In deze paragraaf zoeken we oplossingen van differentiaalvergelijkingen waarvan de variabelen te scheiden zijn.
Gegeven is de differentiaalvergelijking: .
Als er functies en (van één variabele) zijn zó, dat
, dan is de
differentiaalvergelijking een differentiaalvergelijking met te scheiden variabelen.
Als zijn de variabelen te scheiden met
en
.
Als zijn de variabelen niet te scheiden.
Dat jij de variabelen van niet kunt scheiden, betekent nog niet dat ze niet te scheiden zijn.
Veronderstel dat ze wel te scheiden zijn, dan zijn er functies en
zó, dat .
Voor invullen geeft:
, dus is
een constante functie. Evenzo vind je door voor
in te vullen dat
een constante functie is. Maar dan zou
ook constant zijn en dat is een tegenspraak, dus zijn de variabelen niet te scheiden.
Ga van de volgende functies na of de variabelen te scheiden zijn.
Zoja, laat zien hoe.
(met en positief)
Stelling
Gegeven is de differentiaalvergelijking .
Neem aan: is een primitieve functie van en
een primitieve van de functie .
Dan zijn de functies met voor elke constante
oplossing van de differentiaalvergelijking.
Voordat we de stelling in opgave 3bewijzen, eerst een voorbeeld.
Gegeven is de differentiaalvergelijking .
Van deze differentiaalvergelijking kun je de variabelen scheiden: met
en
.
Dan en
, dus je kunt bijvoorbeeld nemen:
en
.
Volgens de stelling zijn de functies met
oplossing van de differentiaalvergelijking.
Je kunt deze functies schrijven als:
.
Door te schrijven voor de constante , vind je:
de functies met
zijn oplossing van de differentiaalvergelijking .
Als , krijg je ook een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking.
Controleer door substitutie dat de functies aan de differentiaalvergelijking voldoen.
Gegevens zijn als in de stelling.
Toon aan: .
Waarom geldt: ?
Hoe volgt uit de twee vergelijkingen dat voor de functies met volgt: ?
Notatie
Vaak wordt een primitieve van een functie genoteerd met
.
Zo is en
, waarbij
een constante is.
Het oplossing van de differentiaalvergelijking in het vorige voorbeeld ziet er in deze notatie zó uit.
|
|
|
Deel door (variabelen scheiden) |
|
|
|
Vermenigvuldig met (variabelen scheiden) |
|
|
|
Zet er 'vleeshaken' voor. |
|
|
|
Uitrekenen |
|
|
|
en zijn eerder genoemd bij het intermezzo over Leibniz in paragraaf 2. Ook komen ze in de integraalnotatie voor.
Geef een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking
met
beginwaarde .
|
|
|
Delen door (variabelen scheiden) |
|
|
|
Vermenigvuldigen met |
|
|
|
Vleeshaken zetten |
|
|
|
Uitrekenen |
|
|
|
Dus .
Uit volgt:
, dus
.
Geef een oplossingsfunctie van de volgende beginwaardeproblemen.
en
.
Zie opgave 6: een trechter vullen.
en
.
Zie opgave 12.
met
.
Zie opgave 15: een leegstromend vat.
en
.
Zie opgave 22.
en
.
Zie opgave 21 over de mottenbal.
en (afkoeling).
In opgave 15 brandde in uur een kaars af.
Er geldt:
en
.
Hierbij is de lengte van de kaars (in cm),
de tijd in uur en een constante die onder andere van de
kwaliteit van de was afhangt.
Laat zien dat de differentiaalvergelijking leidt tot: de oplossingen , waarbij constant is.
Schrijf als functie van , zonder de constanten en .
Geremde groei
In deze opgave lossen we de differentiaalvergelijking
op
voor willekeurige getallen en
.
Variabelen scheiden geeft:
.
Het probleem is een primitieve te vinden van .
Welke primitieve vind je als ?
Als , moet je breuksplitsen: je kunt schrijven als .
Zoek uit welke getallen op de stippellijnen moeten staan.
Uit het antwoord op het vorige onderdeel volgt:
voor willekeurige .
Ga dat na.
Uit volgt: , dus , dus , met .
Laat zien dat deze laatste vorm te herschrijven is als
Ga na dat hieruit de formule voor de oplossingsfuncties voor geremde groei volgt.
Geef oplossingsfuncties van de volgende beginwaardeproblemen.
, beginwaarde
, beginwaarde
, beginwaarde
, beginwaarde
beginwaarde
, beginwaarde