Omdat de oplossingsfunctie differentieerbaar is, is de afgeleide in een punt waar de functie een extreem heeft. Als , dan .
Zo'n functie heeft formule .
Enerzijds geldt en anderzijds
geldt . Dus klopt.
, dus
; uit volgt , dus .
-
De grafiek wordt nagenoeg recht.
; , dus de asymptoten zijn en .
, dus
het gemiddelde is .
De grafiek is puntsymmetrisch in .
De differentiaalvergelijking heeft als oplossingsfunctie . Dus . De bijbehorende differentiaalvergelijking is:
, dus het verzadigingsniveau is .
, dus is maximaal als , dan .
; de helling van een constante functie is in elk punt , dus . Dus .
Een buigpunt ligt op hoogte verzadigingsniveau, dusop hoogte . Voor alle punten met geldt: .
Werk de haakjes weg en deel beide kanten door .
Dit volgt direct uit de kettingregel, is de ketting: .
Dit volgt meteen uit de twee voorgaande onderdelen.
Er geldt: en
. Omdat
volgt hieruit:
.
Aan de tweede differentiaalvergelijking wordt voldaan als de functie stijgend is in .
Enerzijds , anderzijds . Klopt dus.
, dus die functie is: .
De formule is van de vorm . Substitutie in de
differentiaalvergelijking geeft:
. Dus
en
. Dus
en .
De functie heeft formule
.