10.2 Naastebuurprincipe >

Hoofdstukken > Conflictlijnen

Om een ellipsvormig gebied
We bekijken een ellipsvormig gebied $G$ : grijs in het plaatje hieronder. Anneke tekent drie iso-afstandslijnen van $G$ door de rand van $G$ (zowel horizontaal als verticaal) vanuit het middelpunt te vermenigvuldigen met de factoren $1,2$ , $1,4$ en $1,6$ .

Geef commentaar.

Om een willekeurig gebied
Hoe maak je wel iso-afstandslijnen van een gebied? Bijvoorbeeld de $1$ -iso-afstandslijn.
Teken cirkels met straal $1$ en middelpunt op de rand van het gebied. Als je genoeg cirkels tekent, wordt de $1$ -iso-afstandlijn goed zichtbaar: het is de omhullende van de cirkels. De cirkels vormen tezamen een zone van breedte $2$ om de rand.

Teken die zone zo goed mogelijk op het werkblad.

Zijn de buiten- en binnenrand van de zone gelijkvormig?

Hieronder is een ellips getekend. Deze staat ook op het werkblad.

Teken op het werkblad de "buiten-" en de "binnen- "iso-afstandslijn op afstand $\frac{1}{2}$ van de ellips.

Zijn ze gelijkvormig?

Teken een rechthoek van $2$ bij $4$ cm en teken de iso- $1$ -afstandslijn buiten en binnen de rechthoek.

Anneke zegt dat de conflictlijn tussen binnen- en buiteniso-afstandlijn de rechthoek zelf is.

Heeft Anneke gelijk?

Davidsster
De zijden van de Davidsster hebben allemaal lengte $2$ .

Teken op het werkblad de iso-afstandslijn buiten de ster op afstand $1$ .

Bereken de exacte lengte van deze iso-afstandslijn.

Bereken exact de oppervlakte van de afstand- $1$ -zone buiten de Davidsster.

Twee knikken
Een kustlijn maakt twee rechte knikken. De twee oostwest- kustlijnen zijn $60$ en $30$ km lang, de noord-zuidkustlijn is $20$ km lang; zie de tekening hieronder.

Teken de kustlijn op schaal, maak de noord-zuidkustlijn $2$ cm lang.
Teken daarin ook de twee iso-afstandslijnen $10$ en $20$ km uit de kust,

Bereken de exacte lengte van elk van de iso-afstandslijnen.

Bereken de exacte oppervlakte van de $10$ -km-zone en van de $20$ -km-zone (tussen kust en iso-afstandslijn).

Een gebied $G$ heeft aan een van zijn rechte zijden, $E F$ , een inham, waarvan de rand bestaat uit drie cirkelbogen:
- boog $A B$ is een kwartcirkel met straal $3$ en middelpunt $E$ ,
- boog $C D$ is een kwartcirkel met straal $3$ en middelpunt $F$ ,
- boog $B C$ is een halve cirkel met straal $6$ en middelpunt $M$ .
$E$ , $A$ , $D$ en $F$ liggen op een rechte lijn.

In het plaatje hieronder zijn in de inham de iso-afstandslijnen getekend op de afstanden $1$ , $2$ , $3$ en $4$ van het land.

Teken op het werkblad de iso-afstandslijn waarop het punt $M$ ligt. Licht je werkwijze toe.

Elke iso-afstandslijn bestaat uit drie cirkelbogen. Deze drie bogen sluiten op elkaar aan in de punten $L$ (links) en $R$ (rechts). Zie het plaatje hieronder.

Voor alle punten $L$ geldt: $| L M | + | L E | = 9$ .

Toon dit aan.

Naastebuurprincipe
Twee landen betwisten elkaar de hun omringende wateren. Ze worden het erover eens dat een plek op zee tot dát land behoort, waar hij het dichtste bij ligt. We noemen deze verdeelregel het naastebuurprincipe.
De bijbehorende grenslijn heet de conflictlijn tussen de twee gebieden.
Zie ook paragraaf 1.

Noorderland en Zuiderland verdelen de zee volgens het naastebuurprincipe.

Hierboven zijn de iso-afstandslijnen van beide landen getekend op de afstanden $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ en $6$ uit de kust.
De snijpunten van de overeenkomstige iso-afstandslijnen liggen op de conflictlijn.

Teken de conflictlijn op het werkblad.

De conflictlijn bestaat uit twee rechte stukken en één gebogen stuk.

Geef nauwkeurig aan in welke punten de rechte stukken overgaan in het gebogen stuk.

Leg uit dat de rechte stukken allebei een deel zijn van de bissectrice van een hoek. Van welke hoeken?

Als je de twee rechte stukken van de conflictlijn door trekt, gaan ze een stompe hoek maken.

Hoe groot is die hoek, als de kustlijn van Zuiderland een rechte hoek maakt?

En als die hoek α is?

Een punt van $G_{1}$ dat het dichtst bij P ligt, noemen we een voetpunt van $P$ op $G_{1}$ .

Als je het gebied $G$ als eiland ziet en het gebied eromheen als zee, dan is bij een gegeven punt $P$ in zee het voetpunt $V$ het punt waar je naar toe zwemt als je een zo kort mogelijke afstand wilt zwemmen.

De conflictlijn van twee gebieden wordt gevormd door alle punten die gelijke afstand hebben tot beide gebieden.
Noemen we die gebieden $G_{1}$ en $G_{2}$ , dan geldt dus: punt $P$ ligt op de conflictlijn van $G_{1}$ en $G_{1}$
$\Leftrightarrow d (P, G_{1}) = d (P, G_{2})$ .

Hieronder is een gebied getekend. De rand bestaat uit een halve cirkel en twee lijnstukken. Op de rand zijn vier punten aangegeven: $V_{1}$ , $V_{2}$ , $V_{3}$ en $V_{4}$ .

Geef op het werkblad met kleur alle punten aan waarvan $V_{1}$ het voetpunt is.

Kleur ook alle punten waarvan $V_{2}$ het voetpunt is. En waarvan $V_{3}$ het voetpunt is. En waarvan $V_{4}$ het voetpunt is.

Meer dan één voetpunt
Het gebied hieronder heeft een V-vormige inham.

Waar binnen de inham liggen de punten die twee voetpunten hebben?

Geef een voorbeeld van een gebied en een punt dat drie voetpunten heeft op dat gebied.

Geef een voorbeeld van een gebied en een punt dat oneindig veel voetpunten heeft op dat gebied.

De gebieden $G_{1}$ en $G_{2}$ hebben twee rechte randen die elkaar onder een hoek α ontmoeten. Dan is conflictlijn van de twee randen van $G_{1}$ en $G_{2}$ de bissectrice van hoek α, zie figuur.
De gebieden $H_{1}$ en $H_{2}$ zijn puntvormig. Dan is de conflictlijn van $H_{1}$ en $H_{2}$ de middelloodlijn van lijnstuk $H_{1}$ $H_{2}$ , zie figuur.

Drie landen grenzen aan een binnenzee.

De kustlijnen zijn recht. Welk deel van de zee behoort tot welk land?
De landen gaan een verdrag sluiten waarin dat wordt geregeld. Ze verdelen de binnenzee volgens het naastebuurprincipe.

Verdeel de binnenzee op het werkblad.

Wat is de wiskundige naam voor de conflictlijnen?
Waarom is het zeker dat er een 'drielandenpunt' is?

Wat weet je van de drie afstanden van het drielandenpunt tot de drie kustlijnen?

Vier landen grenzen aan een binnenzee. Ze verdelen de binnenzee volgens het naastebuurprincipe.

Verdeel de binnenzee op het werkblad.

Er zijn twee drielandenpunten: van $A$ , $D$ en $C$ en van $A$ , $B$ en $C$ .
Het verbindingslijnstuk van deze drielandenpunten is grenslijn tussen $A$ 's deel en $C$ 's deel van de binnenzee.
Het is een stuk van de bissectrice van de hoek die de kusten van land $A$ en land $C$ met elkaar maken.

Waarom is dat zo?

Vier centra $A$ , $B$ , $C$ en $D$ verdelen het land volgens het naastebuurprincipe. $A B C D$ is een gelijkbenig trapezium, heeft dus een symmetrieas. Verder $∠ D A B = 59 °$ .

Bepaal op het werkblad de delen van elk land.

Waarom is er een 'vierlandenpunt'?

Bereken de hoeken die de grenzen in het vierlandenpunt met elkaar maken.

Vier centra verdelen het land volgens het naastebuurprincipe.

Bepaal op het werkblad de delen van elk land. Gebruik kleur.

In een cirkelvormig meer liggen twee eilandjes, $M$ en $F$ .
We beschouwen de eilandjes als punten. $M$ ligt precies in het midden van het meer.
$S$ is een punt aan de rand van het meer. Een bootje start in $S$ en vaart in een rechte lijn naar $M$ .

Teken op het werkblad het punt $P$ op de route van het bootje waar het bootje even ver van punt $S$ verwijderd is als van $F$ . Licht je werkwijze toe.

Een ander bootje start in een punt aan de rand van het meer en vaart ook in een rechte lijn naar $M$ . Halverwege is de afstand van het bootje tot het land even groot als de afstand van het bootje tot beide eilandjes.

Teken op het werkblad de punten aan de rand van het meer van waaruit het bootje vertrokken kan zijn. Licht je werkwijze toe.

We kennen de conflictlijn tussen twee lijnen en tussen twee punten. We gaan nu onderzoeken hoe de conflictlijn tussen een punt en een lijn eruit ziet. En ook de conflictlijn tussen een punt en een cirkel.

Tussen punt en lijn
Hiernaast en op het werkblad staat een lijn $k$ en een punt $P$ . Gevraagd wordt de conflictlijn tussen $k$ en $P$ : de verzameling punten op gelijke afstand van $k$ en $P$ . Daartoe tekenen we iso-afstandslijnen van $k$ en $P$ .

Teken op het werkblad de conflictlijn zo goed mogelijk.

Tussen punt en cirkel 1
Hiernaast en op het werkblad staat een cirkel $c$ en een punt $P$ daarbinnen. Gevraagd wordt de conflictlijn tussen $c$ en $P$ : de verzameling punten op gelijke afstand van $c$ en $P$ .
Daartoe tekenen we iso-afstandslijnen van $P$ en $c$ .

Teken op het werkblad de conflictlijn zo goed mogelijk.

Tussen punt en cirkel 2
Hiernaast en op het werkblad staat een cirkel $c$ en een punt $P$ daarbuiten.
Gevraagd wordt de conflictlijn tussen $c$ en $P$ : de verzameling punten op gelijke afstand van $c$ en $P$ .
Daartoe tekenen we iso-afstandslijnen van $c$ en $P$ .

Teken op het werkblad de conflictlijn zo goed mogelijk.

Definitie
Gegeven zijn een punt

F

en een lijn

r

;

F

ligt niet op

r

.
De conflictlijn tussen

F

r

heet een parabool.
Het punt

F

heet het brandpunt van de parabool en de lijn

r

heet de richtlijn van de parabool.

Een punt $P$ ligt op de parabool met brandpunt $F$ en richtlijn $r$ als $d (P, F) = d (P, r)$ .
Als je een punt $P$ hebt, kun je zijn voetpunt $V$ op $r$ bepalen. Omdat $| P F | = | P V |$ , ligt $P$ op de middelloodlijn van lijnstuk $F V$ .
Omgekeerd kun je uitgaande van een voetpunt $V$ op $r$ het bijbehorende punt $P$ op de parabool bepalen. Als volgt.

Richt de loodlijn $k$ in $V$ op $r$ op.
Teken de middelloodlijn van lijnstuk $F V$ .
Het snijpunt $k$ met de middelloodlijn is $P$ .

De constructie van een parabool vanuit voetpunten

Teken een lijn $r$ en een punt $F$ op afstand $1$ cm van $r$ .
Kies vijf voetpunten op $r$ en voer bovenstaande constructie met elk van deze voetpunten uit. Schets daarna de parabool met $F$ als brandpunt en $r$ als richtlijn.

Dezelfde opdracht, maar nu met $F$ op afstand $3$ cm van $r$ .

Het is duidelijk dat de parabool een symmetrieas heeft en een top (dat is het punt dat het dichtst bij de richtlijn ligt). Elke parabool wordt op dezelfde manier geconstrueerd. Het enige verschil is de afstand tussen brandpunt en richtlijn. Maar dat is een kwestie van schaal. Dus alle parabolen zijn gelijkvormig.

Alle parabolen zijn gelijkvormig.

Hieronder staan drie parabolen met hun brandpunten en richtlijnen. De plaatjes zijn zeker niet gelijkvormig.

Teken op het werkblad in elk van de drie plaatjes een rechthoek zoals hiernaast: de onderkant ligt op de richtlijn, het brandpunt is het midden van de bovenkant en twee hoekpunten liggen op de parabool.

Wat is de verhouding van de zijden van de rechthoeken? Waarom?

De stukjes parabool binnen de rechthoeken zien er wel gelijkvormig uit!

$P$ en $Q$ zijn punten van een parabool met richtlijn $r$ .

Bepaal op het werkblad de twee mogelijke plaatsen van het brandpunt.

Schets beide parabolen.

Betwist gebied
Twee landen $A$ en $B$ worden gescheiden door een zee. De kustlijn van $A$ loopt west-oost. De kustlijn van $B$ maakt bij kaap $K$ een hoek van 90°; een deel van de kustlijn loopt noord-zuid en een deel west-oost. De afstand tussen de kustlijnen die west-oost lopen is $40$ km; zie figuur.

Beide landen maken aanspraak op een deel van de zee. Ze vinden beide dat de strook tot $30$ km uit de kust hen toebehoort. Een deel van de zee blijft dus betwist gebied.

Kleur op het werkblad het betwiste gebied.

De zee zou verdeeld kunnen worden volgens het naastebuurprincipe.

Teken op het werkblad de bijbehorende grenslijn.
Licht je werkwijze toe.

Hiernaast is een punt $P$ getekend van de grenslijn bij verdeling volgens het naaste-buurprincipe. Het betwiste gebied heeft een noordrand en een zuidrand.

Toon aan dat $P$ even ver van beide randen afligt.

$F$ is het gebied bestaande uit de punten $(x, y)$ met $x \leq 0$ of $y \leq 0$ en $G$ de cirkel met middelpunt $(3,3)$ en straal $1$ .

Welke drie roosterpunten in de getekende roosterrechthoek liggen op de conflictlijn?

De conflictlijn van de twee gebieden zijn delen van twee parabolen.

Geef van elk van die parabolen het brandpunt en de richtlijn.

Op de lijn $x = 2$ liggen twee punten van de conflictlijn. De tweede coördinaat van het punt dat het dichtst bij de $x$ -as ligt, noemen we $y$ .

Laat zien dat $y$ oplossing is van de vergelijking: $y + 1 = \sqrt{1 + {(y - 3)}^{2}}$ en bereken de exacte waarde van $y$ .

Bepaal op soortgelijke wijze ook exact de tweede coördinaat van het andere punt op de conflictlijn met $x = 2$ .

We bekijken de parabool $P$ met richtlijn $y = ‐ 1$ en brandpunt $(0,1)$ .

Welk punt is de top van de parabool? En welke lijn de symmetrieas?

Het punt $(x, y)$ ligt op de parabool.

Laat zien dat $| y + 1 | = \sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}}$ en herschrijf deze vergelijking in de vorm: $y = \dots \cdot x^{2}$ .

Toon aan dat de parabool die je krijgt door $P$ met factor $\frac{1}{4}$ ten opzichte van $O (0,0)$ te vermenigvuldigen vergelijking $y = x^{2}$ heeft.

Opmerking:

De grafiek van de standaard-parabool $y = x^{2}$ die je in klas 3 bij algebra tegen bent gekomen is dus ook in meetkundige zin een parabool, dus een conflictlijn van een punt en een lijn. Omdat alle parabolen (algebraïsch en meetkundig gezien) gelijkvormig zijn, is de grafiek van elke kwadratische functie een conflictlijn van een punt en een lijn.

Geef een vergelijking van de richtlijn en de coördinaten van het brandpunt van de standaard-parabool $y = x^{2}$ .

(hint)

Gebruik het laatste onderdeel van de voorgaande opgave.

Bepaal het brandpunt en de richtlijn van de grafiek van de functie $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1$ , exact.

(hint)

Stel de richtlijn heeft vergelijking

y = ‐ a

, met

a > 0

, dan is het brandpunt...
Elk punt dus bijvoorbeeld ... heeft gelijke afstand tot....