Hieronder staan vier voorbeelden van dynamische modellen ook wel systemen genoemd, met de verschillende factoren die een rol spelen.
Stroming in een havenmond
- eb- en vloedbeweging
- vaarbewegingen van schepen
- aanvoer water uit een rivier
- wind
Het weer
- luchtverplaatsingen (de luchtdruksituatie in de omgeving)
- temperatuur
- luchtvochtigheid
- geografische omstandigheden (bijvoorbeeld open water)
- bewolking
Prijsontwikkeling (van bijvoorbeeld benzine)
- productie van olie
- politieke spanningen
- milieuoverwegingen
- seizoensinvloeden
Griepepidemie
- agressiviteit van het griepvirus
- voorzorgsmaatregelen (inenting)
- het weer
- immuniteit
- verspreidingssnelheid (besmettelijkheid )
Zoek nog enkele voorbeelden van dynamische systemen.
Kies de voorbeelden uit verschillende vak- en toepassingsgebieden.
Noem bij elk voorbeeld de voornaamste
factoren die een rol spelen.
Een dynamisch systeem ontwikkelt zich in de loop van de
tijd. Er spelen verschillende variabelen een rol. Die variabelen
beïnvloeden elkaar: als een ervan verandert, veranderen
de andere ook.
De praktijk is complex. Daarom zullen we de werkelijkheid
vaak vereenvoudigen. Je moet altijd kritisch blijven
of de gedane vereenvoudigen min of meer verantwoord
zijn en het model de werkelijkheid nog wel redelijk beschrijft.
We gaan nu eerst enkele dynamische systemen voor een paar stappen doorrekenen.
Rupsen en vlinders
Vlinders leggen eieren. Daar komen rupsen uit. Als de rups volgroeid is,
gaat hij verpoppen. Na verloop van tijd kruipt er een vlinder uit de pop.
Dan is de cyclus rond. Onderweg kan er een heleboel mis gaan. Zo zijn
de rupsen een smakelijk hapje voor vogels. En vlinders zijn (vooral als
ze net uit de pop zijn gekomen) erg kwetsbaar.
Er zijn wel soorten vlinders,
waarvan er zo'n in Nederland
voorkomen. Hoe lang de verschillende fasen van de cyclus duren,
hangt sterk af van de soort. En ook de leefgewoonten en overlevingskansen
in deze fasen. Bekende vlinders in Nederland zijn het koolwitje,
de dagpauwoogvlinder en de koninginnepage.
Het aantal rupsen in een jaar hangt af van het aantal
vlinders in het jaar daarvoor. En het aantal vlinders hangt
af van het aantal rupsen in het jaar daarvoor. We volgen
de populatie rupsen en vlinders. Stel dat elke vlinder een
jaar later rupsen veroorzaakt en dat elke rups met kans
een vlinder wordt.
In een zeker jaar, het jaar , waren er
vlinders en
rupsen.
Een jaar later, het jaar , zijn er rupsen
en vlinders.
Hoeveel vlinders en rupsen zijn er de volgende twee
jaren. Zet je uitkomsten in een tabel zoals hiernaast.
is het aantal vlinders in het jaar , is het aantal rupsen
in het jaar ().
Bovenstaande aannamen kunnen we zo opschrijven:
,
,
,
,
Ga dat na.
De derde regel: , ,
is een samenvatting van oneindig
veel regels:
,
,
,
,
enzovoort.
Hoe de populatie rupsen en vlinders zich verder zal ontwikkelen in de loop der jaren is niet een-twee-drie te zeggen. Zullen ze uitsterven, zal de populatie exploderen, zal de populatie zich stabiliseren (zo ja, op welke aantallen)? Dit is een onderwerp van onze studie. En als de kans wordt vervangen door , hoe zal de vlinder-rups-toekomst er dan uitzien?
Medicijnspiegel
De bijsluiter over het gebruik van een medicijn vertelt het
volgende.
Elke dag verdwijnt % van het medicijn uit het lichaam door uitscheiding.
Neem dagelijks mg van het medicijn in.
We gaan ervan uit dat de patiënt vóór dag nog niets van het medicijn in het lichaam heeft. Op dag neemt hij voor het eerst, geheel volgens de regels van de bijsluiter, mg in. En dat zo elke dag.
Hoeveel mg medicijn heeft de patiënt in zijn lichaam op dag , dag en dag , meteen nadat hij zijn dagelijkse dosis heeft ingenomen?
is het aantal milligram medicijn in het lichaam, na de
inname van de dagelijkse dosis op dag ().
We kunnen het voorgaande dan zo opschrijven:
, .
Ga dat na.
Ook nu is niet onmiddellijk duidelijk hoe de medicijnspiegel zich zal ontwikkelen in de loop der dagen. En hoe zal dat gaan als we de vaste inname van mg veranderen? En als de gegeven % niet helemaal juist blijkt te zijn?
Ratten
Een rattenvrouwtje werpt gemiddeld elke veertig dagen
een nest. Zo'n nest heeft gemiddeld zes jongen, waarvan
er drie vrouwtje zijn. De jonge rattenvrouwtjes zijn de
eerste tijd nog niet vruchtbaar. Na tachtig dagen werpt
een rattenvrouwtje voor het eerst een nest van zes jongen.
We beginnen met één rattenpaar, dus met rattenvrouwtje.
Na dagen zijn er dan vrouwtjes, waaronder
er maar vruchtbaar is. Na dagen zijn er
1 rattenvrouwtjes, waaronder er vruchtbaar
zijn.
Bereken hoeveel rattenvrouwtjes er zijn na dagen.
Hoeveel vruchtbare vrouwtjes zijn daarbij?
Ook na dagen.
Het aantal vruchtbare rattenvrouwtjes na periodes van
dagen noemen we . Dan laten de bovenstaande
aannamen zich als volgt vertalen:
,
,
, .
Wat moet er ingevuld worden? Licht je antwoord toe.
Duidelijk is dat het aantal ratten explodeert. Maar hoeveel
er na dagen zijn, is niet zo snel duidelijk.
En hoe zal het aantal ontwikkelen als we de vruchtbaarheid
van de rattenvrouwtjes weten terug te brengen
tot van tot ?
Wat is een discreet dynamisch model?
Je hebt nu drie voorbeelden gezien van zogenaamde
discrete dynamische modellen.
Waarom dynamisch?
De toestand op een bepaald moment
hangt af van één of meer toestanden daarvoor.
Bij opgave 1: als er vorig jaar vlinders en rupsen zijn, zijn er dit jaar vlinders en rupsen.
Bij opgave 2: als er gisteren gram medicijn in het lichaam was, is er vandaag gram.
Bij opgave 3: als er vorige periode rattenvrouwtjes waren en twee periodes geleden , dan zijn er nu .
Waarom discreet?
Je bekijkt de toestand niet doorlopend
maar om gezette tijden. In de voorbeelden was dat om
het jaar, om de dag of om een periode van dagen.
Wat er tussentijds gebeurt, is onbekend; in elk geval interesseert
ons dat niet.
Waarom model?
De werkelijkheid is sterk vereenvoudigd.
Feitelijk werk je met gemiddelde waarden en omstandigheden
die niet (te veel) mogen veranderen. Hierbij laat je
allerlei praktische storingen buiten beschouwing.
Bijvoorbeeld in opgave 2 neem je onder andere aan dat de overlevingskansen
elk jaar hetzelfde blijven.
Welke aannamen maak je bij opgave 3?
En bij opgave 4?
In een dynamisch model is steeds hetzelfde hoe de toestand
op een bepaald moment afhangt van de vorige
toestand(en). Je past dus steeds weer dezelfde manier
van berekenen toe. Die manier is gegeven door een formule
of een berekeningswijze. Die formule of berekeningswijze
verandert dus niet in de loop van de tijd.
De aantallen vlinders in de opvolgende jaren (opgave 2)
vormen een rij getallen:
, ,
, , 1440 , … .
De aantallen mg medicijn in de opvolgende dagen (opgave 3) vormen een rij:
, ,
, , , … .
De aantallen rattenvrouwtjes in de opvolgende periodes
van dagen (opgave 4) vormen een rij:
, ,
, ,
,
,
, … .
In de volgende paragraaf gaan we ons bezighouden met
rijen.
Het is duidelijk dat, om bij een model de rij van aantallen
in de opvolgende stappen te berekenen, een computer
handig is. In de drie voorbeelden werd de nieuwe situatie
steeds op dezelfde manier berekend uit de vorige of de
vorige twee. En een computer kan snel en foutloos eenzelfde
berekening heel vaak herhalen. Ook de GR kan
dat prima.
Een programma op internet vind je in
Met wat daar ingevuld is, vind je de aantallen rattenvrouwtjes in de opvolgende periodes.