtte hij Parijs. In 1799 wordt Laplace minister onder Napoleon en daarna kanselier van de senaat.

Als je de kansdefinitie wilt toepassen is het belangrijk te weten of de mogelijk uitkomsten wel even waarschijnlijk zijn. Uitkomsten zijn even waarschijnlijk als ze als gelijkwaardig mogen worden beschouwd: als er geen enkele reden is dat een van de uitkomsten vaker zal voorkomen dan een andere. Bijvoorbeeld in opgave 3 is (als je geen extra informatie hebt) er geen reden om aan te nemen dat Egon vaker voor Anneke staat in de rij dan omgekeerd: beide mogelijkheden hebben kans . Maar stel eens dat je weet dat Anneke en Egon een hechte relatie hebben, meestal gezamenlijk naar het loket gaan en dat Egon dan altijd Anneke voor laat gaan. Dan zijn de twee mogelijkheden niet meer gelijkwaardig. De kans dat An-neke voor Egon staat in de rij is dan beslist groter dan $\frac{1}{2}$ .

Noem een paar "experimenten" waarbij de uitkomsten even waarschijnlijk zijn.

Je hebt drie brieven (a, b en c) geschreven aan vrienden en hun adressen op enveloppen (A, B en C) gezet. Je pakt envelop A en zonder ergens op te letten stop je een brief in die envelop. Daarna doe je hetzelfde met de andere twee enveloppen.

Op hoeveel verschillende manieren kunnen de drie brieven aan de drie enveloppen worden gekoppeld ?

$X$ is het aantal brieven dat in de juiste envelop zit.

Welke waarden kan $X$ aannemen?

Wat is de kans op elk van deze waarden?

De koning gaat op staatsbezoek in China. In zijn kielzog gaan er onder andere drie parlementariërs mee. In aanmerking voor de reis komen drie parlementariërs van de PvdA, vier van de VVD en twee van het CDA. Wie mee mag, wordt door het lot aangewezen.
Er zijn in totaal $84$ drietallen mogelijk.

Bereken de kans dat ze alle drie van één partij komen.

Bereken de kans dat er van elke partij een parlementariër mee mag.

Het probleem van opgave 7b kun je met de kansdefinitie als volgt aanpakken.
Er moet een keuze gedaan worden van drie uit in totaal negen personen. Er zijn $84$ van zulke keuzes; die zijn allemaal even waarschijnlijk. Je telt nu hoeveel keuzes er zijn, bestaande uit
$1$ PvdA-er, $1$ VVD-er en $1$ CDA-er: dat zijn er $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ . Het antwoord op opgave 7b is dus $\frac{24}{84}$ .

Je vriend heeft een telefoonnummer dat bestaat uit de cijfers 1, 2, 3, 5, 7 en 9. Dat weet je nog, maar de volgorde van de cijfers ben je vergeten.

Hoeveel telefoonnummers kun je maken met de cijfers 1, 2, 3, 5, 7 en 9?

Op de gok toets je het nummer "325197" in.

Bereken de kans dat je het goede nummer hebt.

Dezelfde vraag als je je herinnert dat de 3 vooraan staat.

Een tennistoernooi telt $64$ deelnemers, waarvan zes Nederlanders en acht Duitsers. Er wordt gespeeld volgens het knock-out systeem: wie verliest ligt eruit. Voor de finale houden we twee spelers over. Omdat voor elke ronde tussen de overgebleven spelers geloot wordt, kan in principe elke speler tegen elke andere speler in de finale komen.

Hoeveel finales zijn er mogelijk?

Hoeveel finales zijn er mogelijk waarbij een Nederlander tegen een Duitser speelt?

Veronderstel dat alle spelers even sterk zijn en dus even grote kans hebben de volgende ronde te bereiken.

Bereken de kans dat de finale wordt gespeeld tussen een Nederlander en een Duitser.

Opmerking:

Vaak wordt de fout gemaakt dat ten onrechte wordt aangenomen dat de mogelijke uitkomsten even waarschijnlijk zijn. Hoe gevaarlijk dat is, zie je in de volgende opgave.

Egon heeft drie kaartjes: een met een blauwe en een rode kant, een met een witte en een rode kant en een met twee rode kanten. Egon pakt een willekeurig kaartje en legt het op tafel. De kant die hij ziet blijkt rood te zijn.

Wat, denk je, is de kans dat de achterkant ook rood is?

Je wilt dus weten hoeveel mogelijke uitkomsten er zijn (die uitkomsten moeten even waarschijnlijk zijn!) en je wilt weten hoeveel speciale uitkomsten er zijn. Dan ken je de kans op zo'n speciale uitkomst. Hoeveel uitkomsten er zijn en hoeveel speciale uitkomsten, is vaak een kwestie van tellen. En dat hebben we in het eerste hoofdstuk Combinatoriek en rekenregels van de kansrekening voor wiskunde d geleerd.
In paragraaf 2 herhalen we de belangrijkste zaken en gaan dan met combinatiegetallen kansen uitrekenen.

In vraagstukken over kansrekening heb je vaak te maken met een grootheid die verschillende waarden kan aannemen. Je wilt dan weten wat de kans is op elk van die waarden. Bijvoorbeeld in opgave 6: de grootheid is het aantal brieven $X$ dat in de goede enveloppe komt. $X$ kan de waarden $0$ , $1$ en $3$ aannemen. De kansen op deze waarden zijn achtereenvolgens $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{2}$ en $\frac{1}{6}$ .
We schrijven wel:
$P (X = 0) = \frac{1}{3}$ , $P (X = 1) = \frac{1}{2}$ en $P (X = 3) = \frac{1}{6}$ .
De grootheid $X$ heet wel toevalsgrootheid of stochast.

Bekijk nog eens opgave 7. Het aantal parlementariërs van de VVD die meegaan naar China noemen we $X$ .

Welke waarden kan de stochast $X$ aannemen?

We werken met de context van opgave 9. $X$ is het aantal Nederlanders in de finale.

Bereken de waarden die $X$ aan kan nemen met de de bijbehorende kansen. Schrijf je antwoorden overzichtelijk in een tabel:

$k$	$\dots$	$…$	$…$
$P (X = k)$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

Controleer je antwoorden door de kansen op te tellen.

De som van de kansen op de verschillende waarden van een stochast is $1$ . Je zou kunnen zeggen dat de totale kans $1$ verdeeld is over die waarden. We noemen het geheel van waarden en bijbehorende kansen de kansverdeling van de stochast. Je kunt die goed in de vorm van een tabel geven.

Je werpt met een zuivere dobbelsteen. $X$ is het aantal ogen dat je werpt.

Maak een tabel van de kansverdeling van $X$ .

Een gezin telt $3$ kinderen. $M$ is het aantal meisjes in het gezin.

Maak een tabel van de kansverdeling van $M$ .

Als je bij mens-erger-je-niet met de dobbelsteen een $6$ gooit, mag je een nieuwe pion op het speelbord plaatsen. Je werpt één keer met de dobbelsteen. $X$ is het aantal pionnen dat je vervolgens op het speelbord mag plaatsen.

Maak een tabel van de kansverdeling van $X$ .

Iemand werpt met twee dobbelstenen. $X_{1}$ is het aantal ogen dat hij met de ene dobbelsteen werpt en $X_{2}$ het aantal ogen met de andere dobbelsteen.
$S = X_{1} + X_{2}$ is de som van de aantallen ogen.

Welke waarden kan $S$ aannemen?

Hoe groot is $P (S = 2)$ ? En $P (S = 3)$ ? En $P (S = 4)$ ?

Maak een kanstabel voor $S$ .