Kwadratische verbanden

Kwadratische verbanden > Kwadratische vergelijkingen

123456Kwadratische vergelijkingen

Uitleg

In de applet kun je formules van vorm $y = a x^{2} + b x + c$ instellen en de nulpunten van de grafiek bekijken.
Om die nulpunten te berekenen moet je $a x^{2} + b x + c = 0$ oplossen. De oplossing vind je met de abc-formule.

Bekijk in de applet, dat:

$2 x^{2} - 6 x - 1 = 0$ een oplossing met twee $x$ -waarden heeft;
$2 x^{2} - 6 x + 4,5 = 0$ een oplossing met één $x$ -waarde heeft;
$2 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ geen reële oplossing heeft.

Je merkt dit ook snel als je de oplossing met de abc-formule probeert te vinden. De wortel uit een negatief getal levert immers geen reële waarde op! Daarom wordt het aantal waarden in de oplossing (of kortweg het aantal oplossingen) van een kwadratische vergelijking bepaald door de uitdrukking $b^{2} - 4 a c$ die onder het wortelteken staat. Als deze uitdrukking negatief is heeft de oplossing geen reële waarden. En als er uit deze uitdrukking $0$ komt, dan is er maar één waarde in de oplossing.

Het is dus bij het oplossen van een kwadratische vergelijking handig om eerst $D = b^{2} - 4 a c$ te berekenen. Als $D > 0$ heb je twee waarden in de oplossing, als $D = 0$ heb je er één en als $D < 0$ zijn er geen reële waarden in de oplossing. Je noemt $D$ de "discriminant" van de kwadratische vergelijking. Dat komt van het woord "discrimineren" wat "onderscheid maken" betekent.

Opgave 3

Bekijk in Uitleg 2 hoe je het aantal oplossingen van kwadratische vergelijking kunt bepalen.

Uit hoeveel waarden bestaat de oplossing van een kwadratische vergelijking maximaal? En waarom?

Bekijk nu de vergelijking $2 x^{2} - 6 x - 1 = 0$ .

Bereken eerst de discriminant van deze vergelijking.

Hoeveel waarden zitten er in de oplossing van deze vergelijking? Bereken vervolgens de oplossing.

Geef een benadering van de oplossing van deze vergelijking in één decimaal nauwkeurig. Ga in de applet na dat ze overeenkomen met de $x$ -waarden van de nulpunten van de bijbehorende parabool.

Bekijk nu de vergelijking $2 x^{2} - 6 x + 4,5 = 0$ .

Laat met behulp van de discriminant zien, dat de oplossing van de vergelijking één waarde heeft. Bereken vervolgens die éne oplossing.

Bekijk nu de vergelijking $2 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ .

Laat met behulp van de discriminant zien, dat de vergelijking geen reële oplossing heeft.

Opgave 4

Bepaal van de volgende kwadratische vergelijkingen eerst het aantal oplossingen (dus het aantal waarden in de oplossing). Los ze vervolgens op.

$2 x^{2} + 5 x - 20 = 0$

$11 + 3 x^{2} = 9 x$

$3 x^{2} = 4 x - 1$

$4 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

verder | terug