Stel dat er in een winkel gemiddeld 10 klanten per uur
komen.
Wat is dan de kans dat er in het komende kwartier
precies 3 klanten komen.
Dit is het centrale thema van deze paragraaf. Wij gaan
die kans precies berekenen.
Waarom is het belangrijk voor de winkelier (bedrijfsleiding) om te weten wat de kans is op klanten in een kwartier?
Hoe groot schat jij de kans op klanten in een kwartier als er gemiddeld per uur komen? Het gaat erom of je een idee hebt; je kunt natuurlijk onmogelijk zomaar die kans berekenen.
Stel dat je weet dat er komend uur precies klanten komen. (Hoe je dat te weten bent gekomen doet er nu even niet toe.) Maar je hebt geen idee wanneer ze in die periode van een uur zullen komen: elk moment is voor elk van de klanten even waarschijnlijk. Ze komen onafhankelijk van elkaar.
Wat betekent het dat ze onafhankelijk van elkaar komen?
Wat is de kans dat er in het eerste halfuur komen en de andere in het tweede halfuur?
Stel dat de winkelier geen personeel heeft en stel dat elke klant precies minuten nodig heeft om geholpen te worden.
Hoe groot schat jij de kans dat geen enkele klant hoeft te wachten? Licht je antwoord toe.
Sommige winkels proberen de wachttijden bewust klein
te houden. Door deze service willen ze klanten winnen
en vasthouden. Het is duidelijk dat het kunnen inschatten
van wachttijden voor deze winkels erg belangrijk is. In dit
hoofdstuk willen we zicht krijgen op deze problematiek.
We bekijken een periode van uur als geheel en opgesplitst
in twee periodes van uur.
is de kans op precies
klanten in dat uur,
is de kans op klanten in een halfuur.
Er geldt .
Immers, de kans op klanten in een uur
de kans op klanten in het eerste half uur én klanten in
het tweede half uur
de kans op klanten in het eerste half uur
de kans op klanten in het tweede half uur.
Druk zo ook uit in en .
Druk uit in , , en .
Als er klanten in het eerste halfuur komen én
in het
tweede halfuur, dan komen er klanten in het hele uur
én die komen allemaal in de eerste helft van dat uur.
Dit vertalen we in kansen:
.
Gebruik in de volgende vraag een soortgelijke redenering.
Neem over en vul het passende in: .
Uit en
volgt:
.
Laat dat zien.
Druk zo ook uit in .
Controleer of de formule uit onderdeel c klopt voor het geval .
Als we en
zouden kennen, zouden we alle
kansen P½(n) kennen.
Het gaat niet zo zeer om de
kansen en
zelf, maar om hun verhouding
.
Die verhouding noemen we λ.
Uit opgave 13c volgt dan:
.
We noteren .
Dan
,
.
Dus: .
Dit laatste bewijzen we in de volgende opgave.
Druk achtereenvolgens , , , en uit in en .
Geef een formule voor , uitgedrukt in en .
Als je zou kennen, zou je λ kunnen uitrekenen (en
omgekeerd, want de som van alle kansen ,
is
.
Daarvoor moet je wel oneindig veel kansen optellen en
dat is geen sinecure.
Dus: , in de
notatie:
.
In Appendix A wordt uitgelegd dat .
, dus:
Neem ; dan is er dus % kans dat er in een half uur geen klanten komen in de winkel.
Bereken exact en geef een benadering in vie decimalen.
Druk algemeen uit in .
Een voorval, bijvoorbeeld een klant komt binnen, kan
optreden of niet. We nemen aan dat de voorvallen
onafhankelijk van elkaar optreden. We tellen het aantal
keer dat een voorval optreedt in een zekere tijdsperiode.
Dat aantal noemen we .
De verhouding
noemen we .
Dan is de kans op voorvallen in die tijdsperiode voor
.
We zeggen dat Poissonverdeeld is met
parameter λ.
We gaan de verwachtingswaarde van een Poissonverdeelde
stochast met parameter uitrekenen.
Die verwachtingswaarde is per definitie:
Toon aan: .
is het aantal keer dat een voorval optreedt in een
zekere tijdsperiode. De voorvallen treden onafhankelijk
van elkaar op.
Zeg dat het voorval gemiddeld keer in de tijdsperiode
optreedt (dat is dus de verwachtingswaarde).
Dan is Poissonverdeeld met
parameter λ en
voor .
Neem aan: het aantal klanten per uur is en heeft parameter .
Noem het aantal klanten per half uur . Dan heeft
parameter .
In opgave 12a hebben we gezien: ,
zonder de kansen van de Poissonverdeling te gebruiken.
Controleer dat de gelijkheid geldt met de Poissonkansen en .
In opgave 12b heb je gezien dat , zonder de kansen van de Poissonverdeling te gebruiken.
Controleer dat de gelijkheid geldt met de Poissonkansen , , en .
Terugblik
We zijn geïnteresseerd in de kansverdeling van het
aantal voorvallen in een uur als er gemiddeld
voorvallen per uur plaatsvinden.
We nemen aan dat de voorvallen onafhankelijk van
elkaar plaatsvinden.
We hebben gezien:
Het aantal voorvallen per uur hangt samen met het aantal voorvallen per half uur.
De kans op voorvallen in een uur gelijk is aan de kans op voorvallen in een uur, enzovoort.
De kans op voorvallen in een uur is de kans op voorvallen in een uur.
Omdat alle kansen samen zijn, kon de kans op voorvallen in een uur worden uitgerekend: die is .
Als er per uur gemiddeld klanten (onafhankelijk van
elkaar) in een winkel komen, komen er natuurlijk
gemiddeld klanten per half uur.
Daar zal niemand aan twijfelen. Dat kun je ook formeel
bewijzen. Als volgt.
Het aantal klanten dat in een uur komt is
Poissonverdeeld
met parameter .
Het aantal klanten in een halfuur is ook Poissonverdeeld.
We gaan bewijzen: de parameter van is
is.
Splits een uur op in twee halve uren. Het aantal klanten
in het eerste halfuur noemen we en in het tweede
halfuur .
Dan ; dus .
Omdat , volgt hieruit dat
en
dat is de parameter.
Neem aan dat het aantal klanten in uur Poissonverdeeld is met
gemiddelde .
Dan is het aantal klanten in uur Poissonverdeeld
met gemiddelde .
In een jaar komen er gemiddeld brandmeldingen voor in een zekere stad.
Bereken de kans dat er morgen precies twee brandmeldingen zijn.
Er vallen in Nederland jaarlijks gemiddeld fietsdoden in het verkeer.
Bereken de kans dat er morgen drie fietsdoden vallen.
Je kunt de kansen uit de voorgaande onderdelen ook rechtstreeks op de GR berekenen.
Zoek uit hoe dat op jouw machine gaat.
Op de GR kun je niet alleen de kans op drie fietsdoden morgen rechtstreeks berekenen
maar ook de kans op hoogstens drie fietsdoden.
De eerste kans noteren we met
en de tweede met
.
Zie opgave 18b
Gemiddeld worden er elke dag in Nederland baby's geboren.
Bereken de kans dat er morgen niet meer dan baby's geboren worden in Nederland.
Er vallen in Nederland jaarlijks gemiddeld fietsdoden in het verkeer.
Bereken de kans dat er in een jaar minder dan fietsdoden vallen in het verkeer.
Gegeven zijn twee Poissonverdeelde stochasten en
met parameters en
, onafhankelijk van elkaar.
Dan is
Poissonverdeeld met parameter .
We bewijzen bovenstaande in de volgende opgave.
Gegeven zijn twee Poissonverdeelde stochasten en
met parameters en
, onafhankelijk van elkaar.
Er geldt:
.
Ga dat na en druk uit in en .
Ga na dat in het vorige onderdeel bewezen is dat de kans op de uitkomst is op een Poissonverdeelde stochast met parameter .
|
|
Twee winkels en zijn elkaars concurrenten. De aantallen
klanten en die deze per uur krijgen zijn Poissonverdeeld
met gemiddelden respectievelijk en .
Een klant gaat naar een van de twee winkels.
Wat is, denk je, de kans dat hij naar de eerste winkel gaat?
Waarschijnlijk heb je bij onderdeel a intuïtief de juiste
kans gegeven. We gaan die kans berekenen. Bedenk dat:
.
Schrijf de drie Poissonkansen op:
,
,
Bereken hieruit .
Had je in onderdeel a dit antwoord?
Stel je weet dat er in totaal klanten naar de winkels gaan, maar je weet van geen van de klanten in welk van de twee winkels ze binnen zullen gaan.
Bereken de kans dat er naar de eerste winkel gaan (en dus naar de tweede).
Twee winkels zijn elkaars concurrenten. De aantallen
klanten en
die deze per uur krijgen zijn Poissonverdeeld
met gemiddelden respectievelijk
en
.
Stel je weet dat er in totaal klanten naar de winkels gaan,
maar je weet van geen van de klanten naar welke van de
twee winkels ze gaan.
Dan is het aantal klanten dat naar de eerste winkel gaat
binomiaal verdeeld met herhalingen en succeskans
.
Speciaal bij zeldzame gebeurtenissen speelt de Poissonverdeling een belangrijke rol.
In de volgende opgave hebben we nog een andere eigenschap van de exponentiële functie met grondtal nodig. Deze wordt bewezen in appendix C.
en dit klopt beter naarmate
groter wordt:
.
Een zekere ziekte is zeer zeldzaam: één op de honderdduizend
mensen heeft haar. De kans dat iemand de
ziekte heeft is dus .
De ziekte is niet overdraagbaar en ook niet erfelijk
bepaald. We mogen het hebben-van-de-ziekte voor een
individu dus onafhankelijk beschouwen van het al dan
niet hebben-van-de-ziekte van andere personen.
Er zijn duizend Amsterdammers. Het aantal Amsterdammers
dat de ziekte heeft noemen we .
Wat is de verwachtingswaarde van ?
Elke Amsterdammer heeft kans om de ziekte te hebben, onafhankelijk van zijn stadsgenoten. Dus is binomiaal verdeeld met parameters en .
Bereken .
We bekijken nu de Poissonverdeelde stochast met parameter .
Bereken .
Als het goed is, heb je in b en c (nagenoeg) hetzelfde
antwoord gekregen. In het vervolg gaan we na waarom dat zo is.
.
Ga na: .
Ga na: .
Gebruik het theorieblok hierboven.
Toon aan dat uit het voorgaande volgt dat en nagenoeg gelijk zijn.
is binomiaal verdeeld met parameters
en ,
waarbij klein en groot is,
is Poissonverdeeld met parameter
.
Dan zijn en
nagenoeg gelijk.
Dus hebben en nagenoeg dezelfde kansverdeling.
Rekenmachines hebben een beperkt rekendomein. Op sommige machines moet de parameter bij de binomiale verdeling kleiner dan miljoen zijn. Als groter dan miljoen is (en klein) brengt de Poissonverdeling uitkomst.
In de figuur hieronder kun je de binomiale verdeling met
en
vergelijken met de
Poissonverdeling met .
In 1837 introduceerde de Franse wiskundige Poisson
een benadering van de binomiale kansverdeling. Hij
bekeek de al geruime tijd bekende binomiale verdeling
voor gevallen waarbij het aantal herhalingen heel groot
is en de succeskans heel klein. Hij liet zien dat de
binomiale kans op successen
nagenoeg gelijk is aan
waarin de verwachtingswaarde van is.
Dat is precies wat we in opgave 22 hebben laten zien.
Voor deze verdeling hoef je de kans op succes per
kansexperiment niet te weten. Als verwachtingswaarde
gebruik je het gemiddelde aantal "successen" bij een
aantal series van kansexperimenten.
Poisson besteedde niet meer dan één bladzijde aan zijn
ontdekking.
De Duitse wiskunde L. von Bortkiewicz was de eerste die
het belang van de Poissonverdeling onderkende. Van
hem is het volgende voorbeeld afkomstig.
Hij bekeek het aantal doden per jaar onder de Pruisische
cavaleristen door een trap van een paard. Er zijn
inderdaad veel herhalingen met een zeer kleine "succes"-
kans (een dodelijke trap van een paard).
Het veelvuldig optreden van Poissonkansen in het dagelijks
leven is niet zo vreemd als je dit voorbeeld bekijkt. In
veel praktische situaties is er sprake van een zeer groot
aantal uitvoeringen en een zeer kleine (onbekende)
succeskans.
De zeldzame ziekte van de vorige opgave komt voor bij op de mensen. Nederland telt miljoen mensen.
Bereken de kans dat er in Nederland ten hoogste mensen met de ziekte zijn.
Von Bortkiewicz telde in regimenten over jaren (1875 t/m 1894) in totaal doden door een trap van een paard. Hij concludeerde dat per regiment per jaar het aantal door een trap van een paard gedode cavaleristen Poissonverdeeld was met verwachtingswaarde .
Bereken de kansen dat in een regiment in een jaar , en doden vielen door een trap van een paard.
De lotto is een kansspel. De speler kruist zes nummers aan uit 1 t/m 45 en kiest een van de zes mogelijke kleuren. De notaris trekt ook zes nummers en een kleur; als die nummers precies hetzelfde zijn aan de zes die de speler koos, en bovendien de kleur hetzelfde is, wint hij de jackpot.
Ga na dat de kans daarop is.
Stel dat er in een week miljoen lottoformulieren worden ingevuld. De jackpot valt als iemand de juiste zes nummers én de juiste kleur heeft gekozen.
Bereken de kans dat de jackpot in een zekere week niet valt.
Als meer dan een speler alles goed heeft, moeten de gelukkigen de jackpot delen.
Bereken de kans dat de jackpot moet worden gedeeld.