$y=2{(x-3)}^2+1=2(x^2-6x+9)+1=2x^2-12x+19$

Dat kun je doen met een figuur zoals die in de Uitleg , of door aan de rechterkant de haakjes weer uit te werken.

$y=x^2+8x+2={(x+4)}^2-16+2={(x+4)}^2-14$ en de top is dus $(\text{-}4,\text{-}14)$.

$y=x^2+6x-12={(x+3)}^2-9-12={(x+3)}^2-21$

$y=x^2-4x+9={(x-2)}^2-4+9={(x-2)}^2+5$

$y=x^2+5x={(x+\mathrm{2,5})}^2-\mathrm{6,25}$

$A=\text{-}2b^2+100b=\text{-}2(b^2-50b)=\text{-}2({(b-25)}^2-625)=\text{-}2{(b-25)}^2+1250$

Top $(25;1250)$ geeft een maximale (bergparabool) oppervlakte van $1250$.

Met de vorm $A=b(100-2b)$, want $b(100-2b)=0$ geeft meteen $b=0\vee 100-2b=0$ en dus $b=0\vee b=50$. Nu kun je meteen de snijpunten met de $x$-as opschrijven.

Omdat in de vorm $y=a\cdot {(x-p)}^2+q$ ook een $a$ voor de haakjes staat en tussen haakjes de variabele $x$ voorkomt zonder dat er een getal "aan vast zit" . Kwadraat afsplitsen lukt ook het best met vormen als $x^2+bx$.

$x^2-3x={(x-\mathrm{1,5})}^2-{\mathrm{1,5}}^2$ en ${\mathrm{1,5}}^2=\mathrm{2,25}$.
Vervolgens is $\text{-}\mathrm{2,25}-\mathrm{0,5}=\text{-}\mathrm{2,75}$ en dat moet je dan weer met $2$ vermenigvuldigen.

$$ 2{(x-\mathrm{1,5})}^2-\mathrm{5,5}$$	$=$	$0$	beide zijden $+\mathrm{5,5}$
$$ 2{(x-\mathrm{1,5})}^2$$	$=$	$\mathrm{5,5}$	beide zijden $/2$
$$ {(x-\mathrm{1,5})}^2$$	$=$	$\mathrm{2,75}$	beide zijden worteltrekken
$x-\mathrm{1,5}$	$=$	$\pm \sqrt{\mathrm{2,75}}$	beide zijden $+\mathrm{1,5}$
$x$	$=$	$\mathrm{1,5}\pm \sqrt{\mathrm{2,75}}$

Er zijn dus twee oplossingen die zijn samengevat door het teken $\pm$ (uitspraak "plus of min" ), namelijk $x=\mathrm{1,5}+\sqrt{\mathrm{2,75}}\vee x=\mathrm{1,5}-\sqrt{\mathrm{2,75}}$.

De nulpunten zijn daarom $(\mathrm{1,5}-\sqrt{\mathrm{2,75}},0)$ en $(\mathrm{1,5}+\sqrt{\mathrm{2,75}},0)$. Ga na, dat deze nulpunten overeen komen met de nulpunten van je grafiek.

$y=\mathrm{1,5}{x}^2+3x-\mathrm{4,5}=\mathrm{1,5}(x^2+2x-3)=\mathrm{1,5}{(x+1)}^2-6$

$T(\text{-}1,\text{-}6)$ en dit komt overeen met de applet.

`1,5(x+1)^2 - 6 = 0` geeft `(x+1)^2 =4` en dus `x = 1 vv x = text(-)3` .

Controleer je antwoorden met behulp van de applet. (Zorg er dus wel voor dat je parabool in beeld is!)

$y=\text{-}\mathrm{0,5}(x^2-100x)=\text{-}\mathrm{0,5}({(x-50)}^2-2500)=\text{-}\mathrm{0,5}{(x-50)}^2+1250$

$T(50,1250)$

$\text{-}\mathrm{0,5}{(x-50)}^2+1250=0$ geeft ${(x-50)}^2=2500$ en dus $x=0\vee x=100$.

Dit kon ook (handiger) zo:

$\text{-}\mathrm{0,5}{x}^2+50x=\text{-}\mathrm{0,5}x(x-100)=0$ geeft $x=0\vee x=100$.

De nulpunten zijn $(0,0)$ en $(100,0)$.

Met de gevonden top en nulpunten is de schets eenvoudig te maken.

Doen.

$T(\mathrm{0,5};\mathrm{1,25})$

$y=\text{-}\mathrm{0,2}(x-3)(x+7)=\text{-}\mathrm{0,2}(x^2-x-6)=\text{-}\mathrm{0,2}({(x-\mathrm{0,5})}^2-\mathrm{6,25})=\text{-}\mathrm{0,2}{(x+\mathrm{0,5})}^2+\mathrm{1,25}$

Nulpunten: $(2,0)$ en $(5,0)$.
Symmetrieas: $x=\mathrm{3,5}$.
Top: $T(\mathrm{3,5},\text{-}\mathrm{2,25})$.

Nulpunten: $(0,0)$ en $(5,0)$.
Symmetrieas: $x=\mathrm{2,5}$.
Top: $T(\mathrm{2,5},\mathrm{12,5})$.

Controleer je antwoorden met de applet. Werk eventueel met iemand samen.

$y=3x^2+42x+120=3(x^2+14x+40)=3(x+4)(x+10)$

De nulpunten zijn $(\text{-}4,0)$ en $(\text{-}10,0)$.

$y=3x^2+42x+120=3(x^2+14x+40)=3{(x+7)}^2-27$

Nu oplossen $3{(x+7)}^2-27=0$. Je vindt dezelfde nulpunten.

Begin met $m=1$ en $n=3$ (of andersom). En pas daarna de waarde van $a$ aan tot je parabool door $(0,6)$ gaat.

De formule wordt $y=2(x-1)(x-3)$.

Uit de nulpunten volgt dat de symmetrieas van de parabool de lijn $x=2$ is. Dat is dan ook meteen de $x$-coördinaat van de top. Even invullen geeft $T(2,\text{-}4)$.

$y=a(x+1)(x-4)$ door $(0,4)$ geeft $a=\text{-}1$. Dus is de formule $y=\text{-}\mathrm{}(x+1)(x-4)$.

Symmetrieas $x=\mathrm{1,5}$ geeft top $T(\mathrm{1,5};\mathrm{6,25})$.

$y=a{(x-1)}^2+8$ door $(0,4)$ geeft $a=\text{-}2$. Dus is de formule $y=\text{-}2{(x-1)}^2+8$.

Nulpunten zijn $(\text{-}3,0)$ en $(5,0)$.

Kwadraat afsplitsen: $y={(x+4)}^2-14$.
Top: $T(\text{-}4,\text{-}14)$.

Kwadraat afsplitsen: $y={(x-1)}^2+9$.
Top: $T(1,9)$.

Kwadraat afsplitsen: $y=2{(x+\mathrm{2,5})}^2-\mathrm{20,5}$.
Top: $T(\text{-}\mathrm{2,5};\text{-}\mathrm{20,5})$.

Nulpunten: $(\text{-}3,0)$ en $(8;0)$.
Symmetrieas: $x=\mathrm{2,5}$.
Top: $T(\mathrm{2,5};121)$.

Kwadraat afsplitsen: $y=\mathrm{0,5}(x^2+2x)=\mathrm{0,5}{(x+1)}^2-\mathrm{0,5}$.
Top: $T(\text{-}1;\text{-}\mathrm{0,5})$.

(Dit kan ook door ontbinden en dan de nulpunten en de symmetrieas bepalen.)

Kwadraat afsplitsen: $y=\text{-}\mathrm{}{(x-3)}^2+5$.
Top: $T(3,5)$.

Nulpunten: $(0,0)$ en $(30,0)$.
Symmetrieas: $x=15$.
Top: $T(15,\text{-}450)$. Dalparabool, dus is er een minimum van $\text{-}450$ voor $x=15$.

Top: $T(\mathrm{2,5};\text{-}1)$. Dalparabool, dus is er een minimum van $\text{-}1$ voor $x=\mathrm{2,5}$.
Nulpunten: ${(x-2.5)}^2-1=0$ geeft $x=\mathrm{2,5}\vee x=\mathrm{3,5}$. Dus $(\mathrm{2,5};0)$ en $(\mathrm{3,5};0)$.

Nulpunten: $(4,0)$ en $(\text{-}1,0)$.
Symmetrieas: $x=\mathrm{1,5}$.
Top: $T(\mathrm{1,5};\mathrm{3,125})$. Bergparabool, dus is er een maximum van $\mathrm{3,125}$ voor $x=\mathrm{1,5}$.

Top: $T(3,1)$. Dalparabool, dus is er een minimum van $1$ voor $x=3$.
Nulpunten: ${(x-3)}^2+1=0$ heeft geen oplossing. Dus er zijn geen nulpunten.

De formule kan worden geschreven als $y={(x-4)}^2-\mathrm{7,5}$

Top: $T(4;\text{-}\mathrm{7,5})$. Dalparabool, dus is er een minimum van $\text{-}\mathrm{7,5}$ voor $x=4$.
Nulpunten: ${(x-4)}^2-7.5=0$ geeft $x=4-\sqrt{\mathrm{7,5}}\vee x=4+\sqrt{\mathrm{7,5}}$. De nulpunten zijn dus $(4-\sqrt{\mathrm{7,5}};0)$ en $(4+\sqrt{\mathrm{7,5}};0)$.

Kwadraat afsplitsen: $y={(x+2)}^2+1$.
Top: $T(\text{-}2,1)$. Dalparabool, dus is er een minimum van $1$ voor $x=\text{-}2$.
Nulpunten zijn er niet want dit is een dalparabool met zijn top boven de $x$-as.

Kwadraat afsplitsen: $y=2{(x+4)}^2-8$.
Top: $T(\text{-}4,\text{-}8)$. Dalparabool, dus is er een minimum van $\text{-}8$ voor $x=\text{-}4$.
Nulpunten: $2x^2+16x+24=2(x+2)(x+6)=0$ geeft $(\text{-}2,0)$ en $(\text{-}6,0)$.

Top: $T(\text{-}1,0)$. Bergparabool, dus is er een maximum van $0$ voor $x=\text{-}1$.
Nulpunt is $(\text{-}1,0)$ want dit is een dalparabool met zijn top op de $x$-as.

In de tabel kun je zien, dat elke keer als de prijs met $5$ toeneemt, het aantal verkochte koppen soep met $\text{-}10$ toeneemt (dus eigenlijk afneemt). De richtingscoëfficiënt van de lijn die je door de punten in de tabel kunt tekenen is daarom $\text{-}10/5=\text{-}2$.
De formule wordt daarmee $q=\text{-}2p+b$ en het invullen van één van de punten in de tabel geeft $b=340$.
En daarmee vind je de formule die is gegeven.

Bereken steeds $p\cdot q$ en ga na dat de uitkomst daarvan groter wordt als $p$ kleiner wordt.

Nee, op zeker moment wordt zijn prijs per kop zo laag, dat hij nauwelijks inkomsten overhoudt.

$R=\text{-}2p^2+340p$ als je de haakjes wegwerkt. Deze formule past bij een bergparabool, dus er is een maximum.

De nulpunten van $R$ vind je uit $R=p(340-2p)=0$ en dat levert op $p=0\vee p=170$.
De symmetrieas van de bergparabool die bij deze formule past is $p=85$. De maximale opbrengst vind je dus bij $p=85$ en die is $14450$, dus € 144,50.

Voor een zo groot mogelijke opbrengst moet hij € 0,85 per kop vragen.

Nee, want je moet ook rekening houden met de kosten voor het maken van de erwtensoep. Zie volgende opgave.

Bij winst houd je ook rekening met de gemaakte kosten en bij opbrengst let je alleen op de inkomsten als gevolg van van de verkoop.

De winst per kop soep is $p-50$ cent en het aantal verkochte koppen soep is $340-2p$. Om de winst uit te rekenen moet je deze twee uitdrukkingen vermenigvuldigen.

$(p-50)(340-2p)=0$ geeft $p-50=0\vee 340-2p=0$ en dus $p=50\vee p=170$. Bij deze prijzen is de winst op de verkoop van de koppen soep $0$, dus dan wordt er geen winst gemaakt en ook geen verlies geleden.

De symmetrieas van de bergparabool die bij de formule voor de winst past is $p=110$. De maximale winst vind je dus bij $p=110$ en die is $7200$, dus € 72,00.

Voor een zo groot mogelijke winst moet hij € 1,10 per kop vragen.

Maximum van `4` voor `x=6` .

Nulpunten `(6-sqrt(8), 0)` en `(6+sqrt(8), 0)` .

Minimum van `text(-)40,5` voor `x=0,5` .

Nulpunten `(text(-)4, 0)` en `(5, 0)` .

Minimum van `text(-)16` voor `x=3` .

Nulpunten `(text(-)1, 0)` en `(7, 0)` .

Maximum van `2,2` voor `x=10` .

De nulpunten zijn `(10-sqrt(220), 0)` en `(10+sqrt(220), 0)` .