$x=0$ geeft $h=\mathrm{1,75}$, dus op $\mathrm{1,75}$ m hoogte.

De top van deze parabool is $(150,4)$.

Je moet daarvoor oplossen $\text{-}\mathrm{0,0001}{(x-150)}^2+4=0$. Dat geeft (terugrekenen) ${(x-150)}^2=40000$ en dus $x-150=\pm \sqrt{40000}=\pm 200$. Van beide $x$-waarden kan alleen de positieve waarde de gevraagde afstand zijn.
Dus komt deze kogel na $350$ m op de grond.

Kwadraat afsplitsen: $y=\frac{1}{2}(x^2-6x)+4=\frac{1}{2}({(x-3)}^2-9)+4=\frac{1}{2}{(x-3)}^2-\frac{1}{2}$.

Een minimum van $\text{-}\mathrm{0,5}$ voor $x=3$.

Je moet daarvoor de factor $\frac{1}{2}$ buiten haakjes halen en daarna ontbinden in factoren.

Die kun je uit de formule bij c zo aflezen: $(2,0)$ en $(4,0)$.

Gebruik de abc-formule met $a=1$, $b=3$ en $c=\text{-}5$.
Oplossing: $x=\frac{\text{-}3\pm \sqrt{29}}{2}$

Nu kun je ontbinden in factoren: $(x+4)(x-1)=0$.
Oplossing: $x=\text{-}4\vee x=1$.

Op $0$ herleiden en delen door $2$ geeft $x^2-2x-24=0$.
Ontbinden in factoren: $(x-6)(x+4)=0$.
Oplossing: $x=6\vee x=\text{-}4$.

Met $2$ vermenigvuldigen en ontbinden: $x(x+10)=0$.
Oplossing: $x=0\vee x=\text{-}10$.

Gebruik na op $0$ herleiden de abc-formule met $a=3$, $b=\sqrt{3}$ en $c=\text{-}2$.
Oplossing: $x=\frac{\text{-}\mathrm{}\sqrt{3}\pm \sqrt{27}}{6}$ en dus $x=\frac{1}{3}\sqrt{3}\vee x=\text{-}\mathrm{}\frac{2}{3}\sqrt{3}$.

Haakjes wegwerken en op $0$ herleiden geeft $\text{-}3x=2$.
Oplossing: $x=\text{-}\mathrm{}\frac{2}{3}$.

Worteltrekken: $2x-6=\pm \sqrt{11}$.
Oplossing: $x=\frac{6\pm \sqrt{11}}{2}$.

Rechterzijde ontbinden: $x(x-2)=5(x-2)$.
Splitsen: $x=5\vee x-2=0$.
Oplossing: $x=5\vee x=2$.

Haakjes uitwerken en op $0$ herleiden: $2x^2-11x=0$.
Ontbinden in factoren: $x(2x-11)=0$.
Oplossing: $x=0\vee x=\mathrm{5,5}$.

Meteen splitsen: $x-3=0\vee 2x-5=0$.
Oplossing: $x=3\vee x=\mathrm{2,5}$.

Worteltrekken: $x^2-3=\pm (2x+1)$.
Beide vergelijkingen op $0$ herleiden: $x^2-2x-4=0\vee x^2+2x-2=0$.
Bij beide vergelijkingen pas je nu de abc-formule toe.
Oplossing: $x=\frac{2\pm \sqrt{20}}{2}\vee x=\frac{\text{-}2\pm \sqrt{12}}{2}$ en dus $x=1\pm \sqrt{5}\vee x=\text{-}1\pm \sqrt{3}$.

Haakjes uitwerken en op $0$ herleiden geeft $x^3-3x^2-4x=0$.
Ontbinden: $x(x^2-3x-4)=x(x-4)(x+1)=0$.
Oplossing: $x=0\vee x=4\vee x=\text{-}1$.

De vergelijking $4x=\text{-}\mathrm{0,5}{x}^2+6x$ heeft twee oplossingen, want `D gt 0` .

De vergelijking $4x-p=\text{-}\mathrm{0,5}{x}^2+6x$ moet dan maar één oplossing hebben.
De vergelijking op $0$ herleiden geeft $\text{-}\mathrm{0,5}{x}^2+2x+p=0$.
De discriminant hiervan is $D=4+2p=0$ als $p=\text{-}2$.

Conclusie: voor $p=\text{-}2$ raken beide grafieken elkaar.

Je moet daarvoor $\text{-}\mathrm{0,5}{x}^2+2x-2=0$ oplossen.
De oplossing hiervan is $x=2$.

Het raakpunt is dus $(2,10)$.

In de formule is de top $(81,33)$. Dus zit de top $33$ m boven het wegdek.

`2 xx 81 = 162` m.

Vul $x=0$ in de formule in en je vindt $x\approx \text{-}\mathrm{22,1}$.

De parabool zit ongeveer $\mathrm{22,1}$ m onder het wegdek aan de torens vast.

$y=0$ oplossen door terugrekenen geeft $y\approx 81\pm \sqrt{\mathrm{3928,6}}$.

De gevraagde afstand is ongeveer $2\sqrt{\mathrm{3928,6}}\approx \mathrm{125,4}$.

$y=\text{-}2(x^2+4x-6)=\text{-}2({(x+2)}^2-10)=\text{-}2{(x+2)}^2+20$

In de formule is de top $(\text{-}2,20)$.

Je moet oplossen: $\text{-}2x^2-8x+12=0$.
Dit kan door gebruik te maken van de abc-formule, of terug te rekenen vanuit de formule die je bij a hebt gevonden, of door ontbinden in factoren.

Nulpunten: $(\text{-}2\pm \sqrt{10},0)$.

$\text{-}2x^2-8x+12=2x+12$ geeft $2x^2+10x=0$ en dus $2x(x+5)=0$.

De snijpunten zijn $(\text{-}5,2)$ en $(0,12)$.

Op $0$ herleiden en ontbinden: $(x+4)(x-1)=0$.

Oplossing: $x=\text{-}4\vee x=1$.

Eerst op $0$ herleiden en dan de abc-formule.

Oplossing: $x=\frac{\text{-}15\pm \sqrt{513}}{4}$. Dus $x\approx \text{-}\mathrm{9,41}\vee x\approx \mathrm{1,91}$.

Delen door $3$ en worteltrekken.

Oplossing: $x=\pm 4$.

Haakjes wegwerken en op $0$ herleiden: $2x^2-10x=0$.
Ontbinden: $2x(x-5)=0$.

Oplossing: $x=0\vee x=5$.

Oplossing: $x=2\vee x=3$.

Haakjes wegwerken en op $0$ herleiden: $2x^2-8x-24=0$.
Delen door $2$ en ontbinden: $(x-6)(x+2)=0$.

Oplossing: $x=\text{-}2\vee x=6$.

Worteltrekken: $x^2=9\vee x^2=\text{-}9$.
Worteltrekken: $x=\pm 3$ en de tweede vergelijking heeft geen reële oplossingen.

Oplossing: $x=\pm 3$.

Ontbinden: $3x^6(x^2+3)=0$.

Oplossing: $x=0$.

Ontbinden: $x(x-2)(x-3)=0$.

Oplossing: $x=0\vee x=2\vee x=3$.

Terugrekenen: ${(3-x)}^2=16$ en $3-x=\pm 4$.

Oplossing: $x=\text{-}1\vee x=7$.

Op $0$ herleiden en de abc-formule.

Oplossing: $x=\frac{1\pm \sqrt{65}}{4}$. Dus $x\approx \text{-}\mathrm{1,77}\vee x\approx \mathrm{2,27}$.

Op $0$ herleiden en ontbinden: $(x^2-9)(x^2+1)=0$.

Oplossing: $x=\pm 3$.

$y=x^2+40x+10={(x+20)}^2-390$.

Terugrekenen: ${(x+20)}^2=390$.

Oplossing: $x=\text{-}20\pm \sqrt{390}$. Dus $(\text{-}20\pm \sqrt{390},0)$.

$y=x^2+px+q={(x+\frac{1}{2}p)}^2-\frac{1}{4}{p}^2+q$

${(x+\frac{1}{2}p)}^2=\frac{1}{4}{p}^2-q$ geeft $x=\text{-}\mathrm{}\frac{1}{2}p\pm \sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q}$.

Doen.

Worteltrekken: $x^2-1=3-2x^2\vee x^2-1=\text{-}3+2x^2$ en dus $3x^2=4\vee x^2=2$.

Oplossing: $x=\pm \sqrt{\frac{4}{3}}\vee x=\pm \sqrt{2}$.

Splitsen: $x^2=0\vee x^2-4x=2$.

Oplossing: $x=0\vee x=\frac{4\pm \sqrt{24}}{2}$ en dus $x=0\vee x=2\pm \sqrt{6}$.

De vergelijking $p{x}^2+2x-3=0$ moet dan precies één oplossing hebben.

$D=4+12p=0$ geeft $p=\text{-}\mathrm{}\frac{1}{3}$.

Omdat je met een negatieve waarde voor $p$ met een bergparabool hebt te maken, is er sprake van een maximum.

De top is $T(\text{-}\mathrm{}\frac{1}{p},\text{-}\mathrm{}\frac{1}{p}-3)$.

Invullen in $y=2x+3$ geeft $\text{-}\mathrm{}\frac{1}{p}-3=\text{-}\mathrm{}\frac{2}{p}+3$ en dus $\frac{1}{p}=6$ zodat $p=\frac{1}{6}$.

`px^2 + 2x - 3 = text(-)2x + 3` geeft `px^2 + 4x - 6 = 0` .
Raken, dus `D = 16 + 24p = 0` geeft $p=\text{-}\frac{2}{3}$

Omdat de $x$-waarde van de punten $P$ en $Q$ varieert tussen $\text{-}5$ en $0$. En voor zowel $x=\text{-}5$ als $x=0$ vallen $P$ en $Q$ samen.

$P(p,2p+12)$ en $Q(p,\text{-}2p^2-8p+12)$.

Om deze lengte te berekenen moet je de $y$-coördinaat van $P$ aftrekken van de $y$-coördinaat van $Q$.

De top van deze bergparabool is $(\text{-}\mathrm{2,5};\mathrm{12,5})$. Dus het maximum is $\mathrm{12,5}$.

Maak een figuur in GeoGebra, dan kun je punt `P` (en daarmee ook punt `Q` ) variëren.

Als $p$ de $x$-coördinaat van punt $P$ is, dan is $P(p,4-p^2)$ en $Q(p,p^2-2p)$. De lengte van het lijnstuk is dan $L=4-p^2-(p^2-2p)=\text{-}2p^2+2p+4$.

De lengte is dus een kwadratische functie met een maximum voor $p=\text{-}\mathrm{}\frac{2}{2\cdot \text{-}2}=\mathrm{0,5}$. De maximale lengte is $\mathrm{4,5}$.

Omdat je de opbrengst krijgt door de verkochte hoeveelheid te vermenigvuldigen met de prijs per eenheid product.

$TO=pq=p(500-2p)$

$TW=2000+5q$

`TW = p(500-2p) - (2000+5(500-2p)) = 500p - 2p^2 - 2000 - 2500 + 10p =` ` text(-)2p^2 + 510p - 4500`

$p=\text{-}\mathrm{}\frac{510}{2\cdot \text{-}2}=\mathrm{127,50}$ geeft een maximale winst van € 28012,50.
(Je kunt dit ook vinden door kwadraat afsplitsen of met behulp van een tabel.)