10.1 Gelijke afstand >

Hoofdstukken > Conflictlijnen

In 1961 werd bekend dat er in de bodem van de Noordzee aardgas te vinden was. Toen werd het dus van belang uit te maken welk deel van de Noordzee bij welk land hoort. In 1970 kwam hierover een verdrag tot stand. Uitgangspunt daarbij was dat elk stukje van de zeebodem hoort bij het land waar het het dichtst bij ligt.
Dat noemen we het naastebuurprincipe.

Hoe ver ligt het ‘drielandenpunt’ van Noorwegen, Denemarken en Groot-Brittannië van de drie landen af?

Ga na dat Duitsland meer heeft gekregen dan waar het volgens het naastebuurprincipe recht op had.

Anneke woont in Lobith, waar de Rijn de grens Nederland- Duitsland passeert. Ze wil een dagje gaan zwemmen in de Noordzee.

Hoe ver woont Anneke (hemelsbreed) van de Noordzee?

Hoever liggen Duitsland en Engeland van elkaar af?

Hoe meet je eigenlijk de afstand tussen een punt en een gebied, of tussen twee gebieden?

Afstand meet je langs een kortst recht verbindingslijnstuk.

Stelling
De kortste verbinding van een punt $A$ met een lijn k is een loodlijnstuk vanuit $A$ op $k$ .

Bewijs
Neem aan: de loodrechte projectie van $A$ op $k$ is $S$ en $P$ is een ander punt dan $S$ op lijn $k$ .
Dan is $| A S | < | A P |$ volgens de stelling van Pythagoras.

Bewijs de stelling met de driehoeksongelijkheid.

(hint)

Spiegel

A

k

Een kustlijn maakt twee scherpe hoeken: een landinwaartse en een zee-inwaartse. Het plaatje staat ook vergroot op het werkblad. De punten die op afstand $3$ mijl uit de kust liggen, vormen de driemijlslijn.

Teken de driemijlslijn. Pas op: hij loopt bij de landinwaartse hoek heel anders dan bij de zee-inwaartse hoek.

De driemijlslijn bestaat uit drie rechte stukken en één cirkelboog.

Geef op het werkblad precies aan waar de cirkelboog aansluit op twee van de rechte stukken.

In een perfect rond meertje staat een aanlegsteiger.
Anneke vist in het meertje op forel. Ze kan elke plek aan de rand van de vijver en op de steiger kiezen. In de figuur zie je Anneke op een bepaalde plaats $A$ staan. Als ze haar hengel zo ver mogelijk over de vijver steekt, komt de dobber op plek $D$ .

Kleur op het werkblad het gebied waar de forellen geen gevaar lopen door Anneke te worden verschalkt.

De diameter van het meertje is $18$ meter. De steiger is $4$ meter breed en is in het midden $8$ meter lang.

Hoe lang moet Annekes hengel minstens zijn, opdat de vissen alleen nog maar onder de steiger veilig zijn?

Gegeven is een gebied.
De punten die buiten het gebied liggen, op afstand $x$ van de rand van het gebied, vormen de zogenaamde iso-x-afstandslijn.

Hoe lang is de iso- $x$ -afstandslijn bij een cirkelvormig gebied met straal $2$ (uitdrukken in $x$ )?

Hoe lang is de iso- $x$ -afstandslijn bij een driehoek met zijden $3$ , $4$ en $5$ ?

Hoe lang is de iso- $x$ -afstandslijn bij een rechthoek met zijden $2$ en $5$ ?

Een vierhoekig gebied heeft zijden van $2$ , $3$ , $4$ en $5$ en heeft geen inspringende hoeken.

Hoe lang is de iso- $x$ -afstandslijn? Leg uit dat je daarvoor niet de vorm van het gebied hoeft te weten.

Dezelfde vragen als bij opgave 5, maar nu voor de oppervlakte van de zone tussen de iso- $x$ -afstandslijn en het gebied.

We bekijken een land met een V-vormige inham. De vier stukken kustlijn zijn allemaal recht. Bij het plaatje is een schaalstok getekend. De inham is een gelijkzijdige driehoek met zijde $4$ .

Teken op het werkblad in zee de iso- $1$ -afstandslijn, de iso- $2$ -afstandslijn en de iso- $3$ -afstandslijn. Geef nauwkeurig aan waar de rechte stukken op de cirkelbogen aansluiten.

De iso- $1$ -afstandslijn en de iso- $2$ -afstandslijn bestaan uit twee cirkelbogen en vier rechte stuken.
De iso- $3$ -afstandslijn bestaat uit twee cirkelbogen en twee rechte stukken.

Bereken exact de kleinste waarde van $x$ , waarvoor de iso- $x$ -afstandslijn uit twee cirkelbogen en twee rechte stukken bestaat.

In de vorige opgave maken de cirkelbogen van de iso- $3$ - afstandslijn een stompe hoek met elkaar.

Laat $S$ een gemeenschappelijk punt zijn van twee cirkels. Bekijk op beide cirkels een boog met eindpunt $S$ . Onder de hoek die deze cirkelbogen met elkaar maken, verstaan we de hoek die de bijbehorende halve raaklijnen met elkaar maken, in de figuur α.

Opmerking:

In de figuur zijn de middelpunten van de cirkelbogen $M$ en $N$ . Omdat de halve raaklijnen loodrecht op de lijnen $M S$ en $N S$ staan geldt:
$α + ∠ M S N = 180 °$ .

Twee even grote cirkels gaan door elkaars middelpunt.

Hoe groot zijn de hoeken die ze maken?

Hoe groot zijn de hoeken die twee rakende cirkels met elkaar maken?

Het zal duidelijk zijn wat we verstaan onder de hoeken die een lijn met een cirkel maakt.

Een lijn snijdt een cirkel met straal $1$ onder hoeken van $45 °$ (en van $135 °$ ).

Hoe lang is het stuk van de lijn dat binnen de cirkel ligt?

Onder welke hoeken snijdt een lijn door het middelpunt een een cirkel?

Bekijk opnieuw de cirkelbogen van de iso- $3$ -afstandslijn van opgave 7.

Bereken de hoek die de cirkelbogen met elkaar maken in graden nauwkeurig.

Toon aan dat de twee cirkelbogen van de iso- $4$ -afstandslijn elkaar onder een hoek van $120 °$ ontmoeten.

Bereken voor welke $x$ de twee cirkelbogen van de iso- $x$ -afstandslijn elkaar ontmoeten onder een hoek van $170 °$ . Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Is er een waarde van $x$ , zo dat de iso- $x$ -afstandslijn geen knik meer heeft?

Je ziet dat, hoe verder de iso-afstandslijn van de kust ligt, hoe kleiner de invloed van de inham op de vorm van de iso-afstandslijn wordt. Maar de invloed zal nooit helemaal verdwijnen. Dit wordt ook fraai geïllustreerd door de iso-afstandslijnen om IJsland.

In de jaren '70 waren Engeland en IJsland in een visserijconflict verwikkeld. Internationaal is vastgelegd dat een zone van 50 mijl voor de kust tot het territorium van het land behoort. IJsland had eigenmachtig die zone vergroot tot 200 mijl om zich te verzekeren van ruimere visgronden. Dit ging ten koste van Britse vissers; vandaar het conflict.
Uit: Pythagoras nr 5, april 1976

Gegeven zijn twee punten: $A$ en $B$ . De iso-afstandslijnen van $A$ zijn cirkels; zo ook van $B$ . Die zijn hieronder getekend.

Hoe vind je in dit plaatje punten die even ver van $A$ als van $B$ af liggen?

Teken op het werkblad alle punten die even ver van $A$ als van $B$ af liggen.
Weet je een naam voor de verzameling van deze punten?

Gegeven zijn twee snijdende lijnen: $a$ en $b$ . De iso-afstandslijnen van $a$ zijn paren lijnen; zo ook van $b$ . Die zijn hieronder getekend.

Hoe vind je in dit plaatje punten die even ver van $a$ als van $b$ af liggen?

Teken op het werkblad alle punten die even ver van $a$ als van $b$ af liggen?
Weet je een naam voor de verzameling van deze punten?

De verzameling punten die even ver van twee punten $A$ en $B$ liggen, is de middelloodlijn van lijnstuk $A B$ .
De verzameling punten die even ver van twee snijdende lijnen $a$ en $b$ afliggen, is het tweetal bissectrices of deellijnen van de hoeken die $a$ en $b$ met elkaar maken. Deze staan loodrecht op elkaar.

De eerste bewering hebben we onder andere in hoofdstuk 4 Hoeken en Bogen gezien.
Daar is ook bewezen dat een punt op een van de bissectrices even ver van $a$ als van $b$ liggen. Maar dan ben je nog niet klaar! Je moet ook nog het omgekeerde bewijzen: als een punt niet op een bissectrice ligt, dan ligt het niet even ver van $a$ als van $b$ .

In de figuur hieronder links zijn getekend de halve lijnen $a$ en $b$ met beginpunt $S$ en de halve lijn $c$ die de hoek tussen $a$ en $b$ middendoor deelt.
$P$ is een punt op $c$ .

Toon aan dat $P$ even ver van $a$ als van $b$ ligt.

(hint)

Gebruik congruentie.

$Q$ in de rechter figuur ligt niet op $c$ .
We gaan bewijzen dat $Q$ dichter bij $b$ dan bij $a$ ligt.
$Q_{a}$ en $Q_{b}$ zijn de projecties van $Q$ op $a$ en $b$ . Het snijpunt van lijn $Q Q_{a}$ met $c$ is $T$ .
De projectie van $T$ op $b$ is $T_{b}$ .

Verklaar waarom geldt:

$| T Q | + | T T_{b} | > | Q T_{b} |$
$| T Q | + | T T_{b} | > | Q Q_{b} |$
$| Q Q_{a} | > | Q Q_{b} |$ .

Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen.

Omschrijf de verzameling punten die op gelijke afstand van de lijnen liggen,

Gegeven zijn twee cirkels met dezelfde straal die elkaar niet snijden.

Omschrijf de verzameling punten die op gelijke afstand van de cirkels liggen.

Gegeven zijn twee gebieden $V$ en $W$ . De punten die even ver van beide gebieden afliggen noemen de conflictlijn van $V$ en $W$ .

Voorbeeld:

De conflictlijn van twee cirkelvormige gebieden met dezelfde straal $r$ en middelpunten $M$ en $N$ is de middelloodlijn van lijnstuk $M N$ . (We nemen aan $| M N | > 2 r$ .)

De kustlijn hieronder bestaat uit twee halve lijnen en een halve cirkel. De halve cirkel heeft straal $20$ km. Het plaatje is getekend op schaal $1 : 10^{6}$ .

Neem het plaatje over en teken in zee de iso-afstandslijn op $20$ km uit de kust.

We bekijken bij een zeker gebied een zekere iso-afstandslijn. Anneke beweert: "als de rand van het gebied geen knik heeft, heeft de iso-afstandslijn ook geen knik".

Is dat waar? Zo ja, leg uit waarom. Zo nee, geef een voorbeeld waaruit blijkt waarom niet.

Je kunt afstanden ook in tijd meten. Hieronder staat een voorbeeld.

Afstanden in 1900 en 1932 te bereiken vanuit Utrecht
in 1, 2, 3 uur enz.

Het betreft hier voorzover bekend de eerste isochronenkaart van Nederland.
Een isochronenkaart is een kaart met isolijnen, die punten verbinden die in eenzelfde reistijd vanuit een centraal punt kunnen worden bereikt. Dat centrale punt is op deze kaart Utrecht en met gebruikmaking van de dienstregelingen van 1900 en 1932 heeft men uitgerekend hoeveel tijd men nodig had om van Utrecht met de trein andere bestemmingen in het land te bereiken. Men kan bijvoorbeeld uit de kaart aflezen dat, waar men in 1900 vier uur nodig had voor de reis Utrecht-Groningen, dat in 1932 in drie uur mogelijk was.
Het is goed om te bedenken dat de kaart alleen geldt voor de bereikbaarheid van stations. Om van Goningen naar Roden te komen, ten zuidwesten van de stad, had men nog weer een uur nodig, ook al ligt Roden zuidelijk van de drie-uur lijn voor 1932.
Isochronenkaart van Nederland.
Verschenen in: Het verkeer te land. A. de spoor- en tramwegen / J.J. Stieltjes. - In: Tijdschrift van het Koninklijk Nederlandsch Aardrijkskundig Genootschap, Ser. 2, dl. 50 (1933), p. 420-478 (p. 460).