Lineaire verbanden

Lineaire verbanden > Lineaire functies

Overzicht

12345Lineaire functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De grafiek is een rechte lijn door $(0, 25)$ en bijvoorbeeld $(1000; 18,5)$ .

Nee, want als de hoogte twee keer zo groot wordt, wordt de temperatuur niet twee keer zo klein.

$T = 25 - 0,0065 \cdot 7500 = - 23,75$

Als $25 - 0,0065 h = 0$ en dit levert op $h = 25 / 0,0065 \approx 3846$ . Dus ergens tussen de 3840 en 3850 m hoogte.

Opgave V2

$(150 - 10 \cdot 5) / 4 = 25$ thuja's.

$5 j + 4 t = 150$

Over deze vragen gaat dit onderdeel eigenlijk. Als je ze nu al kunt beantwoorden zul je er snel doorheen kunnen, anders moet je rustig verder werken. Overigens kan hier nooit van een rechte lijn sprake zijn omdat er geen halve thuja's en jeneverbessen worden verkocht. De grafiek bestaat eigenlijk alleen uit losse punten.

Opgave 1

Je berekent eerst het punt op de $y$ -as door $x = 0$ in te vullen. Je tekent dan het punt $(0, 1)$ en vervolgens zet je het volgende punt bij $x = 1$ op $y = 1 \frac{1}{3}$ (dus $\frac{1}{3}$ hoger dan het vorige punt) en zo ga je door. Het punt bij $x = 1$ komt dan precies $3 \times \frac{1}{3} = 1$ hoger te liggen dan je beginpunt. Enzovoorts...

De grafiek is een rechte lijn door $(0, 4)$ en $(4, 3)$ . De richtingscoëfficiënt is $- 0,25$ .

De grafiek is een rechte lijn door $(0, - 6)$ en $(1, 2)$ . De richtingscoëfficiënt is $4$ .

De grafiek is een rechte lijn door $(0, 5)$ en $(1, 4)$ . De richtingscoëfficiënt is $- 1$ .

De grafiek stijgt als de richtingscoëfficiënt positief is en daalt als hij negatief is.

De grafiek is dan een rechte lijn evenwijdig aan de $x$ -as. Bijvoorbeeld $y = 4$ is een formule waarbij de richtingscoëfficiënt $0$ is.

Opgave 2

Eerst beide zijden $- 2 x$ en je krijgt $3 y = - 2 x + 6$ . Vervolgens beide zijden door $3$ delen en klaar...

De grafiek is een rechte lijn door $(0, 2)$ en $(3, 0)$ .

$y = - 0,75 x + 1,5$

De grafiek is een rechte lijn door $(0; 1,5)$ en $(2, 0)$ . De richtingscoëfficiënt is $- 0,75$ .

Schrijf eerst $y$ als functie van $x$ : $y = 0,5 x - 5$ . De richtingscoëfficiënt is $0,5$ .

Opgave 3

Doen.

Als je $x = 0$ invult in de formule krijg je $y = 1$ .

Als je $x = 100$ invult in de formule krijg je $y = 201$ . Ga je naar $x = 101$ , dan neemt de $y$ -waarde met $2$ toe en die wordt dus $y = 203$ .

Opgave 4

Doen. Let op: eerst zelf tekenen en achteraf pas controleren!
Eventueel kun je dit samen met een medeleerling nog meer oefenen door elkaar lineaire functies op te geven.

Opgave 5

Dit wordt $y = - x + 1$ . Het is een lineaire functie en het hellingsgetal van de bijbehorende rechte lijn is $- 1$ .

Dit wordt $y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ . Het is een lineaire functie en het hellingsgetal van de bijbehorende rechte lijn is $\frac{2}{3}$ .

Dit wordt $y = 6 / x$ . Het is geen lineaire functie.

Dit wordt $y = x$ . Het is een lineaire functie en het hellingsgetal van de bijbehorende rechte lijn is $1$ , maar er is wel een bijzonderheid: in de gegeven formule mag je $x = 0$ niet invullen. De grafiek is dus een rechte lijn met een opening bij $x = 0$ .

Opgave 6

Eerst aan beide zijden $p x$ aftrekken en je vindt $q y = - p x + r$ . Nu beide zijden delen door $q$ en je krijgt de gewenste vorm: $y = - \frac{p}{q} x + \frac{r}{q}$ . (Je ziet dat $q \neq 0$ moet zijn.)
De richtingscoëfficiënt van de bijbehorende rechte lijn is $- \frac{p}{q}$ .

Opgave 7

Omdat je moet delen door $q$ en delen door $0$ mag niet.

$x = 2$
Alle punten met $x$ -waarde $2$ voldoen aan deze formule. Dat zijn bijvoorbeeld $(2, 0)$ , $(2, 1)$ , $(2, 100)$ , $(2, - 40)$ en dergelijke.

Alle punten van de vorm $(5,2; y)$ voldoen aan deze formule. Die punten liggen op een verticale lijn.
Omdat de formule niet in de vorm $y = ...$ kan worden geschreven is er geen sprake van een functie.

Alle punten van de vorm $(x; 5,2)$ voldoen aan deze formule. Die punten liggen op een horizontale lijn.
Omdat de formule de vorm $y = ...$ heeft is dit wel een lineaire functie.

Opgave 8

Vul $x = 3$ en $y = 5$ in de gegeven formule in. Je vindt: $5 = a \cdot 3 + 6$ .

Dit levert op: $3 a = 1$ en dus $a = \frac{1}{3}$ .

Met de applet in het Voorbeeld 3 kun je de waarde van $a$ benaderen.

Opgave 9

Alle rechte lijnen bij de formule $y = a x + 1$ gaan door het punt $(0, 1)$ . Het variëren van $a$ betekent dat de lijn gaat draaien om dit punt.
De lijn heeft dan één met de rechthoek gemeen als hij door $B$ of door $D$ gaat. De coördinaten van die punten invullen en de formule geeft: $a = 0,2$ en $a = 3,5$ . Voor alle waarden van $a$ vanaf $0,2$ en tot en met $3,5$ geldt dat de grafiek minstens één punt met de rechthoek gemeen heeft. Antwoord: $0,2 \leq a \leq 3,5$ .

Opgave 10

De rechte lijn bij `y_1` gaat door `(0, 1)` en `(1, 3)` .
De rechte lijn bij `y_2` gaat door `(0, 1)` en `(1, text(-)1)` .
De rechte lijn bij `y_1` gaat door `(0, 5)` en `(1, 7)` .
De rechte lijn bij `y_1` gaat door `(0, 5)` en `(2, 4)` .

Dat geldt voor $y_{3} = 2 x + 5$ . Aan de formules zie je dit omdat de richtingscoëfficiënten gelijk zijn, allebei $2$ .

Die twee lijnen staan loodrecht op elkaar.

Opgave 11

$20 + 300 \cdot 0,025 = 27,5$ °C.

$T = 20 + 0,025 d$

$20 + 0,025 d = 34,3$ betekent $0,025 d = 14,3$ en dus $d = 572$ m. Hij zal dus ongeveer `572` m diep zitten.

$b + 0,025 \cdot 684 = 37,8$ geeft $b = 20,7$ °C.

Opgave 12

Je schrijft deze drie lijnen zo, dat $y$ een lineaire functie is van $x$ :

bij $l$ : $y = - \frac{2}{3} x + 3 \frac{1}{2}$ , dus de r.c. is $- \frac{2}{3}$ ;
bij $m$ : $y = \frac{1}{7} x - 10$ , dus de r.c. is $\frac{1}{7}$ ;
bij $n$ : $y = - 1,25 x + 12,5$ , dus de r.c. is $- 1,25$ .

Nu kun je de grafieken wel tekenen...

Opgave 13

$L = 40 - 0,125 t$ is een lineaire functie van $t$ . Dat dit zo is, komt door de aanname dat de kaars elk uur $0,125$ uur opbrandt.

$40 - 0,125 t = 0$

Je vindt $t = 320$ uur, dus na `320` uur is deze kaars op.

Opgave 14

De grafiek is een rechte lijn door $(0, 5)$ en $(2, 9)$ .

$2 \cdot 7 + b = 12$ geeft $b = - 2$ .

$2 \cdot 12 + b = 0$ geeft $b = - 24$ .

Opgave 15

Door $(0, 10)$ .

$a \cdot 7 + 10 = 12$ geeft $a = \frac{2}{7}$ .

De formule $x + 2 y = 4$ kun je herleiden tot $y = - 0,5 x + 2$ . Alleen als $a = - 0,5$ zijn beide lijnen evenwijdig.

Opgave 16Energieverbruik

Energieverbruik

$45 + 1950 \cdot 0,38 = 756$ euro.

$52 + 4800 \cdot 0,07 = 388$ euro.

$K_{g} = 45 + 0,38 g$ en $K_{e} = 52 + 0,07 e$

Jordi alleen is € 337,40 per jaar kwijt en Amira alleen is € 467,40 per jaar kwijt. Samen zijn ze € 514,60 per jaar aan energiekosten kwijt. Ze besparen dus € 290,20 per jaar.

Opgave 17Waterverbruik

Waterverbruik

Als je de vaste lasten niet meetelt, dan betaal je bij een twee keer zo groot verbruik ook twee keer zoveel.

$K = 40 + 1,20 a$

Los de bijbehorende vergelijking op. Je vindt een waterverbruik van `642` m³.

Opgave 18

€ 9,25

Ongeveer `22136` roebel.

`E = 0,011*R + 6,50` .

Opgave 19

Lineaire functie met formule `y=1,25x+2,5` .

Lineaire functie met formule `y = 2,5x` .

Niet recht evenredig, de grafiek kan geen rechte lijn zijn.

Lineaire functie `y = text(-)0,4x + 8,5` .

verder | terug