Zo'n rechte lijn heeft een formule van de vorm .
Bij raken moet zo'n lijn precies één punt met de parabool gemeen hebben en dus moet
de vergelijking precies één oplossing hebben. Even de haakjes wegwerken en op herleiden en vervolgens met de discriminant werken.
Dit geeft .
geeft en daarvan moet zodat en .
Je krijgt dus de raaklijnen en .
Nee, voor punten op de parabool is er steeds precies één raaklijn. Voor punten binnen de parabool geldt dat je geen raaklijn aan de parabool kunt maken.
Daarvan is er precies één.
geeft en daarvan moet zodat .
Je krijgt dus de raaklijn .
Alle functies van deze vorm hebben als grafiek een dalparabool.
Nu is en dan is de top .
Voor .
Als , dus als ofwel .
Je vindt waarschijnlijk al snel . De andere waarde voor is moeilijker te vinden. De top van de parabool valt dan buiten de figuur.
De bijbehorende -waarde is .
geeft en dus .
Je vindt .
geeft .
Raken, dus . Dit geeft en dus .
Als je invult, vind je °C.
Het water gaat afkoelen, dus moet kleiner worden. De grafiek moet langzaam dalen naar °C.
geeft en dus .
Als je invult, vind je en dus .
Als je invult, vind je en dus , zodat .
Los op `x^2 + x - 2 = 0` . Er zijn twee oplossingen. Bekijk dit ook in de applet.
Wellicht kun je het antwoord op deze vraag wel met de applet vinden. Je moet het echter ook zelf kunnen berekenen.
moet twee oplossingen voor hebben. Dat betekent . Nu geldt als . Omdat de discriminant zelf een dalparabool is, is als .
De top is .
Dit vul je in de formule van de lijn in: . Dit levert op .
Nu moet . Dit levert op .
Bij deze lijnen horen functies van de vorm .
Nu moet de vergelijking precies één oplossing voor hebben.
Dus moet van gelden . Dit betekent dat .
De twee gevraagde lijnen zijn dus en .
Bij deze lijnen horen functies van de vorm .
Nu moet de vergelijking precies één oplossing voor hebben.
Dus moet van gelden . Dit betekent dat .
De gevraagde lijn is dus .
Er zijn drie nulpunten als drie verschillende waarden voor oplevert. Ontbinden geeft en dus .
Er zijn drie verschillende oplossingen zodra .
geeft en dus `x=0 vv x=sqrt(1+p) vv x=text(-)sqrt(1+p)` .
Er is altijd de oplossing , dus al deze functies hebben het punt met de lijn gemeen.
De andere twee oplossingen zijn gelijk aan
`0`
als
`p=text(-)1`
. Dus ook dan is er maar één gemeenschappelijk punt.
De andere twee oplossingen hebben geen reële waarde als
`p lt text(-)1`
. Dus ook dan is er maar één gemeenschappelijk punt.
geeft .
geeft .
En dan is °C.
m.
Nu geldt .
Omdat is m/s2.
Nu geldt en .
Dit is een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Je hebt geleerd hoe je dat moet oplossen. Je vindt m/s2 en m/s.
Nu is km/uur gelijk aan m/s.
Omdat de beginsnelheid is, geldt en dus m/s2.
De afgelegde afstand is dan m.
De cheetah houdt de jacht ongeveer seconden vol. Hij legt daarin ongeveer m af. De zebra legt in die tijd m af en had al m voorsprong; de zebra wordt dus net niet ingehaald.
`x=0 vv x=6`
`a = text(-)2`
`a = 3+-sqrt(5)`