Kwadratische verbanden

Kwadratische verbanden > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Toepassen

Bekijk de grafieken van de kwadratische functie met formule $y = - 2 x^{2} - 8 x + 12$ en de lineaire functie met formule $y = 2 x + 12$ .

Je ziet in de figuur een lijnstuk $P Q$ dat evenwijdig is aan de verticale as en waarvan punt $P$ op de grafiek van de lineaire functie en punt $Q$ op de grafiek van de kwadratische functie ligt. De $x$ -coördinaat van de punten $P$ en $Q$ is een getal tussen $- 5$ en $0$ .

Als je het punt $Q$ verplaatst dan wordt de lengte van het lijnstuk $P Q$ langer of korter. Met de applet kun je uitzoeken voor welke waarde van $x$ de lengte van dit lijnstuk maximaal is.

Maar je kunt dit ook exact berekenen...

Opgave 15Maximale lengte

Maximale lengte

Tussen de grafieken van de functies die je hierboven ziet bevindt zich lijnstuk $P Q$ .

De lengte van dit lijnstuk kan variëren, je wilt de maximale lengte weten, want de minimale lengte is $0$ .

Waarom is het minimum van de lengte van het daar beschreven lijnstuk $0$ ?

Noem de $x$ -waarde van beide punten $p$ . Welke coördinaten hebben $P$ en $Q$ dan?

Leg uit dat de lengte van lijnstuk $P Q$ gelijk is aan $L = - 2 p^{2} - 10 p$ .

De grafiek van $L$ als functie van $p$ is een bergparabool. Bereken het maximum van die functie.

Opgave 16Maximale oppervlakte van een lijnstuk tussen twee parabolen

Maximale oppervlakte van een lijnstuk tussen twee parabolen

Gegeven zijn de kwadratische functies met formules $y_{1} = 4 - x^{2}$ en $y_{2} = x^{2} - 2 x$ . Op de grafiek van $y_{1}$ ligt het punt $P$ waarvan de $x$ -coördinaat tussen $- 1$ en $2$ ligt. Op de grafiek van $y_{2}$ ligt het punt $Q$ met dezelfde $x$ -coördinaat als punt $P$ . Het lijnstuk $P Q$ verbindt beide punten.

Maak een schets van deze situatie. (Of - nog mooier - teken deze situatie in GeoGebra.)

Als je punt $P$ varieert, verandert ook de lengte van lijnstuk $P Q$ . Bereken de maximale lengte van dit lijnstuk.

Opgave 17Winstmaximalisatie

Winstmaximalisatie

In de micro-economie wordt het volgende rekenmodel voor de winst van de verkoop van een bepaald product gehanteerd als het bedrijf de enige aanbieder is.

Het aantal verkochte producten hangt alleen af van de prijs $p$ in euro per stuk. Hoe hoger de prijs, hoe lager de hoeveelheid $q$ die van dit product wordt verkocht per tijdseenheid. Bijvoorbeeld kan per week gelden $q = 500 - 2 p$ .

De inkoopkosten hangen weer af van de prijs per eenheid en de voorraadkosten. Bijvoorbeeld kan een eenheid product € 5,00 kosten en de voorraadkosten kunnen € 2000,- per week zijn.

Voor de opbrengst als wekelijks de hele voorraad wordt verkocht geldt $T O = p \cdot q$ , de wekelijkse kosten noem je $T K$ en de winst is $T W = T O - T K$ .

Waarom is $T O = p \cdot q$ ?

Laat zien dat $T W = p (500 - 2 p) - (2000 + 5 q)$ .

Als je in de formule bij b $q = 500 - 2 p$ substitueert, dan kun je hem herleiden tot $T W = - 2 p^{2} + 510 p - 4500$ .

Laat dat zien.

De winst is in dit rekenmodel een kwadratische functie van $p$ .

Bereken de maximale winst.

verder | terug