Hoofdstukken > Inleiding complexe getallen

Een kwadratische vergelijking is van de vorm:
$a x^{2} + b x + c = 0$ , waarbij $a \neq 0$ .
De Babyloniërs (2000 voor Chr.) hielden zich al bezig met kwadratische vergelijkingen en waren in staat om deze op te lossen.
In de derde klas heb je de zogenaamde wortelformule gehad om een kwadratische vergelijkingen op te lossen. Als je de getallen $a$ , $b$ en $c$ kent, geeft die formule je onmiddellijk de oplossingen:
$x = \frac{‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ en $x = \frac{‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Je moet natuurlijk wel de wortel van het getal $b^{2} - 4 a c$ kunnen trekken, dus moet $4 a c < b^{2}$ , anders zijn er geen oplossingen.

Wat kun je zeggen als $b^{2} - 4 a c = 0$ ?

Standbeeld in Brugge
Simon Stevin 1548-1620

Tot nu toe reken je vaak met negatieve getallen, breuken of wortels; het zijn vertrouwde getallen geworden.
Als kleuter begin je te tellen (1, 2, 3,…). Naarmate je ouder (en wijzer) wordt, wordt het soort getallen dat je kent en waarmee je kunt werken steeds groter. De kennis van getallen die jij in enkele jaren opdoet, heeft de mensheid in eeuwen opgebouwd.
Alleen al de manier waarop getallen genoteerd worden, is belangrijk. Egyptenaren gebruikten voor zover wij nu weten bijvoorbeeld alleen stambreuken (dat zijn breuken met teller 1, zie hoofdstuk 6 van brugklas 1vh van de Wageningse Methode).
Pas Simon Stevin (1548-1620), stelde voor om breuken decimaal te schrijven, in zijn werk De Thiende.

De verzameling getallen waarmee je hebt leren werken, is in de loop der jaren groter geworden:
$ℕ \to ℤ \to ℚ \to ℝ$
Hierbij staat

$ℕ$ voor de verzameling natuurlijke getallen:
$0, 1, 2, 3, \dots$
$ℤ$ voor de verzameling gehele getallen:
$\dots, ‐ 3, ‐ 2, ‐ 1, 0, 1, 2, 3, \dots$
$ℚ$ voor de verzameling rationale getallen:
alle gehele getallen met de positieve en negatieve breuken.
$ℝ$ voor de verzameling reële getallen:
alle getallen, inclusief wortels, $π$ , e, ${}^{2} \log (3)$ en nog veel meer.

De behoefte aan ‘nieuwe’ getallen diende zich steeds ‘vanzelf’ aan.
Een interessante vraag is of er buiten

ℚ

nog meer getallen bestaan: als je de getallen uit

ℚ

op de getallenlijn zet, lijkt die al behoorlijk vol.
Daarover gaat de volgende opgave.

Van een vierkant wordt een kleiner vierkant gevouwen, zie figuur 1. Neem aan dat het kleine vierkant zijde $1$ heeft. De zijden van het grote vierkant noemen we $x$ .

Wat is $x^{2}$ ?

In het volgende laten we zien dat $x$ geen breuk is.
Neem eens aan dat $x$ wel een breuk is, dus dat er twee positieve gehele getallen $p$ en $q$ zijn zó, dat $x = \frac{p}{q}$ .

Hiernaast zijn drie vierkanten getekend, het een heeft zijden $p$ en de twee andere zijden $q$ .
Dan hebben de twee kleine vierkanten samen dezelfde oppervlakte als het grote vierkant.

Waarom?

Neem aan: in figuur 2 is het kleinste vierkant met gehele zijden getekend met de eigenschap:
zijn oppervlakte is gelijk aan de oppervlakte twee (even grote) kleinere vierkanten met gehele zijden.

In figuur 3 leggen we de kleine vierkanten op het grote, het ene in de hoek rechtsboven, het ander in de hoek linksonder. De overlap van de twee kleine vierkanten is anders gekleurd.
Op de diagonaal zie je drie vierkanten.

Druk de zijden van de drie vierkanten in $p$ en $q$ uit.

Dus de zijden van de drie vierkanten uit het vorige onderdeel hebben gehele zijden.

Toon aan dat de oppervlakte van de twee kleinste vierkanten samen dezelfde oppervlakte hebben als het grote vierkant.

In figuur 3 staat nu een kleiner vierkant met de eigenschap dat zijn oppervlakte is gelijk is aan de oppervlakte twee (even grote) kleinere vierkanten met gehele zijden en dat is een tegenspraak die voort komt uit de aanname dat $x$ een breuk is. Het getal $x$ noemen we $\sqrt{2}$ , zoals bekend.

$\sqrt{2}$ is niet rationaal.

Voorbeeld:

Een bacteriekolonie verdubbelt elk uur. In hoeveel tijd wordt deze kolonie $3$ keer zo groot? Als je deze tijdsduur $x$ uur noemt, dan is $x$ oplossing van de vergelijking: $2^{x} = 3$ .
Deze vergelijking heeft geen oplossing in $ℚ$ , dat wil zeggen: er is geen rationaal getal $x$ te vinden, zó dat $2^{x} = 3$ .
De oplossing in $ℝ$ is: ${}^{2} \log (3)$ .

Dat ${}^{2} \log (3)$ . niet rationaal is, is niet zo eenvoudig aan te tonen.

Neem aan $p$ en $q$ zijn twee getallen met $\frac{p}{q} = \sqrt{2}$ , dan $\frac{2 q - p}{p - q} = \sqrt{2}$ .

Hoe volgt dat uit opgave 2?

Laat algebaïsch zien dat $\frac{2 q - p}{p - q} = \sqrt{2}$ als $\frac{p}{q} = \sqrt{2}$ .

Geef een vergelijking die geen oplossing in $ℕ$ heeft, maar wel in $ℤ$ .

Geef een vergelijking die geen oplossing in $ℤ$ heeft, maar wel in $ℚ$ .

Er zijn kwadratische vergelijkingen die oplossingen in $ℚ$ hebben, maar niet in $ℤ$ .

Geef een voorbeeld van zo’n vergelijking.

Zijn er rationale getallen $x$ die oplossing zijn van de vergelijking $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ . En reële getallen $x$ ?

Zijn er rationale getallen $x$ die oplossing zijn van de vergelijking $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ ? En reële getallen $x$ ?

Niccolo Fontana Tartaglia
1499?-1557

Uit wikipedia:
Een derdegraadsvergelijking is een vergelijking die herleid kan worden tot de vorm $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ , waarin $a$ , $b$ , $c$ en $d$ , constanten zijn en $a \neq 0$ .
Het oplossen van vergelijkingen van dit type bleek wezenlijk moeilijker te zijn dan het oplossen van kwadratische vergelijkingen, waarvoor al in de oudheid een algemene oplossing gevonden is (al werd toen alleen naar positieve oplossingen gezocht).
De Italiaan Niccolo Fontana Tartaglia (de stotteraar) vond als eerste een formule om derdegraadsvergelijkingen op te lossen.

Waarom zou men in de oudheid alleen naar positieve oplossingen gezocht hebben?

Waarom wordt in wikipedia geeist dat $a \neq 0$ in de vergelijking $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ ?

Elke derdegraadsvergelijking is te reduceren (terug te voeren) tot een vergelijking van de vorm:
$x^{3} + u x^{2} + v x + w = 0$ , met $u$ , $v$ en $w$ constanten.

Hoe?

Bekijk de vergelijking $x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 48 = 0$ .
We vervangen in deze vergelijking $x$ door $y + 4$ .
Dan krijg je de vergelijking: $y^{3} = 52 y + 96$ .

Reken dat na.

(hint)

Voor alle

a

b

geldt:

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

De oplossingen van de vergelijking $y^{3} - 52 y - 96 = 0$ zijn:
$y = ‐ 2$ , $y = ‐ 6$ en $y = 8$ .

Controleer dat $‐ 2$ , $‐ 6$ en $8$ oplossingen zijn.

De grafiek van de functie $y \to y^{3} - 52 y - 96$ gaat van "linksonder" tot "rechtsboven", snijdt de horizontale as dus hooguit drie keer.
De vergelijking $y^{3} - 52 y - 96 = 0$ heeft dus niet nog meer oplossingen.

Welke oplossingen heeft de vergelijking
$x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 48 = 0$ ?

Voor alle $a$ en $b$ geldt: ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

In de vorige opgave hebben we door een substitutie van de vorm $x = y + \dots$ een vergelijking van de vorm $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ omgezet in een vergelijking van de vorm: $y^{3} + u y + v = 0$ .

Door een substitutie van de vorm $x = y + \dots$ kun je de vergelijking $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 9 = 0$ ook omzetten in een vergelijking van de vorm: $y^{3} - u y - v = 0$ , voor zekere $u$ en $v$ .

Welke substitutie $x = y + \dots$ en wat zijn dan de getallen $u$ en $v$ ?

Welke oplossingen heeft de vergelijking
$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 9 = 0$ ?

Cardano 1501-1576

Cardano heeft een formule opgeschreven voor een oplossing van een derdegraadsvergelijking van de vorm: $x^{3} = p x + q$ .
Die formule is: $x = \sqrt[3]{\frac{1}{2} q + \sqrt{\frac{1}{4} q^{2} - \frac{1}{27} p^{3}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} q - \sqrt{\frac{1}{4} q^{2} - \frac{1}{27} p^{3}}}$ .

In de volgende opgaven bekijken we de formule nader.

Gegeven de vergelijking $x^{3} = 52 x + 96$ .

Waarom geeft de formule van Cardano geen oplossing?

$f$ is de functie $x \to x^{3} - 52 x - 96$ .
Er geldt $\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ en $\lim_{x \to ‐ \infty} f (x) = ‐ \infty$ .

Leg uit dat hieruit volgt dat $f (x)$ een nulpunt heeft.

Bekijk de functie $g : x \to ‐ 2 x^{3} + 100 x^{2} + 1000$ .

Waarom heeft de functie $g$ minstens één nulpunt?

Elke derdegraads vergelijking heeft minstens één oplossing.

In het volgende hebben we een rekenregel voor derdemachts-wortels nodig.

Voor positieve getallen $a$ en $b$ geldt:
$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}$

Dat deze regel juist is kun je als volgt inzien.
${(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b})}^{3} = {(\sqrt[3]{a})}^{3} \cdot {(\sqrt[3]{b})}^{3} = a \cdot b$ en ${(\sqrt[3]{a \cdot b})}^{3} = a \cdot b$ , dus $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$ en $\sqrt[3]{a \cdot b}$ hebben dezelfde derdemacht, dus ze zijn gelijk (omdat de functie $x \to x^{3}$ stijgend is).

Gegeven is de functie $f : x \to x^{3} - 12 x - 20$ .

Bereken de extreme waarden van $f (x)$ exact.

Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking $x^{3} = 12 x + 20$ ?

De formule van Cardano levert de oplossing $\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{4}$ .

Reken dat na.

Controleer door in te vullen dat $\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{4}$ aan de vergelijking $x^{3} = 12 x + 20$ voldoet.

Voor welke waarden van $a$ heeft de vergelijking $x^{3} = 12 x + a$ twee oplossingen en voor welke waarden van $a$ drie?

Gegeven is de vergelijking $x^{3} = 9 x + 28$ .

Bereken een oplossing met de formule van Cardano.

Heeft de vergelijking nog andere oplossingen?

In sommige gevallen levert de formule van Cardano niets op, in andere gevallen wel, maar dan vind je misschien niet alle oplossingen.
Om met de formule van Cardano oplossingen van een derdegraadsvergelijking te vinden, moet je wortels van negatieve getallen trekken en accepteren dat de vergelijking $x^{3} = 1$ meer dan één oplossing heeft.

Rafaël Bombelli (1526-1572) kwam op het idee met wortels uit negatieve getallen te rekenen in zijn boek Algebra.

Titelpagina van het boek 'Algebra' van Bombelli

In opgave 4 hebben we de volgende vergelijking bekeken:
$x^{2} - 2 x + 2 = 0$ . Als we Bombelli volgen vind je:
$x^{2} - 2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = ‐ 1$ $\Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{‐ 1}$ .
Dat $1 + \sqrt{‐ 1}$ oplossing is controleer je, rekenend als Bombelli, zó:
${(1 + \sqrt{‐ 1})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{‐ 1}) + 2 =$
$1 + 2 \sqrt{‐ 1} + {(\sqrt{‐ 1})}^{2} - 2 - 2 \sqrt{‐ 1} + 2 =$
$1 + ‐ 1 = 0$ .
Bombelli behandelde $\sqrt{‐ 1}$ net als alle andere getallen.

Controleer, rekenend als Bombelli, dat $1 - \sqrt{‐ 1}$ oplossing van de vergelijking $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ is.

Laat, rekenend als Bombelli, zien dat $\sqrt[3]{‐ 1 + \sqrt{‐ 7}} \cdot \sqrt[3]{‐ 1 - \sqrt{‐ 7}} = 2$ .

Bekijk de vergelijking $x^{3} = 6 x - 2$ .

Geef de oplossing die je met de formule van Cardano krijgt.

Controleer, rekenend als Bombelli, dat je antwoord uit vraag c aan de vergelijking $x^{3} = 6 x - 2$ voldoet.

We introduceren het getal $i$ met de eigenschap $i^{2} = ‐ 1$ . Als je hiermee wilt gaan rekenen, heb je ook $2 i$ nodig, en $1 + 2 i$ , enzovoort. We werken dus met getallen van de vorm $a + b i$ , waarbij $a$ en $b$ gewone reële getallen zijn. De reële getallen maken ook deel uit van de getallen van de vorm $a + b i$ ; je krijgt ze door $b = 0$ te nemen. De manier waarop we getallen van de vorm $a + b i$ optellen en vermenigvuldigen, moet zó gaan dat rekenregels zoals de commutatieve, distributieve en associatieve wet blijven gelden.

Als $x = 2 + 3 i$ en $y = 1 - 4 i$ , wat zou dan $x + y$ en $x \cdot y$ volgens jou moeten zijn?

We spreken de volgende optelling en vermenigvuldiging af voor de getallen $x = a + b i$ en $y = c + d i$ :
$x + y = (a + c) + (b + d) i$
$x \cdot y = (a c - b d) + (a d + b c) i$ .
De verzameling getallen $a + b i$ met $a$ en $b$ reëel met de optelling en de vermenigvuldiging zoals hierboven, noemen we de verzameling van complexe getallen, die we met $ℂ$ noteren. In $ℂ$ gedraagt de optelling vermenigvuldiging zich net zo als in $ℝ$ .
Zo geldt bijvoorbeeld de distributieve wet:
$z \cdot (w + u) = z \cdot w + z \cdot u$ .

Dat deze rekenregel geldt, zie je door uitschrijven. Voor complexe variabelen gebruiken we vaak de letters $z$ en $w$ , enzovoort, in plaats van $x$ en $y$ enzovoort, die we meestal voor reële variabelen reserveren.
In het bijzonder gelden de zogenaamde merkwaardige producten voor complexe getallen.

merkwaardige producten
${(z + w)}^{2} = z^{2} + 2 z w + w^{2}$
${(z - w)}^{2} = z^{2} - 2 z w + w^{2}$
$(z + w) (z - w) = z^{2} - w^{2}$

Merkwaardig moet hier in een oude betekenis gelezen worden: waard om te merken = onthouden. Dat bijvoorbeeld ${(z + w)}^{2} = z^{2} + 2 z w + w^{2}$ volgt uit de distributieve wet als volgt:
${(z + w)}^{2} = (z + w) (z + w) = (z + w) z + (z + w) w =$
$z^{2} + w z + z w + w^{2} = z^{2} + 2 z w + w^{2}$ .

Ga na of je antwoorden van opgave 8 kloppen met de optelling en vermenigvuldiging zoals hierboven gedefinieerd is.

Bereken (dat wil zeggen: schrijf in de vorm $\dots + \dots \cdot i$ ):

${(2 i)}^{3}$	$2 i^{3}$	$i^{10}$
$(1 + i) (1 - i)$	${(2 + i)}^{2}$	$(2 + i) (1 - 2 i)$
$(4 + 3 i) (4 - 3 i)$	${(1 + i)}^{2}$	${(1 + i)}^{3}$

Geef twee complexe getallen waarvan het kwadraat $‐ 4$ is

Bereken $z \cdot 1$ .

Om in $ℝ$ kwadratische vergelijkingen op te lossen, kun je kwadraatafsplitsen. Dat werkt ook in $ℂ$ .

We bekijken nog eens de vergelijking $z^{2} - 2 z + 2 = 0$ , zie opgave 4, maar nu zoeken we complexe oplossingen.
Die vergelijking is gelijkwaardig met de vergelijking
${(z - 1)}^{2} = ‐ 1$ .

Ga dat na.

Welke twee complexe getallen kan $z - 1$ dus zijn? En welke $z$ ?

Zoek twee oplossingen in $ℂ$ voor de volgende vergelijkingen. Schrijf die oplossingen in de vorm $\dots + \dots i$ .

${(z - 3)}^{2} = ‐ 25$	$z^{2} - 10 z + 29 = 0$
$z^{2} - 10 z + 27 = 0$	$z^{2} - 2 i z + 3 = 0$

Bereken ${(1 + i \sqrt{3})}^{3}$ en ${(1 - i \sqrt{3})}^{3}$ .

Bereken ${(‐ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3})}^{3}$ en ${(‐ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i \sqrt{3})}^{3}$ .

Van welke derdegraadsvergelijking zijn $‐ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i \sqrt{3}$ en
$‐ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}$ oplossingen?

Kun je nu ook drie oplossingen van de vergelijking $z^{3} = 8$ geven?

We bekijken de vergelijking $z^{3} = 6 z + 4$ . De formule van Cardano geeft: $z = \sqrt[3]{2 + 2 i} + \sqrt[3]{2 - 2 i}$ .

Ga dat na.

Ga na dat ${(‐ 1 + i)}^{3} = 2 + 2 i$ en ${(‐ 1 - i)}^{3} = 2 - 2 i$ .

Als je nu uit opgave 14b concludeert dat $\sqrt[3]{2 + 2 i} = ‐ 1 + i$ en dat $\sqrt[3]{2 - 2 i} = ‐ 1 - i$ , dan geeft de formule van Cardano de oplossing $z = ‐ 2$ .
Als je met complexe getallen werkt en complex derdemachtswortels kunt trekken, werkt de formule van Cardano!
Hoe je complex derdemachtswortels trekt, zullen we in de volgende paragraaf zien.