Definitie
Een koorde is een verbindingslijnstuk van twee
punten op een kromme in het bijzonder op een cirkel.
Een koordenveelhoek is een veelhoek waarvan de
zijden koorden zijn van een cirkel. Met andere
woorden: een koordenveelhoek heeft een
omgeschreven cirkel.
Koorde is een typisch Nederlands woord, dat alleen in de wiskunde gebruikt wordt. Het is verwant met het Latijnse chorda, wat snaar betekent.
Hiernaast staat een koordenvierhoek met zijn diagonalen. Er zijn acht omtrekshoeken twee aan twee gelijk.
Neem de figuur over en schrijf dezelfde tekens in gelijke hoeken.
Koordenvierhoekstelling
In een koordenvierhoek is de som van de overstaande
hoeken .
Omkering
Als in een vierhoek de som van de overstaande hoeken
is, dan is het een koordenvierhoek.
Bewijs de koordenvierhoekstelling en zijn omkering.
De verlengden van de overstaande zijden van een koordenvierhoek snijden elkaar in en . In de figuur zijn drie hoeken aangegeven: , en .
Bewijs dat .
Wat weet je van een vlieger die koordenvierhoek is?
Wat weet je van een parallellogram dat koordenvierhoek is?
is een vierkant met middelpunt . Driehoek is rechthoekig in .
Bewijs dat een koordenvierhoek is.
Bewijs dat bissectrice van hoek is.
Je kunt de stelling van de koordenvierhoek ook als volgt
inzien.
Hoek staat op de ene boog (tegenover )
en hoek staat op de andere boog (tegenover ).
Samen zijn deze bogen de hele cirkel. De bijbehorende
middelpuntshoeken zijn samen . De bijbehorende
omtrekshoeken zijn dus samen .
In een koordenvijfhoek zijn twee diagonalen getekend; zie de figuur. Daarin zijn drie hoeken aangegeven: , en .
Bewijs dat .
is een koordenzeshoek.
Bewijs dat .
is een koordenachthoek.
Hoe groot is ?
Hiernaast staat een koordenvierhoek met zijn diagonalen en in twee opvolgende hoekpunten de raaklijnen aan de omgeschreven cirkel. In een van de hoeken staat het teken #.
Neem de figuur over en geef daarin de drie andere hoeken aan die even groot zijn als met het #.
is een vierhoek met . Diagonaal verdeelt de vierhoek in twee stukken.
Bewijs dat het hoogtepunt van het ene stuk op de omgeschreven cirkel van het andere stuk ligt.
Ga na dat je het beweerde in onderdeel a kunt toepassen op een vlieger en op een parallellogram.
We komen terug op het experiment van opgave 67 van
de vorige paragraaf.
Gegeven zijn twee punten
en .
Bepaal alle punten , zo dat .
Bepaal alle punten , zo dat .
Op een cirkel is een boog gegeven. De stelling van de middelpuntshoek gaat over de hoek die staat op de boog als het hoekpunt op de cirkel ligt (tegenover die boog). Hoe zit het als het hoekpunt buiten of binnen die cirkel ligt? Daarover gaan de volgende opgaven.
Gegeven is een cirkel en een punt daar buiten. Twee lijnen door snijden de cirkel in , , en . Zie de figuur.
Bewijs dat .
Gegeven is een cirkel en een punt daar binnen. Twee lijnen door snijden de cirkel in , , en . Zie de figuur.
Bewijs dat .
Ga na dat de resultaten van opgave 101 en opgave 102 beide als randgeval de stelling van de omtrekshoek opleveren.
Als twee lijnen door punt van een cirkel twee bogen afsnijden, dan geldt:
als buiten de cirkel ligt, is de grootte van hoek het halve verschil van de bogen;
als binnen de cirkel ligt, is de grootte van hoek de halve som van de bogen.
Twee cirkels met dezelfde straal snijden elkaar in
en .
ligt op de ene cirkel.
Lijn
en lijn snijden de andere
cirkel in en .
Bewijs: .
We verlengen de zijden van een koordenvierhoek. Zodoende ontstaat onderstaande figuur. Hierin zijn vier hoeken aangegeven: , , en
Bewijs dat .