1

a

$270$ km

b

Het drielandenpunt van Duitsland, Denemarken en Groot-Brittannië ligt verder van Duitsland ( $540$ km) dan van Groot-Brittannië ( $390$ km).

c

$195$ km

d

$520$ km

e

Langs het kortste verbindingslijnstuk.

2

Het spiegelbeeld van $A$ in $k$ noemen we $B$ . Dan is $k$ de middelloodlijn van lijnstuk $A B$ .
Volgens de driehoeksongelijkheid geldt:
$| A S | + | B S | < | A P | + | B P |$ .
Omdat $| A S | = | B S |$ en $| A P | = | B P |$ volgt hieruit $| A S | < | A P |$ .

3

a

Zie volgend onderdeel.

b

4

a

b

$5$ meter

5

a

$2 π \cdot (2 + x)$

b

$12 + 2 π \cdot x$

c

$14 + 2 π \cdot x$

d

$14 + 2 π \cdot x$
De iso- $x$ -afstandslijn bestaat uit vier rechte stukken van lengte 2, 3, 4 en 5 en uit vier sectoren van een cirkel met straal 2.
Als de hoeken van de vierhoek $α$ , $β$ , $γ$ en $δ$ zijn, zijn de hoeken van de sectoren $180 ° - α$ , $180 ° - β$ , $180 ° - γ$ en $180 ° - δ$ . Deze vullen elkaar exact aan tot een volle cirkel.

6

$π \cdot {(2 + x)}^{2} - π \cdot 2^{2} = π \cdot (x^{2} + 4 x)$ ,
$12 x + π \cdot x^{2}$ ,
$14 x + π \cdot x^{2}$ ,
$14 x + π \cdot x^{2}$

7

a

Zie de figuur hieronder links. De middelpunten van de cirkelbogen zijn $A$ en $B$ .

b

Zie de figuur hierboven rechts.
$\frac{x}{4} = \tan (30 °) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x = \frac{4}{\sqrt{3}} =$ $1 \frac{1}{3} \sqrt{3}$

8

a

$60 °$ en $120 °$

b

$0 °$ en $180 °$

9

a

$\sqrt{2}$

b

$90 °$

10

a

Zie de figuur bij opgave 7. Noem de gevraagde hoek α. Er geldt: $α + ∠ A C B = 180 °$ .
$\sin (\frac{1}{2} \cdot ∠ A C B) = \frac{2}{3}$ , dus $α = 180 ° - 2 \cdot \sin^{- 1} (\frac{2}{3}) \approx 96 °$ .

b

Noem het gemeenschappelijk punt van de twee bogen $D$ , dan is driehoek $A B D$ gelijkzijdig, dus de gevraagde hoek is $180 ° - ∠ A D B = 120 °$ .

c

Noem het knikpunt $E$ . Dan is driehoek $A B E$ gelijkbenig met twee zijden met lengte $x$ en tophoek $∠ A E B = 180 ° - 170 ° = 10 °$ , dus $\frac{2}{x} = \sin (5 °) \Leftrightarrow x = \frac{2}{\sin (5 °)} \approx 22,95$ .

d

Nee, als $S$ het 'overgangspunt' is, dan zouden $A S$ en $B S$ evenwijdig zijn.

11

a

De snijpunten van de cirkels met dezelfde straal.

b

De middelloodlijn van lijnstuk $A B$ .

12

a

Dat zijn de snijpunten van de lijnen die op gelijke afstand van $a$ en $b$ liggen.

b

De vier bissectrices van de hoeken die $a$ en $b$ met elkaar maken.

13

a

De loodrechte projecties van $P$ op $a$ en $b$ $P_{a}$ en $P_{b}$ .
Dan zijn de driehoeken $S P P_{a}$ en $S P P_{b}$ congruent, want ze hebben beide een rechte hoek, de hoeken $P S P_{a}$ en $P S P_{b}$ zijn even groot en de zijde $S P$ hebben ze gemeen (HZH). Dus $| P P_{a} | = | P P_{b} |$ .

b

Vanwege de driehoeksongelijkheid in driehoek $T Q Q_{b}$
Vanwege het vorige punt en $| T Q_{b} | > | Q Q_{b} |$ (afstand punt tot lijn)
Vanweg het vorige punt en $| T Q | + | T T_{b} | = | Q Q_{a} |$

14

a

Dat is de lijn die "halverwege" de twee evenwijdige lijnen ligt.

b

Dat is de middelloodlijn van de middelpunten van de twee cirkels.

15

a

b

Nee. Hiernaast staat een voorbeeld.

De rand van het gebied bestaat uit een kwart cirkel met straal $1$ en twee halve lijnen; hij heeft geen knik. De iso- $1$ -afstandslijn (gestippeld) maakt een hoek van $90 °$ .