We hebben ons getalbegrip steeds uitgebreid.
Dit vonden we nodig om ook oplossingen te hebben voor vergelijkingen als:
,
,
,
.
Zo krijg je de uitbreiding .
In dit hoofdstuk breiden we onze getalverzamelingen uit tot , de verzameling van de
complexe getallen.
Complexe getallen hebben de vorm , met
en uit .
Een complex getal kunnen we voorstellen als een punt
in een tweedimensinaal assenstelsel.
Als , dan
is het reële deel van , notatie en
het imaginaire deel van
, notatie .
De getallen met vormen de
reële as en de getallen met
vormen de
imaginaire as.
We kunnen de verzameling van de reële getallen opvatten
als een deel van de complexe getallen: het zijn namelijk
de getallen met .
In is een optelling en
vermenigvuldiging gedefinieerd als volgt.
Als en
, dan:
en
.
Voor deze optelling en vermenigvuldiging gelden, zoals in de
commutatieve, associatieve en distributieve wetten.
Ook is er een neutraal element voor de optelling en
een neutraal element voor de vermenigvuldiging met de eigenschap:
en
voor elk getal
uit .
En net zoals in is er voor elk getal
een tegengestelde dat we met
noteren zó, dat
.
Als heeft
ook een inverse die we met
noteren met de eigenschap dat
.
In het -vlak kunnen we het
getal plaatsen in het punt
.
Als het ons uitkomt zien we ook als een vector .
De optelling gaat vectorieel.
We gebruiken ook vector- en parameter-voorstellingen.
is de vector bij complex getal .
Een parametervoorstelling van de lijn door de complexe getallen en
is , waarbij
alle mogelijke waarden uit aanneemt.
Als de vector bij een complex getal de eenheidscirkel in
snijdt, dan
definiëren we het argument van , notatie , met .
Hierbij nemen we
.
Met de absolute waarde van , notatie , bedoelen we de afstand van
tot .
Als , noemen we
unitair.
Als en
, dan
.
Het getal schrijven we ook wel als
.
Elk unitair getal kan zo geschreven worden.
Voor twee complexe getallen en geldt:
(op een veelvoud van na).
Hieruit volgt dat vermenigvuldigen met
linksom draaien om is over een hoek van
radialen.
De oplossingen van de vergelijking, met
vormen een regelmatige -hoek op de
eenheidscirkel in het complexe vlak.
Ze zijn van de vorm
met
.
De complex geconjugeerde van een getal
, notatie
, is .
De getallen en
zijn elkaars
spiegelbeeld in de reële as.
Voor alle complexe getallen en geldt:
Als , dan is reëel.
Uit 3. volgt:
Als , dan
.