Kwadratische verbanden

Kwadratische verbanden > Lijnen en parabolen

123456Lijnen en parabolen

Uitleg

Je ziet hier een parabool met de bijbehorende formule $y = 2 x^{2} + 3 x + 4$ en een rechte lijn met formule $y = 2 x + p$ . De waarde voor $p$ kun je nog aanpassen. Dus je hebt eigenlijk met een hele familie van lijnen te maken.

Werk met de applet en varieer de waarde van $p$ .

Eén van die lijnen gaat door de top van de parabool. Om de bijbehorende waarde van $p$ te berekenen, moet je eerst de coördinaten van de top vaststellen. Dat kan door kwadraat afsplitsen. Maar bij formules van de vorm $y = a x^{2} + b x + c$ vind je dan altijd dat de $x$ -coördinaat van de top $- \frac{b}{2 a}$ is. In dit geval vind je $x_{top} = - \frac{3}{2 \cdot 2} = - 0,75$ . De bijbehorende $y$ -coördinaat vind je door invullen in de paraboolformule.

In de applet zie je de symmetrieas van de parabool veranderen als je de waarden van $a$ en $b$ aanpast. Ga na, dat die symmetrieas inderdaad $x = - \frac{b}{2 a}$ is.

Opgave 1

Bekijk in Uitleg 1 hoe je de top van een parabool van de vorm $y = a x^{2} + b x + c$ snel kunt vinden.

Bereken op deze manier de top van de in de tekst hierboven gegeven parabool. Vergelijk je antwoord met dat wat je krijgt door kwadraat afsplitsen.

De formule $x_{top} = - \frac{b}{2 a}$ geldt voor elke parabool met formule $y = a x^{2} + b x + c$ .

In de applet kun je de waarden van $a$ en $b$ veranderen. Ga na dat de symmetrieas mee verandert en dat daarvoor geldt $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Bereken de top van de in de tekst hierboven gegeven parabool door eerst twee punten op de parabool te berekenen waarvoor $y = 4$ en daarmee de symmetrieas te bepalen.

Je kunt de formule voor de top zelf vinden door de symmetrieas van de parabool te bepalen. Die symmetrieas is de middelloodlijn van twee punten met gelijke $y$ -waarde op de parabool. Neem voor het gemak $y = c$ en bereken de bijbehorende $x$ -waarden uit $a x^{2} + b x + c = c$ .

Bereken de twee bedoelde punten en laat zien dat voor de symmetrieas inderdaad geldt $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Opgave 2

Bereken van de volgende kwadratische functies de top van de bijbehorende parabool.

$y_{1} = 3 x^{2} - 5 x + 2$

$y_{2} = - x^{2} + 6 x + 12$

$y_{3} = 3 (x - 1) (x - 5)$

verder | terug