Kwadratische verbanden

Kwadratische verbanden > Nulpunten en top

123456Nulpunten en top

Uitleg

Een boer heeft een stuk weiland naast een vijver. Hij wil naast de vijver een stuk grond afzetten met $200$ m hekwerk. Zie de figuur. Langs de vijver komt geen hek.
$b$ is de lengte van $A B$ . Voor de oppervlakte van het weiland krijg je dan de formule:

$A = b (100 - 2 b) = 100 b - 2 b^{2}$

Deze formule kun je kennelijk in twee vormen schrijven: een vorm met haakjes en een vorm die als hoogste macht van $b$ een kwadraat heeft, maar ook nog een term heeft waarin $b$ niet in het kwadraat staat. Zou er nu toch ook gewoon sprake zijn van een kwadratische functie? En zo ja, wat is dan het maximum van die functie?

Het blijkt dat je kwadratische functies in diverse vormen kunt schrijven. Bijvoorbeeld is $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 1 = 2 x^{2} - 12 x + 19$ als je de haakjes uitwerkt. Dus ook een formule als $y = x^{2} + 6 x + 1$ is waarschijnlijk een kwadratische functie. Maar hoe weet je dat zeker en hoe kun je dan de top van de bijbehorende parabool bepalen?

Daarvoor moet je in $y = x^{2} + 6 x + 1$ een kwadraat afsplitsen. Hiernaast zie je hoe de uitdrukking $x^{2} + 6 x$ te herleiden is tot ${(x + 3)}^{2} - 9$ .
De formule $y = x^{2} + 6 x + 1$ herleid je daarmee tot $y = {(x + 3)}^{2} - 8$ .

En nu weet je zeker dat er sprake is van een kwadratische functie en kun je de top van de bijbehorende parabool aflezen.

Opgave 1

Bekijk in de Uitleg dat een kwadratische functie meerdere vormen kan hebben.

Laat zien, dat $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 1$ is te schrijven als $y = 2 x^{2} - 12 x + 19$ .

Je kunt in elke kwadratische functie van de vorm $y = a {(x - p)}^{2} + q$ de haakjes uitwerken. Maar erg handig is dat niet, want nu kun je meteen de top van de parabool aflezen en na uitwerken kun je dat niet meer.
Het is dan ook veel nuttiger om een kwadratische functie zoals $y = x^{2} + 8 x + 2$ te kunnen herleiden tot de vorm waarin je de top kunt aflezen.

Laat zien, dat $x^{2} + 8 x = {(x + 4)}^{2} - 16$ .

Schrijf nu de kwadratische functie $y = x^{2} + 8 x + 2$ in een vorm waarin je de top kunt aflezen.

De techniek die je zojuist hebt gebruikt heet "een kwadraat afsplitsen" . Deze techniek werkt ook als er mintekens in de formules voorkomen, alleen kun je dan niet altijd meer een figuur erbij tekenen. Splits een kwadraat af bij de volgende kwadratische functies.

$y = x^{2} + 6 x - 12$

$y = x^{2} - 4 x + 9$

$y = x^{2} + 5 x$

Opgave 2

In de Uitleg kwam je de formule $A = 100 b - 2 b^{2}$ tegen. Ook deze formule kun je tot de vorm $A = a {(b - p)}^{2} + q$ herleiden. Je begint dan met de term met $b^{2}$ voorop te schrijven en $- 2$ buiten haakjes te halen.

Laat zien, hoe je $A = 100 b - 2 b^{2}$ nu in de gewenste vorm krijgt.

Bepaal de top van de bijbehorende parabool. Welke maximale oppervlakte heeft het weilandje?

Je hebt nu drie vormen voor dezelfde kwadratische functie.

Met welke van die drie vormen kun je het snelst de snijpunten met de $x$ -as berekenen?

verder | terug