4.6  Koordenvierhoeken >

Definitie
Een koorde is een verbindingslijnstuk van twee punten op een kromme in het bijzonder op een cirkel.
Een koordenveelhoek is een veelhoek waarvan de zijden koorden zijn van een cirkel. Met andere woorden: een koordenveelhoek heeft een omgeschreven cirkel.

Koorde is een typisch Nederlands woord, dat alleen in de wiskunde gebruikt wordt. Het is verwant met het Latijnse chorda, wat snaar betekent.

1

Hiernaast staat een koordenvierhoek met zijn diagonalen. Er zijn acht omtrekshoeken twee aan twee gelijk.

Neem de figuur over en schrijf dezelfde tekens in gelijke hoeken.

Koordenvierhoekstelling
In een koordenvierhoek is de som van de overstaande hoeken 180 ° .

Omkering
Als in een vierhoek de som van de overstaande hoeken 180 ° is, dan is het een koordenvierhoek.

2

Bewijs de koordenvierhoekstelling en zijn omkering.

3

De verlengden van de overstaande zijden van een koordenvierhoek A B C D snijden elkaar in P en Q . In de figuur zijn drie hoeken aangegeven: α , β en γ .

Bewijs dat α = γ β .

4
a

Wat weet je van een vlieger die koordenvierhoek is?

b

Wat weet je van een parallellogram dat koordenvierhoek is?

5

A B C D is een vierkant met middelpunt M . Driehoek D C E is rechthoekig in E .

a

Bewijs dat D M C E een koordenvierhoek is.

b

Bewijs dat E M bissectrice van hoek D E C is.

Je kunt de stelling van de koordenvierhoek ook als volgt inzien.
Hoek A staat op de ene boog B D (tegenover A ) en hoek C staat op de andere boog B D (tegenover C ).
Samen zijn deze bogen de hele cirkel. De bijbehorende middelpuntshoeken zijn samen 360 ° . De bijbehorende omtrekshoeken zijn dus samen 180 ° .

6

In een koordenvijfhoek zijn twee diagonalen getekend; zie de figuur. Daarin zijn drie hoeken aangegeven: α , β en γ .

Bewijs dat α + β = 180 ° + γ .

7

A B C D E F is een koordenzeshoek.

a

Bewijs dat A + C + E = 360 ° .

A B C D E F G H is een koordenachthoek.

b

Hoe groot is A + C + E + G ?

8

Hiernaast staat een koordenvierhoek met zijn diagonalen en in twee opvolgende hoekpunten de raaklijnen aan de omgeschreven cirkel. In een van de hoeken staat het teken #.

Neem de figuur over en geef daarin de drie andere hoeken aan die even groot zijn als met het #.

9

A B C D is een vierhoek met A = C . Diagonaal B D verdeelt de vierhoek in twee stukken.

a

Bewijs dat het hoogtepunt van het ene stuk op de omgeschreven cirkel van het andere stuk ligt.

b

Ga na dat je het beweerde in onderdeel a kunt toepassen op een vlieger en op een parallellogram.

10

We komen terug op het experiment van opgave 67 van de vorige paragraaf.
Gegeven zijn twee punten A en B .

a

Bepaal alle punten P , zo dat A P B = 45 ° .

b

Bepaal alle punten P , zo dat A P B = 135 ° .

Op een cirkel is een boog gegeven. De stelling van de middelpuntshoek gaat over de hoek die staat op de boog als het hoekpunt op de cirkel ligt (tegenover die boog). Hoe zit het als het hoekpunt buiten of binnen die cirkel ligt? Daarover gaan de volgende opgaven.

11

Gegeven is een cirkel en een punt P daar buiten. Twee lijnen door P snijden de cirkel in A , B , C en D . Zie de figuur.

Bewijs dat P = 1 2 b g ( A B ) 1 2 b g ( C D ) .

(hint)
Teken lijnstuk A C .
12

Gegeven is een cirkel en een punt P daar binnen. Twee lijnen door P snijden de cirkel in A , B , C en D . Zie de figuur.

Bewijs dat A P B = 1 2 b g ( A B ) + 1 2 b g ( C D ) .

(hint)
Teken lijnstuk B C .
13

Ga na dat de resultaten van opgave 101 en opgave 102 beide als randgeval de stelling van de omtrekshoek opleveren.

Als twee lijnen door punt P van een cirkel twee bogen afsnijden, dan geldt:

  1. als P buiten de cirkel ligt, is de grootte van hoek P het halve verschil van de bogen;

  2. als P binnen de cirkel ligt, is de grootte van hoek P de halve som van de bogen.

14

Twee cirkels met dezelfde straal snijden elkaar in P en Q .
A ligt op de ene cirkel. Lijn A P en lijn A Q snijden de andere cirkel in B en C .

Bewijs: b g ( B C ) = 2 b g ( P Q ) .

15

We verlengen de zijden van een koordenvierhoek. Zodoende ontstaat onderstaande figuur. Hierin zijn vier hoeken aangegeven: α , β , γ en δ

Bewijs dat δ = α + β + γ .